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1、 经济学经济学28-28-函数的连续函数的连续性性建建 议议(1) 高数难高数难, ,须下功夫须下功夫1 : 3;(4) 及时做作业及时做作业, ,尽量独立完成尽量独立完成; ;(2) 感觉讲课快者请课前预习感觉讲课快者请课前预习; ;(3) 记忆应该记忆的内容；记忆应该记忆的内容；(5) 不懂的理论和习题不懂的理论和习题, ,要及时问同学或老师。要及时问同学或老师。暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲复习复习1. 极限存在的极限存在的 2 个准则个准则如果如果 (1)(2)则则定理定理 1 (数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则)定理定理 2 (函数极限存在的
2、夹逼准则函数极限存在的夹逼准则)暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲复习复习定理定理 3 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .单调增有上界的数列必有极限单调增有上界的数列必有极限.单调减有下界的数列必有极限单调减有下界的数列必有极限.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲2. 两个重要极限两个重要极限注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式复习复习暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲3. 无穷小的比较无穷小的比较设设 , 为同一变化过程的无穷小为同一变化过程的无穷小, 且且 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的
3、的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小复习复习 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲4. 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理定理定理. 设设且且存在存在 ,注注: 等价无穷小乘除可替换等价无穷小乘除可替换, 加减不可替换！加减不可替换！注注: x 可理解为可理解为“口口”.则则常用等价无穷小常用等价无穷小 :复习复习暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲二、函数的间断点二、函数的间断点 一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义 2.8 函数的连续性 第二章第二章极限与连续极限与连续暨南大学电气信息学院
4、苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性 主要内容主要内容五五、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质 0、增量、增量(改变量改变量)定义定义 0设有函数设有函数差差 u2 - u1 称为称为 u 的增量的增量,设变量设变量 u 由初值由初值 u1 变到终值变到终值 u2, 例例 0 终值终值 函数函数 y 的增量为的增量为 记为记为 终值与初值之终值与初值之如果自变量如果自变量 x 由初值由初值 x0 变到变到暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、函数连续性的定义一、函数连
5、续性的定义定义定义 1在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 则称函数则称函数(1) (2) 极限极限(3)设函数设函数在点在点连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且在点在点有定义有定义 , 即即存在存在 ;暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例1.证证.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲在点在点对自变量的增量对自变量的增量有有函数的增量函数的增量左连续左连续右连续右连续由此可知函数由此可知函数连续有下列连续有下列等价命题等价命题:暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例 2. 研究下列函数在研究下
6、列函数在 x = 1 的连续性的连续性: :解解. .因为因为 所以该函数在所以该函数在 x = 1 连续连续. .暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲定义定义 2则称它在该区间上连续则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续, 若若例例 3.证证.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例 4. 证明证明在在内连续内连续.( 有理整函数有理整函数 )证证 : (自证自证)所以所以 P ( x ) 在在内连续内连续.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院
7、苏保河主讲例例 5. 证明有理分式函数证明有理分式函数在其定义区间在其定义区间 I 内连续内连续.证证 : (自证自证)所以所以 R ( x ) 在其定义区间在其定义区间 I 内连续内连续.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲左连续左连续右连续右连续注注f (x) 在左端点在左端点 a 连续是指在连续是指在 a 右连续右连续; f (x) 在右端点在右端点 b 连续是指在连续是指在 b 左连续左连续.如果区间包括端点如果区间包括端点, 例如例如 a, b,定义定义 2则称它在该区间上连续则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .在
8、某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续, 若若暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲二、函数的间断点二、函数的间断点不存在不存在,存在存在,在点在点设设 f (x) 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则在下列情则在下列情形下形下, , 在在(2) 函数函数 f (x) 虽有定义虽有定义 , 在在(3) 函数函数 f (x) 虽有定义虽有定义 ,这样的点这样的点称为称为 f (x) 的的间断点间断点 . (1) 函数函数 f (x) 在在无定义无定义 , 不连续不连续 :函数函数 f (x) 在点在点暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主
9、讲间断点分类间断点分类第一类间断点第一类间断点:若若若若第二类间断点第二类间断点:若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,若其中有一个为若其中有一个为称称为为可去间断点可去间断点.及及均存在均存在.称称为为跳跃间断点跳跃间断点 .及及中至少一个不存在中至少一个不存在.称称为为无穷间断点无穷间断点 .称称为为振荡间断点振荡间断点 .暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲为其第二类间断点为其第二类间断点 ,x = 0 为其第二类间断点为其第二类间断点 ,为其第一类间断点为其第一类间断点 ,例如例如:也是可去间断点也是可去间断点.也是振荡间断点也是振荡间断点.也是无穷间断点也是
10、无穷间断点.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲为其第一类间断点为其第一类间断点,(4)(5) 为其第一类间断点为其第一类间断点,也是可去间断点也是可去间断点.也是跳跃间断点也是跳跃间断点.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例6. 讨论函数讨论函数所以所以 x = 2 是是 f (x) 第二类间断点第二类间断点, 也是无穷间断点也是无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.解解: (2) 当当 x = 2 时时. (自算自算)所以所以 x = 1 是是 f (x) 的第一类间断点的第一类间断点, 也是可去间断点也是可去间断点.(1) 当当 x
11、= 1 时时.得间断点得间断点暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲时时提示提示:为为连续函数连续函数.例例7. 填空填空:暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲在其定义区间内连续在其定义区间内连续三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理 1( 利用极限的四则运算法则和连续的定义可以证明利用极限的四则运算法则和连续的定义可以证明)商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和, 差差, 积积,暨南大学电气信息学院
12、苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲注注: 可以证明可以证明: 例如例如,在在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数定理定理 2(递减递减).(证明不要求证明不要求)递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数基本初等函数在其定义区间内连续基本初等函数在其定义区间内连续.定理定理 3 注注: 条件：条件：连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的. (证明不要求证明不要求)暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲 上也连续单调递增上也连续单调递增.例如例如,是由连续函数是由连续函数因此因此分别在分别在内连
13、续内连续 .复合而成复合而成 ,暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在一切初等函数在定义区间内连续定义区间内连续由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数定义区间定义区间: 包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间. 例如例如, 对于函数对于函数是定义区间是定义区间;是定义区间是定义区间;不是定义区间不是定义区间;不是定义区间不是定义区间.初等函数初等函数: 经过有限次四则经
14、过有限次四则运算和复合步骤所构成运算和复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数并可用一个式子表示的函数.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例 8. 填空填空.的连续区间为的连续区间为的连续区间为的连续区间为一切初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续.(1)(2)暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例 9. 一切初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续.解解注注 连续函数求极限用连续函数求极限用代入法代入法.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例10. 求求解解: 原式原式例例11. 求求解解
15、: 则则原式原式条件：条件：注注: 暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例 12. 讨论函数讨论函数的连续性的连续性.解解: 间断点间断点为函数为函数 f (x) 的的故故为为 f (x) 的第一类间断点的第一类间断点, (2) 当当 x = 0 时时.(3) 当当 x = 1 时时.第二类间断点第二类间断点, 也是跳跃间断点也是跳跃间断点.连续连续.(1) 由初等函数的连续性可知由初等函数的连续性可知,分别在区间分别在区间 也是无穷间断点也是无穷间断点;暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲五五、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定
16、理定理 4即即: 设设则则使使最大最大值和最小值值和最小值. .在该区间上一定有在该区间上一定有(证明略证明略)在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数推论推论: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲定理定理 5 ( 零点定理零点定理 )则至少存在一点则至少存在一点且且使使( 证明略证明略 )暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲定理定理 6 ( 介值定理介值定理 ) 设设 且且证证: 则则且且由零点定理知由零点定理知, 至少有一点至少有一点至少有一点至少有一点使使作辅助函数作
17、辅助函数则则不妨设不妨设 暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例例13. 证明方程证明方程至少有一个根至少有一个根 .证证: 由零点定理由零点定理, 至少存在一点至少存在一点在区间在区间故原方程在故原方程在 (0, 1) 内至少有一个根内至少有一个根.暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲作作 业业 P90 习题二习题二(A) 29(1); 30(2,4,6); 33; 34(1); 35; 37(1,2,3); 38; 39; 41.(B) 25; 27; 29.下次课内容下次课内容2.9 第二章小结与习题课第二章小结与习题课自看自看: P89
18、例例9暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲左右极限至少左右极限至少有一个不存在有一个不存在内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点: 可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点:无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲若函数若函数3.在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函
19、数 . 注注. 如果区间包括端点如果区间包括端点, 例如例如 a, b,f (x) 在右端点在右端点 b 连续是指在连续是指在 b 左连续左连续.f (x) 在左端点在左端点 a 连续是指在连续是指在 a 右连续右连续; 内容小结内容小结暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲 4. 初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续.注注:条件：条件：内容小结内容小结暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲4) 当当时时, 必存在必存在在在上有界上有界;上取到最大值与最小值上取到最大值与最小值;在在上可取得最大与最小值之间
20、的任何上可取得最大与最小值之间的任何值值; ;在在5. 闭区间闭区间 a, b 上连续函数上连续函数 f (x) 的性质的性质:内容小结内容小结暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲思考题思考题连续连续? 反例反例: x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续 .反之是否成立反之是否成立?答答:“反之反之” 不成立不成立 .暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 注意注意:函数不一定有最大值和最小值函数不一定有最大值和最小值 .或在闭区间上或在闭区间上有间断有间断 点点 ,若函数在若函数在开区间开区间内连续内连续,暨南大学电气信息学院苏保河主讲暨南大学电气信息学院苏保河主讲结束结束
