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1、返回第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学3.1 3.1 不定积分不定积分3.2 3.2 定积分定积分3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.3 3.3 1返回定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）2返回3.3.1 3.3.1 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分3.3 3.3 广义积分广义积分3返回#3.3.2 3.3.2 有限区间上无界函数的广义积分有限区间上无界函数的广义积分有限区间上无界函数的广义积分有限区间上无界函数的广义积分4返回3.4.3 3.4.3 3.4
2、.3 3.4.3 连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 元素法元素法元素法元素法3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用3.4.4 3.4.4 3.4.4 3.4.4 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用3.4.5 3.4.5 3.4.5 3.4.5 定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用5返回1. 1. 1.
3、 1. 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积3.4.2 3.4.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用f (x)在在a, b上不都上不都是非是非 x 轴所围成的面积应为：轴所围成的面积应为：负的，它与负的，它与x=a, x=b以及以及6返回一般地，由两条连续曲线一般地，由两条连续曲线 y = f (x), y = g(x)以及直以及直线线x=a, x=b所围成的平面图形面积为所围成的平面图形面积为上曲线减下曲线上曲线减下曲线上曲线减下曲线上曲线减下曲线7返回注注1 1类似地，我们也可以求由直线类似地，我们也可以求由直线 y = c, y = d 与与连续曲线连续曲线与
4、与所围的平面图形的所围的平面图形的面积公式为面积公式为右曲线减右曲线减右曲线减右曲线减左曲线左曲线左曲线左曲线e#8返回解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量9返回解解椭圆可看作直线椭圆可看作直线x=a,x=a 以及连续曲线以及连续曲线所围成的平面图形，故所围成的平面图形，故由面积公式可得椭圆面积为由面积公式可得椭圆面积为10返回11返回3.4.3 3.4.3 3.4.3 3.4.3 连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 元素法元素法元素法元素法3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.4.2 3.4.
5、2 3.4.2 3.4.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用3.4.4 3.4.4 3.4.4 3.4.4 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用3.4.5 3.4.5 3.4.5 3.4.5 定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用2. 2. 2. 2. 立体的体积立体的体积立体的体积立体的体积1. 1. 1. 1. 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积12返回 旋转体旋转体旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线就是由一个平面图形饶这
6、平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴旋转轴。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台(1) (1) (1) (1) 旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积2. 2. 立体的体积立体的体积13返回xyo旋转体的体积为旋转体的体积为14返回15返回如图所示16返回17返回解解解解直线直线OP 的方程为的方程为18返回19返回例例例例2 2求椭圆求椭圆 绕绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积轴旋转所形成的旋转体的体积解：解：解：解：将椭圆方程化为将椭圆方程化为由公式由公式b-ba-aOx y得出所求的体积为得出所求的体积为20返回例例例例3 3求由抛物线求由抛物线
7、 y =1- x2 和和 y = 0所为成的图形绕所为成的图形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积轴旋转一周所形成的旋转体的体积.x y-111O y=1-x2解解解解: : 取取 y为积分变量，变量为积分变量，变量 y的的 变化区间为变化区间为0，1, 利用公式：利用公式：所求的旋转体的体积为：所求的旋转体的体积为： x x2 2 = 1-= 1-y y21返回例例例例4 4 求由抛物线求由抛物线 y2 = x 和直线和直线 x=1所围成的图形绕所围成的图形绕 y 轴轴 旋转一周所形成的旋转体的体积旋转一周所形成的旋转体的体积.x y1-11O(1,1) y2=x解解解解 解方程组解方程组
8、得两个交点（得两个交点（1, 1）和）和 (1, -1).积分变量积分变量 y 的变化区间为的变化区间为-1, 1,所求旋转体的体积是绕所求旋转体的体积是绕 y 轴旋转轴旋转形成的形成的两个旋转体的体积之差两个旋转体的体积之差,所以，所求旋转体的体积所以，所求旋转体的体积V为为:#22返回3.4.3 3.4.3 3.4.3 3.4.3 连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值3.4.1 3.4.1 3.4.1 3.4.1 元素法元素法元素法元素法3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应
9、用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用3.4.4 3.4.4 3.4.4 3.4.4 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用3.4.5 3.4.5 3.4.5 3.4.5 定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用定积分在医学上的应用23返回3.4.3 3.4.3 连续函数的平均值连续函数的平均值定积分中值定理定积分中值定理定积分中值定理定积分中值定理 如果函数如果函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续，则在积分上连续，则在积分区间区间a,b上至少存在一个点上至少存在一个点 , ,使使几何解几何解几何解几何解释释释释连续函数
10、连续函数连续函数连续函数的平均值的平均值的平均值的平均值24返回例例例例1 1 求函数求函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值 解：解：26返回例例例例2 2 胰岛素平均浓度的测定胰岛素平均浓度的测定由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度浓度C(t)(单位单位/ml)为为其中其中 , 时间时间 t 的单位是分钟，求血液中的的单位是分钟，求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度胰岛素
11、在一小时内的平均浓度C(t)。27返回解：解：解：解：第第第第5 5章章章章28返回第第5 5章章 微分方程基础微分方程基础5.2 5.2 5.2 5.2 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程5.1 5.1 5.1 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念5.3 5.3 5.3 5.3 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程5.4 5.4 5.4 5.4 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程5.5 5.5 5.5 5.5 微分方程在医
12、药学中的应用微分方程在医药学中的应用微分方程在医药学中的应用微分方程在医药学中的应用29返回5.1 5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 引例引例引例引例2.2.微分方程的阶微分方程的阶4.4.微分方程的解微分方程的解5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念1.1.微分方程微分方程3.3.线性微分方程线性微分方程5.5.微分方程的初始条件微分方程的初始条件 30返回解解根据题意有根据题意有这就是曲线这就是曲线 y=f (x)所满足的微分方程所满足的微分方程对其两
13、端积分可得对其两端积分可得5.1.1 5.1.1 引例引例31返回解解即求未知函数即求未知函数S=S(t).设列车开始制动后设列车开始制动后t秒内行驶了秒内行驶了S米，由题意，米，由题意，列出微分方程：列出微分方程：积分一次得积分一次得再积分一次得再积分一次得32返回根据题意知根据题意知S应满足应满足:因假定路程因假定路程S是从是从开始制动时算起，故开始制动时算起，故S(0)=0.将这两个条件代入将这两个条件代入(*) (*) 式得式得初始条件初始条件初始条件初始条件于是制动后列车的运动规律为于是制动后列车的运动规律为初始条件初始条件初始条件初始条件(*)(*)33返回凡含有未知函数的导数或微
14、分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程微分方程微分方程. .例例例例实质实质实质实质 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .5.1.2 5.1.2 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1. 1. 1. 1. 微分方程微分方程微分方程微分方程34返回（或微分）的关系式，称为（或微分）的关系式，称为微分方程微分方程.未知函数是多未知函数是多注注定义定义定义定义未知函数是一未知函数是一元函数的微分方程，称为元函数的微分方程，称为偏微分方程偏微分方程.本章只研究常微分方程，简称为
15、本章只研究常微分方程，简称为微分方程微分方程，有时也简称为有时也简称为方程方程.例如例如例如例如是常微分方程，是常微分方程，方程方程方程方程是偏微分方程是偏微分方程.联系着自变量、未知函数以及它的导数联系着自变量、未知函数以及它的导数元函数的微分方程，称为元函数的微分方程，称为常微分方程常微分方程.分类分类分类分类1 1 1 1 常常常常微分方程微分方程, , 偏偏偏偏微分方程微分方程. .35返回2. 2. 2. 2. 微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶一阶一阶一阶一阶微分方程微分方程高阶高阶高阶高阶( (n) )微分方程微分方程分类分类分类分类2 2 2 2微分方程中出现的未
16、知函数导数的最高微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数阶数阶数阶数称为称为微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶.36返回例例37返回例如：例如：一般一般n阶线性微分方程具有形式阶线性微分方程具有形式如果方程为如果方程为 y及及的的一次一次有理整式，有理整式，是二阶线性微分方程是二阶线性微分方程.这里这里a1(x)，an(x)，f (x)是是x的已知函数的已知函数.则称则称 为为n阶线性微分方程阶线性微分方程. .不是线性方程的方程称为不是线性方程的方程称为非线性方程非线性方程.3. 3. 3. 3. 线性微分方程线性微分方程线性微分方程线性微分方程38返回分类分类分类分类3 3 3
17、 3 线性线性线性线性与与非线性非线性非线性非线性微分方程微分方程. .分类分类分类分类4 4 4 4 单个单个单个单个微分方程与微分方程微分方程与微分方程组组组组. .例如：例如：是二阶非线性方程是二阶非线性方程.39返回定义定义为方程的为方程的解解.例如：例如：如果函数如果函数代入微分方程，能代入微分方程，能使微分方程变为恒等式，使微分方程变为恒等式， 则称函数则称函数如果关系式如果关系式决定的隐函数决定的隐函数隐式解隐式解.是微分方程的解，是微分方程的解， 则称则称为方程的为方程的函数函数是方程是方程的解的解.4 . 022- -= =dtsd4. 4. 微分方程的解微分方程的解微分方程
18、的解微分方程的解40返回例如：例如：例如：例如：隐式解隐式解.注注 今后不把解和隐式解加以区别，统称为今后不把解和隐式解加以区别，统称为方程方程一阶微分方程一阶微分方程有解有解和和而关系式而关系式 x2+y2=1 就是方程的就是方程的的解的解.41返回定义定义定义定义如果如果n阶常微分方程的解中含有阶常微分方程的解中含有n个独立个独立的任意常数，则称它为微分方程的的任意常数，则称它为微分方程的通解通解.不含任意常数的解称为它的不含任意常数的解称为它的特解特解.例如例如注注1 1通解不一定就是所有解通解不一定就是所有解.是方程是方程的通解；的通解；是方程是方程的通解的通解.42返回注注2 2求微
19、分方程的通解时，通解中的求微分方程的通解时，通解中的C不能被不能被省略，省略，但但“C为任意常数为任意常数”可以被省略可以被省略.例如：例如：例如：例如：这两个解不包括在通解中这两个解不包括在通解中.的通解，其中的通解，其中C为任意常数为任意常数.容易验证容易验证 y = 1和和 y = - -1都是方程的解都是方程的解.但但或或是方程是方程43返回5.5.5.5.微分方程的初始条件微分方程的初始条件微分方程的初始条件微分方程的初始条件 解所必需满足的条件，这就是所谓解所必需满足的条件，这就是所谓初始条件初始条件.为了确定微分方程一个特解，通常给出这个为了确定微分方程一个特解，通常给出这个用未
20、知函数及其各阶导数在某个特定点的值用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中的任意常数而得到特解的条作为确定通解中的任意常数而得到特解的条件，称为件，称为初始条件初始条件初始条件初始条件 定义定义定义定义: :如例如例1 1中的中的(2,3)(2,3)是初始条件是初始条件. . 44返回过定点的积分曲线过定点的积分曲线; ;一阶一阶二阶二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题初值问题初值问题初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .5.5.5.5.微分方程的初始条件微分方程的初始条件微
21、分方程的初始条件微分方程的初始条件 45返回解解解解46返回所求特解为所求特解为# #47返回曲线曲线y=f(x),直线直线x=a,x=b及及x轴轴所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形绕绕x轴轴旋转旋转所得的旋转体体积所得的旋转体体积V为为:2. 2. 2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积如图所示如图所示:小小 结结48返回49返回曲线曲线x= (y),直线直线y=c,y=d及及y轴轴所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形绕绕y轴轴旋转所形成的旋转体的体积旋转所形成的旋转体的体积V为为:xydcOx=(y)dy2. 2. 2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体积旋转体的体
22、积50返回#3.4.3 3.4.3 3.4.3 3.4.3 连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值连续函数的平均值51返回微分方程微分方程; ;微分方程的阶微分方程的阶; ;线性微分方程线性微分方程小小 结结微分方程的解及其分类微分方程的解及其分类微分方程的解及其分类微分方程的解及其分类(1)(1)(1)(1)通解通解通解通解 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意且任意常常数的个数数的个数与微分方程的与微分方程的阶数阶数相同。相同。(2)(2)(2)(2)特解特解特解特解 确定了通解中任意常数以后的解。确定了通解中任意常数以后的解。特解的图象特解的图象 一条一条一条一条积分曲线。积分曲线。通解的图象通解的图象 积分积分曲线族曲线族曲线族曲线族。初始条件初始条件初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件。用来确定任意常数的条件。第一节第一节第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念52返回作作 业业 P116 20 (2), 25 P171 1, 2（1）（）（3）（）（5） 预习：预习：预习：预习：一阶微分方程一阶微分方程53
