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1、典型的应用题 主讲人：吕建国常见应用题的分类：归一问题归总问题和差问题和倍问题差倍问题平均数问题植树问题盈亏问题年龄问题鸡兔同笼周期问题还原问题数字与数位包含排除问题牛吃草问题归一归总问题例1：分摊路费问题甲、乙两人乘一辆出租车从某地到游甲、乙两人乘一辆出租车从某地到游泳馆去泳馆去(无起步价无起步价),行驶到一半路程时行驶到一半路程时,遇见一位同学遇见一位同学,3人合乘到游泳馆人合乘到游泳馆,最后最后司机收费司机收费13.5元。如果按照合理的方元。如果按照合理的方法分摊车费法分摊车费,后上的同学应付多少元后上的同学应付多少元?解析：可以把路费五等分，前一半路程甲乙付，后一半路程三人平分。那么后
2、上的同学应付费为13.55=2.7元。 例2：拼钱买面包甲、乙、丙三人在外出时买了甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平个面包，平均分给三个人吃，甲没有带钱，乙付了均分给三个人吃，甲没有带钱，乙付了5个个面包的钱，丙付了面包的钱，丙付了3个面包的钱。后来，甲个面包的钱。后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？给乙、丙各多少钱？解答过程如下：解答过程如下：8 8个面包的总钱：个面包的总钱：48483=1443=144（角）（角）一个面包的价钱：一个面包的价钱：1441448=188=18（角）（角）乙付了：乙付了：18185=905=90
3、（角）（角）甲应还乙：甲应还乙：909048=4248=42（角）（角）丙付了：丙付了：18183=543=54（角）（角）甲应还乙：甲应还乙：545448=648=6（角）（角）和差倍分问题例3：和倍问题弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？例4：差倍问题甲、乙两人存款若干元,甲存款是乙存款的3倍,如果甲取出240元,乙取出40元,甲、乙存款数正好相等.问甲原有存款多少元,乙原有存款多少元？【解析】： 兄弟两人的总数是不变的可看成是“3份量”如下图所示； 【解答】：（1）兄弟俩共有课外书的数量是202545。（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟
4、俩共有的倍数是213。（3）哥哥剩下的课外书的本数是45315。（4）哥哥给弟弟课外书的本数是251510。答：答：哥哥给弟弟10本课外书。【解析】：甲存款是乙的3倍,乙是1倍数,甲、乙相差数(240-40)元,也是原来的相差数,正好等于原有存款的(3-1)倍。图示:【解答】：乙原存款数:(240-40)(3-1)=100(元)； 甲原存款数:1003=300(元)? 元取240元取40元 乙: 甲:? 元平均数问题例5：平均分某次考试，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分
5、，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？【解答】：7个人的分数总和是：787=546（分）.分数各不相同的5个人平均分是80分，那么另2位分数相同的同学每人得分是：（546-805）2=73（分）.这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是：546-97-64-88-733=78（分）.植树问题例6：直线型植树问题学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备多少面彩旗? 【解析】：此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是: 棵数=全长间隔长；全长=间隔长棵数；间隔长=全
6、长棵数只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树. 【解答】：列式是:10010=10(面) 盈亏问题例7：盈亏问题盈刘阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个苹果，则多16个苹果，如果每人分5个苹果，则正好分完，那么刘阿姨买了多少个苹果，分给几个小朋友？【点拨】：列出已知条件：每人3个 多16个（盈）每人5个 正好分完因为人数和苹果总数不变，从两次分配中我们可以知道，第二种分配方案比第一种分配方案多分16个，为什么会多分16个苹果呢？因为第二种分配方案每人分的比第一种每人分的多2个，多少人才能多16个呢？用162=8（人），可知有8个小朋友，那么苹果数为83+16
7、=40（个）或58=40（个）【解答】：（1）小朋友有多少人？16（5-3）=8（人）（2）苹果有多少个？58=40（个）或38+16=40（个）例8：盈亏问题（2）亏学校买来一些故事书，每班发16本，正好分完，每班发18本，少40本，则买故事书多少本？分给几个班？ 【点拨】：列出已知条件：每班16本 正好分完每班18本 少40本（不足）因为书本数和班数是不变的，从两次分配方案中我们可以知道，第一种分配方案比第二种分配方案少40本，为什么会少40本呢？是因为第一次分配每班分的比第二次每班分的少2本，多少班才能相差40本呢？用402=20（个），即共有20个班，共买多少本书呢？1620=320（
8、本）或1820-40=320（本）【解答】：（1）共有多少个班？ 40（18-16）=20（个）（2）共有多少本书？2016=320（本）或2018-40=320（本）年龄问题 例9：简单的年龄问题哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄?【点拨】：根据题意看图,我们可以知道35岁为粗线表示的部分.如果我们把弟弟7年后的年龄作为1倍量,那么哥哥5年前的年龄也是1倍量.只要我们找到这两倍量所对应的数量,就可以先求出1倍量,使问题得解.【解答】：35+3+7-5-4=36(岁)362=18(岁)18-7=11(岁)14+5=23(岁)
9、弟弟:7年今年5年哥哥:今年3年35岁4年鸡兔同笼 例10：简单的鸡兔同笼问题一个农夫有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡、兔各有多少? 【解析】：鸡兔同笼问题适用的基本方法是假设法。假设这笼里全是鸡，那么鸡脚的总数应为：502=100(只)，与实际相比较，脚减少的数为140100=40(只)。脚减少的原因是每把一只兔当作一只鸡时，要少42=2(只)脚。所以实际的兔数是40(42)=20(只)，若先假设的全是鸡，则先求出的是兔数。【解答】：设全是鸡，那么相应的鸡脚数：502=100(只) 与实际相比，脚减少的数：140100=40(只)兔脚与鸡脚的差：42=2(只)实际兔数为：4
10、02=20(只)那么实际的鸡数：5020=30(只)例11：复杂的鸡兔同笼问题蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种小虫各几只？ 【解析】：此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比前几道题复杂了。解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了。 突破口在于：蝉和蜻蜓都有6条腿。 【解答】：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成8条腿和6条腿两种，利用基本关系式算出8条腿的蜘蛛数=(140621)(86)=(140126)2 =142 =7(只)。 因此，知道
11、了6条腿的昆虫共有 217=14(只)，也就是蜻蜓和蝉共有14只。因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得蝉数=(14224)(21)=(2824)1=4(只)。因此，蜻蜓数是144=10(只)。 周期问题例12：周期问题（1）在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？ 【解析】：因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是3
12、0厘米,如下图所示.由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.【解答】：2(100-10) 30+1=23+1=7(段).6121824305101520259596100.90还原问题 例13：还原问题（1）小明的爷爷今年年龄减去7后，除以9，再加上2，最后乘10，恰好是100岁，小明爷爷今年多少岁？ 解析解析从最后一个条件恰好是100岁，向前推算，乘10后是100岁，那没有乘10前应是10010=10（岁）；加上2之后是10岁，那没加2之前应是10-2=8（岁）；除以9后是8岁，那没除以
13、9之前应是89=72（岁）；减去7后是72岁，那没减7之前是72+7=79（岁）。所以，小明爷爷今年是79岁。列式为：（10010-2）9+7=79（岁）。数字与数位问题例14：数字交换问题一个两位数的两个数字之和是9，将这个两位数的十位上与个位上的数字交换，得到一个新的两位数（称为原数的倒转数）。如果原来的两位数比新的两位数多45，原来的两位数是多少？ 【解析】：倒转后数字对应数位相应的倍率；【解答】：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为，依据题意可得； 包含排除问题 例15：容斥问题求从1到2010中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.牛吃草问题 例16：简单的牛吃草问题牧场
14、上的青草每周都在长，假设每周长的一样多，如果这片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，那么这片牧场可供18头牛吃多少周？【解析解析】因为牧草是在长的，所以我们先计算出牧草每周因为牧草是在长的，所以我们先计算出牧草每周长多少。把长多少。把1头头1天吃的草当成天吃的草当成1份：份：24头牛头牛6周吃了：周吃了：1246=144（份）（份）20头牛头牛10周吃了：周吃了：12010=200（份）（份）同一片牧场上原有草量是一样的，这中间相差的就是同一片牧场上原有草量是一样的，这中间相差的就是4周长出来的草量，因此草每周长：（周长出来的草量，因此草每周长：（200144）（10-6）=14（份）（
15、份）18头牛能吃多少周，我们可以这么考虑：头牛能吃多少周，我们可以这么考虑：18头牛每周头牛每周共需吃共需吃18份，而每周可以长出来份，而每周可以长出来14份，所以原有草量只减份，所以原有草量只减少少18-14=4（份），因此我们只要算出原有草量每天被吃（份），因此我们只要算出原有草量每天被吃掉掉4份够吃多少天就行了，算原有草量可以使用前面两个份够吃多少天就行了，算原有草量可以使用前面两个条件，用一共吃了多少减去一共长出来多少：条件，用一共吃了多少减去一共长出来多少：原有草量：原有草量：144-146=60（份）或（份）或2001410=60(份份)18头牛吃多少周：头牛吃多少周：60（18-14）=15（周）（周）
