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1、第第2 2章章 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.1 2.1 拉氏变换的概念拉氏变换的概念 LaplaceLaplace变换是求解线性常微分方程常用的一变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，方法相比，LaplaceLaplace变换有如下两个显著的特变换有如下两个显著的特点：点：n n只需一步运算就可以得到微分方程的通解只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。和特解。n n微分方程通过微分方程通过LaplaceLaplace变换转化成含有变换转化成含有s s的的一代数方程，然后运用简单的代数法则就一代
2、数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在可以得到代数方程在s s域上的解，而只要再域上的解，而只要再作一次作一次LaplaceLaplace反变换就可以得到最终我们反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。所需的时域上的解。式中的式中的 s s 被称为是被称为是LaplaceLaplaceLaplaceLaplace算子，它是一个复数变算子，它是一个复数变算子，它是一个复数变算子，它是一个复数变量，即有量，即有量，即有量，即有 。LaplaceLaplace（拉氏）变换的定义（拉氏）变换的定义定义：已知有实函数，其LaplaceLaplace变换为：变换为：这个平面就被这个平面就被我
3、们称为是我们称为是S S域域或复数域或复数域条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。 n n由于由于 是一个定积分，是一个定积分， 将在新将在新函数中消失。因此，函数中消失。因此， 只取决于只取决于 ，它是复变数它是复变数 的函数。的函数。拉氏变换将原拉氏变换将原来的实变量函数来的实变量函数 转化为复变量函数转化为复变量函数 。n n拉氏变换是一种单值变换。拉氏变换是一种单值变换。 和和 之之间具有一一对应的关系。通常称间具有一一对应的关系。通常称 为为原函数，原函数， 为象函数。为象函数。 【例【例【例【例2-12-12-12-1】 求单位阶跃函数求单位阶跃函数求单位阶跃函数求单位阶跃函数(U
4、nit Step Function)(Unit Step Function)(Unit Step Function)(Unit Step Function)1(t)1(t)1(t)1(t)的象函数。的象函数。的象函数。的象函数。在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合号，相当一个开关的闭合( (或断开或断开) )。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式。式。在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。它的拉氏式由定
5、义式有：用信号。它的拉氏式由定义式有： 表表2-1 2-1 常用函数的拉氏变换对照表常用函数的拉氏变换对照表2.2 2.2 拉氏变换的运算定理拉氏变换的运算定理 1.叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即:2.比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即:3.微分定理在零初始条件下在零初始条件下，即： 则：上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 。 4.积分定理在零初始条件下，即： 则：上式表明，在零初始条件下，原函数的 重积分的拉氏式等于其象函数除以 5.延迟定理 当原函数 延迟 时间，成为 时，它的拉氏式为：上式表明
6、，当原函数 延迟 ，即成 时，相应的象函数 应乘以因子 。 6.终值定理 上式表明原函数在 时的数值(稳态值)，可以通过将象函数 乘以 后，再求 的极限值来求得。条件是当 和 时，等式两边各有极限存在。 终值定理在分析研究系统的稳态性能时终值定理在分析研究系统的稳态性能时( (例如分析系统的稳态误例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等差，求取系统输出量的稳态值等) )有着很多的应用。因此终值定有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。理也是一个经常用到的运算定理。 2.3 2.3 拉氏反变换拉氏反变换 n n由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换(Inverse Lap
7、lace Transform)。拉氏反变换常用下式表示： 拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数。可以通过查表来求取原函数。 例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 求求求求 的象函数。的象函数。的象函数。的象函数。解：由比例定理可知：通过查表可知：再根据叠加定理，可求得 的象函数为：例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 求求求求 的原函数。的原函数。的原函数。的原函数。解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：比较以上两式的分子，可得：通过查表，可求得：2.4 2.4 应用拉氏变
8、换求解微分方程应用拉氏变换求解微分方程 S (t=0)+-RC+-UC这是一个一阶电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。则根据KVL定理，有：s代入电路，可得到电路的把和微分方程：现在，我们就来解这个微分方程分离变量，有：两边同时积分：两边再同时取指数：整理得：并令：则有：将初始条件：t=0时，c(0-)=0代入上式，可得：所以最后求得该微分方程的解为：现在对于上面的微分方程，我们有LaplaceLaplace变换再求变换再求解一次。解一次。由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，且当且当t=0t=0时，时，Uc(0+)=0Uc(0+)=0，所以上式有：，所以上式有：首先，利用首先，利用LaplaceLaplace变换中的微分定理，将微分方程变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：变换成如下形式：单位阶跃函数的单位阶跃函数的Laplace变换变换利用待定系数法可求得：再对上式进行LaplaceLaplace反变换，得：反变换，得：整理，可得：将所求系数带入上述方程，有：
