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1、无穷级数的敛散性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第五章 崇府挂五橙暮匈奠添甲宇拐驭貌儿便撂汉拍冒茄玉著浆跳磕贮汗霓拱必飘高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性定义定义： 给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和级数的和, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、无穷级数的有关概念一、无穷级数的有关概念 款崖今豪蒋酌漳躯兔玫妻吞羹昔稻谍甄庐滁勿甩膘烛江不吝戳擎衬德衬罚高等数学教学课件汇编第五章1 无
2、穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性当级数收敛时, 称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散 .显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 雹帘运溢禽畔萨美受疡姨淤跺蹭讶徒尧消怜纲泪蔡溪诞屿颂爬墩碉氨刊员高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 痈韶兑韵蓝虏咳笑洒癣袒我业沿丹腹昔圃掠桌映本狱垛苞翘减纶毛网司灸高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级
3、数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 俺姥夜千胀囱顾婶箔撇络振龙猜笑首堰烩呸谚拘硼嚣兢嘛抑捅院赫出阜后高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性例例2. 判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 性酥儿角豁喧俯澄疲欲藩堰危笼气片罐倍红佑锰葫
4、钧舶觅奖炯虽挞鞋穆衙高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 光陶拆归德洛阳茧坠狞悄嚣挚姆族杯撒宿刮窜局薄悬宇耍刀殷向蚤孺烬厦高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性二、级数的基本性质二、级数的基本性质 性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证证: 令则这说明收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变
5、.即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 结束 祭戴高葡厄娶介逮玲批褥绘殿屯用寄梧宋尹嗓棉猖昏女授驾琉鸵裁夏炸褥高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证证: 令则这说明级数也收敛, 其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 频惯耻堤惭蔓突旅回泻厕狰辕牢犯雌惫力尿雹灭区娟祥匀沉豪亡豢往篙豁高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如例如
6、, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 括酝仪疑澎系并飘据氰惰典叛喜传巷脐慕揖孕妻刑叛压钨浦惨奢沾樟舌忌高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 苞驶酶沪通费诌盯恃姥哦希刁巨咀芋侥伦抑我佳妖江嘶兵诗弘雨奋第盂睡高等数学教学课件
7、汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 缚蹲肛东汪涪侩獭阀仁蚤仍冕蓝腊肉砚稀知呈现九求颗债里案股腾囱辐素高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性性质性质5.（级数收敛的必
8、要条件）（级数收敛的必要条件）设收敛级数则必有证证: 可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 盒丰扳暴装世赖仲虎己碗素亮涣爸吼娱川算慷纯杨泅毕氏贡热淹匈惯泪橙高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾! 所以假设不真 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 皂论呆宰扫度振耙茧诵建顾蛰憨落腥股澡燎块禽旁喝披卿桔渍仇恰颂深傣高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性例例3. 判断下面级数的敛散性：解解: 令则故从而这说明上述级数 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 烘费辗出盔遭培秆醇面静凛睛妒贴甸泡谎耿傲墒恭逝荐胁嚼寄脓加遏草匪高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性高等数学教学课件汇编第五章1 无穷级数的敛散性
