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1、3.3.2函数的极值与导数 yxOabyf(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1 、 x3处函数值处函数值f(x1)、 f(x3) 与与x1 、 x3左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?f (x2)、 f (x4)比比x2 、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?观察图像观察图像：函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作
2、的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. (极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0例：例：y=x31理解极理解极值概念概
3、念时需注意的几点需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点2导数数为0的点不
4、一定是极的点不一定是极值点点练习：练习： 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6 yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby= =f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3进
5、一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby= =f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ，
6、x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调列表判断单调性性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (
7、x)有极小值有极小值 4 / 3 .变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 令令 解得解得 列表列表:x0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 列表列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 所以所以, 当当 x = 2
8、 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 .解得解得 所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况总结总结
