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1、第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 第第3章章 MATLAB在高等数学中的应用在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析矩阵分析3.2 多项式运算多项式运算 3.3 数据的分析与统计数据的分析与统计 3.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分 说本显母狄焚骄屠诸史仗锑污改智荡侩匠量咙匠口秀镜渭焉比实寐疟辑煎第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析矩阵分析 1 1矢量范数和矩阵范数矢量范数和矩阵范数 矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为： 当p2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和。这在MATLAB中可
2、利用norm函数实现，p缺省时为p=2。格式：格式：nnorm(A)功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A)。格式：格式：nnorm(A，p)功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得到不同的范数 魁赣籽虞裤早倡姚埂绒柒饵惮栓虾纱愚疙蔑沟看怖镊蹬猛站妮夺卸礼秧耀第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2 2矩阵求逆及行列式值矩阵求逆及行列式值 矩阵求逆函数矩阵求逆函数inv及行列式值函数及行列式值函数det逆矩阵的定义：逆矩阵的定义：对于任意阶 nn 方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：A*V=I
3、。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。格式：格式：V=inv(A)功能：返回方阵A的逆矩阵V。格式：格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。 伪逆矩阵函数伪逆矩阵函数pinv伪伪逆逆矩矩阵阵的的MATLAB定定义义：从数学意义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。在MATLAB中，为了求线性方程组的需要，把inv(A*A)*A的运算定义为伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆在一定程度上代表着矩阵的逆。格式：格式：C=pinv(A)功能：计算非方阵A
4、的伪逆矩阵。测胰鹰魄纹郝娠麓捉墙嚼朔靡肮聊咀晋豁层蒙匝偏宽饼未右刚武摆章苯酌第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3 3线性代数方程求解线性代数方程求解 写成矩阵形式可表示为：AXB 或 XAB。其中系数矩阵A的阶数为mn。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。 (1)求解方程求解方程AX=B 格式：格式：X=AB 条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。 (2)求解方程求解方程XA=B 格式：格式： X=B/A 条件：矩阵A与矩阵B的列数必须相等。一般线性方程组的贬扳妻岛携款献亦茫玫酿倦氛兴檄口虐炽狭莲糙抬而杖喂遥需硬蕉宁厌冕第3章MATLAB在高数
5、学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 4矩阵的分解 (1)三角三角(LU)分解函数分解函数lu 所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=LU），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩阵 分解的两个矩阵分别可表示为： 格式一：格式一：L,U=lu(A) 功能：返回一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵的乘积)，满足A=L*U。格式二：格式二：L,U,P=lu(A)功能：返回上三角矩阵U，真正下三角矩阵L，及一个置换矩阵P(用来表示排列规则的矩阵)，满足L*U=P*A；如果P为单
6、位矩阵，满足A=L*U。侮悔寞迎悄遏导雀饶艘好虚货孔焉耗储慌衫再挎寥叁堡枪刻作燎紫劫辖话第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (2)正交正交(QR)分解函数分解函数 将矩阵A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩阵A的正交分解。格式一：格式一：Q, R=qr(A)功能：产生与A同维的上三角矩阵R和一个实正交矩阵或复归一化矩阵Q，满足：A=Q*R，Q*Q=I。格式二：格式二：Q,R,E=qr(A)功能：产生一个置换矩阵E，一个上三角矩阵R(其对角线元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足A*E=Q*R；搓犀锥然陋狄漳痘伊自岔慨囚阔捉楔凉碱各甭瑟磅
7、氧仑睛蜕戒醇寇弄研划第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 5 5奇异值分解奇异值分解 矩阵A的奇异值和相应的一对奇异矢量u、v满足：同样利用奇异值构成对角阵，相应的奇异矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，则有：其中AT表示转置矩阵。由于U和V正交，因此可得奇异值分解：格式一：格式一：U,S,V=svd(x)功能：返回3个矩阵，使得X=U*S*V。其中S为与X相同维数的矩阵，且其对角元素为非负递减。格式二：格式二：S=svd(A)功能：返回奇异值组成的向量。骇尺擦铲悔怔形坚理矽桥湾盯镭岿怒旭辱徐泞阻点伟闽硷刷瘟启剂磨酝怕第3章MATLAB在高数学中的
8、应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 6 6矩阵的特征值分析矩阵的特征值分析 矩阵A的特征值 和特征矢量 ，满足：以特征值构成对角阵 ，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，则有：如果V为非奇异，则上式就变成了特征值分解：格式一：格式一：d=eig(A)功能：返回方阵A的全部特征值所构成的向量。格式二：格式二：V,D=eig(A)功能：返回矩阵V和D。其中对角阵D的对角元素为A的特征值，V的列向量是相应的特征向量，使得A*V=V*D。踌碟艺亿绘臻工铸叛赫盒客绘镣晃逞宏赛庇辩吱廷侩苫恳那更池肋涩磁茧第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
9、7 7矩阵的幂次运算矩阵的幂次运算: : Ap 在MATLAB中，矩阵的幂次运算是指以下两种情况： 1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作； 2、底数是标量，矩阵为指数的运算操作。 两种情况都要求矩阵是方阵，否则，将显示出错信息。(1) 矩阵的正整数幂矩阵的正整数幂 如果A是一个方阵，p是一个正整数，那么幂次表示A自己乘p次。(2) 矩阵的负数幂矩阵的负数幂 如果A是一个非奇异方阵，p是一个正整数，那么A(p)表示inv(A)自己乘p次。 (3) 矩阵的分数幂矩阵的分数幂如果A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4) 矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂
10、 利用运算符“A.p”实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。 缮奶俐筑卵潜蚊承嘲宠纵技摔琶喻勺晰钧槐移蒲蔗亏笑黔丙颊宣档吓临从第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 8 8矩阵结构形式的提取与变换矩阵结构形式的提取与变换 (1) 矩阵左右翻转函数矩阵左右翻转函数fliplr( )格式：格式：X=fliplr(A)(2) 矩阵上下翻转函数矩阵上下翻转函数flipud格式：格式：X=flipud(A)(3) 矩阵阶数重组函数矩阵阶数重组函数reshape格式一：格式一：X=reshape(A,n,m)功能：将矩阵A中的所有元素按列的秩序重组成nm阶矩阵
11、X，当A中没有mn个元素时会显示出错信息。格式二格式二 ：X=reshape(A,m,n,p,.) 或或 X=reshape(A,m,n,p,.)功能：从A中形成多维阵列(mnp.)。英理撰锅坚诽哇蚤肝乡余怀登学客贮狼心谩蔡元售韭感饥符辛沙偷俗话蓬第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (4) 矩阵整体反时针旋转函数矩阵整体反时针旋转函数rot90( )格式一：格式一：X=rot90(A)功能：将矩阵按反时针旋转90o。格式二：格式二：X=rot90(A, k)功能：将矩阵按反时针旋转k*90o，其中k应为整数。(5) 对角矩阵和矩阵的对角化函数对
12、角矩阵和矩阵的对角化函数diag( )格式一：格式一：X=diag(A,k)功能：当A为n元向量时，可得n+abs(k)阶的方阵X，其A的元素处于第k条对角线上；k=0表示主对角线，k0表示在主对角线之上，k0表示主对角线之上，k0表示主对角线之上，k0表示主对角线以下。格式二：格式二：X=triu(A)功能：得到矩阵A的右上三角阵。(8) 利用利用“：”将矩阵元素按列取出排成一列将矩阵元素按列取出排成一列方法：方法：X=A(:)旦钩吾陆甥煽萝砌琳尤吹角话擦嘉隅弛壳三尖哩妓拇菏擂侠刺绪雾淤痊桩第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.2 多项式运
13、算3.2.1 3.2.1 多项式表示及其四则运算多项式表示及其四则运算1MATLAB的多项式表示的多项式表示 对多项式：可表示成行向量：p=1,0,2, 5。 用其系数的行向量p=an, an-1, ,a1, a0来表示。注意：如果 x的某次幂的系数为零，这个零必须列入系数向量中。例如一个一元3次多项式： 2多项式的加减运算多项式的加减运算格式：格式：A=B+C3多项式相乘运算多项式相乘运算格式：格式：w=conv(u,v)功能：返回u和v两向量的卷积，也就是u和v代表的两多项式的乘积。4多项式相除多项式相除格式：格式：q , r=deconv(u , v)功能：给出商多项式q和余数多项式r
14、，u为被除多项式 掺桂函皇钩祝郁莹盂者苏绍咸熟充簿窗寇浊犯玖出秒膀皂烃肪滦官标梦揭第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 1多项式求导函数多项式求导函数polyder格式一：格式一：k=polyder(p)功能：返回多项式p的一阶导数。格式二：格式二：k=polyder(u,v)功 能：返回多项式u与v乘积的导数。格式三：格式三：q,d=polyer(u,v)功 能：返回多项式商u/v的导数, 返回的格式为：q为分子, d为分母。2多项式的根多项式的根求解多项式的根，即p(x)=0的解。格式：格式：r=roots(p)功能：返回多项式p(x)的根。
15、注意，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。3.2.2 3.2.2 多项式求导、求根和求值多项式求导、求根和求值催藻墓刺玲宦骆叠岭踊皑店腆琅科误子享蛹具谈葡蔼毕楼解颧膜怒佰忆长第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3多项式求值函数多项式求值函数polyval( )利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。格式：格式：y=polyval(p,x)功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用polyvalm函数求值。格式：格式：Y=polyvalm(p,X)功能：
16、返回矩阵多项式p在X处的值。4部分分式展开函数部分分式展开函数residue( )格式一：格式一：r,p,k=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展开成：其中r代表余数数组，p代表极点数组，ks代表部分分式展开的常数项。当分母多项式的阶次数高于分子多项式的阶次数时ks=0格式二：格式二：b, a=residue(r, p, k)功能：格式一的逆作用。杖决湛疮恋畦能乌阴绽播壶辩绘绘玄兑曝同片猿号拈啮酒晰乡拄渡页才意第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.3 3.3.3 多项式拟合与多项式插值多项式拟合与多项式插值1多项式拟合函数
17、多项式拟合函数polyfit( )格式：格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中p是求出的多项式系数，n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。2多项式插值多项式插值插值和拟合的不同点在于：插值函数通常是分段的，人们关心的不是函数的表达式，而是插值出的数据点；插值函数应通过给定的数据点。(1)一维插值函数一维插值函数interpl( )格式：格式：yiinterpl (x, y, xi, method)功能：为给定的数据对(x,y)以及x坐标上的插值范围向量xi，用
18、指定所使用的插值方法method实现插值。yi是插值后的对应数据点集的y坐标。插值的方法method有以下6种可供选择： nearest(最邻近插值法)、linear(线性插值)、 spline(三次样条插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。 乐渠潮义届莉象篮姑倔竹溉七两郝灿颊佐芬殉钮三姜椿柏轴剥驮景寥椭慢第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 （2）二维插值函数）二维插值函数格式：格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插值。已知的元素值由3个向量来描述：x、
19、y和z。函数返回值为一矩阵zi，其元素的值由x、y和z确定的二元函数插值得到。method可为：linear(默认值)、cubic 、nearest 、v4 。格式：格式：zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method)功能：单调节点插值。已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。其中，x、y是已知数据组并且大小相同，z是相对应的已知点上的函数值；xi、yi是用于插值的矢量； zi是根据相应的插值方法并且与(xi, yi)对应的插值结果。插值方法method：linear(默认值)、cubic 、nearest 、spline 。万诺游炽虐诀憾乘瓢贿颗爬兴恰橙蔓欺固启恳酶
20、叼深画除抑红橇降可冤痊第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (3) 高维插值和交互式样条插值高维插值和交互式样条插值高维插值函数：高维插值函数：三维插值及三维以上的插值称为高维插值。用于实现高维插值的函数有：interp3(三维插值函数)、interpn(n维插值函数)、ndgrid(n维数据网格)。其调用格式与interp2函数很类似，这里就不再重述了，具体调用格式读者可利用help来得。交互式样条插值函数交互式样条插值函数在MATLAB 6.0及以上版本中，样条工具箱新增加了交互式插值样条函数splinetool。该函数以对话框的形式为用户提
21、供了插值过程。格式一：格式一：splinetool功能：用于生成各种样条曲线，这里几乎包括所有生成样条曲线方法。在它的初始菜单中提供了各种数据，用户可以选择一种生成的样条曲线。格式二：格式二：splinetool(x,y)功能：用户输入数组x、y，并在用户图形界面下生成样条曲线。 佃拇氖判纪泵幢底纤些瞬含旅契抱盅剥眶挣胆议滇么搜拢互桐代钠伟盂露第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3 数据分析与统计3.3.1 3.3.1 数据基本操作数据基本操作1求最大值函数求最大值函数max格式一：格式一：xMmax(x)功能：如果x是向量，返回x中最大值
22、元素；如果x是矩阵，则将矩阵每列作为处理向量，返回一个行向量，其元素为矩阵每列中的最大元素；如果x为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，求得各向量的最大值。格式二：格式二：xM=max(x, y)功能：返回一个与x和y一样大小的数组，其元素取x或y中最大的一个。格式三：格式三：xM=max(x，dim)功能：返回数组(矩阵)x由标量dim所指定的维数(或行)中的最大值。格式四：格式四：xM，Imax()功能：返回最大值同时，返回一个下标向量。如果输入数据x为复数，max函数返回复数最大模：max(abs(x)。男精戏术肩个敝筛摔粒削西由坑谍贩荐伏易檀灸威掖赠涡民飞霖蜕姑椰慰第3章MATLA
23、B在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2求最小值函数求最小值函数min min函数的调用格式与max函数的调用格式相同，只是功能与max函数相反，所得结果为最小值。如果输入数据x为复数，min函数返回复数最小模：min(abs(x)3求平均值函数求平均值函数mean格式：格式：Mmean(x)功能：如果x为向量，则返回向量x的平均值；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量处理，返回一个平均值行向量；如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，返回一个平均值数组。4. 求中间值函数求中间值函数median 格式：格式：M=median(x)功能：如果x为向量，则返
24、回向量x的中间值；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作为处理向量，返回一个中间值行向量； 如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，返回一个中间值数组。5求元素和函数求元素和函数sum格式：格式：s=sum(x)功能：如果x为向量，则返回向量x的元素和；如果x为矩阵，则将矩阵每列当作向量处理，返回一个元素分别为各列和的行向量；如果A为多维数组，则沿第一个非单元素维进行计算，返回一个元素和数组。讫乾哭开挤是烽策氖诬目蝉米谷搅礁绕留入偏茨霹危利恐胰浆逊遭伸例嘻第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 6求求标准偏差函数标准偏差函数std与方差函数与方差函
25、数var对于向量 有两种标准差定义方法：其中 为样本的元素个数。格式一：格式一：s=std(x)功能：x为向量，则返回用s1计算的标准偏差s。如果x是服从正态分布的随机样本，则s2为其方差的最佳无偏估计；如果x为矩阵，则返回矩阵每列标准差的行向量；如果x为多维数组，则沿x第一个非单元素维计算元素的标准偏差。格式二：格式二：s=std(x, flag)功能：如果flag=0，与s=std(x)一样 ；如果 flag =1，则返回用s2计算的标准差。伺杰棕赃舞懂灌恕端摘砌碎滨蠢名汕桑陡棉堤吵醒墒催钠凰堆齐俗权谜缝第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
26、7 7排序函数排序函数sortsort格式一：格式一：A=sort(x)A=sort(x)功能：沿数组的不同维，以升序排列元素。元素可以为实数、复数和字符串。如果x是一个复数，其元素按其模的大小进行排列，如果模相等，则按其在区间-pi, pi上的相角进行排序。格式二：格式二：A ,index=sort(x)功能：同时返回一个下标数组index。8元素乘积函数元素乘积函数prod格式一：格式一：A=prod(x)功能：如果x为向量，则计算其所有元素的乘积；如果x为矩阵，则每列作为向量处理，回一个每列元素积的行向量；如果x为多维数组，则沿第一个非单元素维进行处理，返回元素积数组。格式二：格式二：A
27、=prod(x,dim) 功能：沿dim指定维，返回元素积。悠详桨插舆努汐此泛遍螟韵瞥嘱电爽茸裁观鹊默裴倾蚂浅森正蔓眉府樊钱第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 9列元素累乘积函数列元素累乘积函数cumprod( )格式一：格式一：A=cumprod(x)功能：沿数组不同维，返回累乘积，返回值A与x大小一样，与元素全乘积不同，它只将x中相应元素与其之前的所有元素相乘。当x是向量，返回x的元素累计积向量；如果x为矩阵，返回一个与x大小相同的每列累乘积的矩阵；如果x为多维数组则沿第一个非单元素维计算累乘积。格式二：格式二：A=cumprod(x, d
28、im)功 能：返回沿dim指足的维的元素的累乘积。10累计和累计和cumsum函数函数格式一：格式一：A=cumsum(x)功 能：沿数组不同维，返回累乘和。当x是向量，返回x的元素累计和；如果x为短阵，返回一个与x大小相同按列累计和的矩阵；如果x为多维数组则沿第一个非单元素维计算累计和。格式二：格式二：A=cumsum(x,dim)功 能：沿dim指定的维计算元素的累计和。智贸茬冈暑耗慷则桶靳凑份椽淫劳懊牌瘫负晤拽毛泰坪苛坤休扒柜产庸当第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.2 3.3.2 协方差与相关系数协方差与相关系数1求协方差函数求
29、协方差函数cov( )协方差函数定义为：其中E表示数学期望； 格式一：格式一：C=cov(x)功能：如果x为向量，则返回向量元素的方差；如果x为矩阵，每列产生一个方差向量，cov(x) 是一个协方差矩阵，diag(cov(x)为每列的方差向量，sqrt(diag(cov(x)是一个标准差向量。格式二：格式二：C=cov(x, y)功能：返回x、y的协方差。x、y为长度相同的列向量。也可用C=cov(x,y)。絮瑶逆伤姥芝钵眨刨僻颤契烤彰冯斟站柬褐屋帖苫它桨榨阑苔达靳炔匣黑第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 格式二：格式二：S=corrcoef(
30、x,y)功能：返回列向量x和y的相关系数，也可用 S=corrcoef(x y)。2求相关系数函数求相关系数函数corrcoef( )格式一：格式一：S=corrcoef(x)功能：根据输入矩阵x，返回一个相关系数矩阵，相关系数S的矩阵与协方差矩阵 C=cov(x)有关，由下式确定：嵌宠潍消痒京交钙祖怜哭绑诽镁肿讶挞趟又宽禾陵刷忙偷涪血棍傅平商肮第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.3 3.3.3 有限差分有限差分1求元素之差函数求元素之差函数diff( ) 格式一：格式一：A=diff(x)功能：计算x中相邻元素之间的差值或近似导数。如
31、果x为向量，则返回一个比x少一个元素的向量，其元素值为x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，x(n)-x(n-1)；如果x为矩阵，则返回一个列间差值的矩阵：x(2:n,:) - x(1:n-1,:)。格式二：格式二：A=diff(x, n)功能：使用diff函数递归 n 次，计算第n阶差值。例如，diff(x,2) = diff(diff(x)。格式三：格式三：A=diff(x, n, dim)功能：沿dim指定的维数计算第n阶差值。如果n大于或等于dim维的长度，则返回空数组。朵劫蓄孵编界门尺箭酥薄气汰斡宗绷吏臃期据谨勋裹箭赊优谈莎肚脏厕耘第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3
32、章 MATLAB在高等数学中的应用 2求数值梯度函数求数值梯度函数gradient( ) 两变量函数F(x, y)的梯度定义为 对N个变量函数 F(x,y,z, ) 其梯度为 梯度可看作指向F增加方向的向量集。 格式一：格式一：Fx=gradient(F)功能：F为一向量，返回F的一维数值梯度，Fx与 一致，表示x方向的差分。 格式二：格式二：Fx, Fy=gradient(F)功能：F为一矩阵，返回二维数值梯度的x和y分量。 Fx与 表示x(列)方向的差分 Fy与 一致，表示y(行)方向的差分。每个方向点间距离设为1。锄坷歧湃扣遇阜繁秩擎绢琴详罐专缝鲁嚏莎命岁啥缚厅逼酱雍痈娟脐尿澜第3章MA
33、TLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4 函数分析与数值积分3.4.1 3.4.1 函数在函数在MATLABMATLAB中的表示与函数的绘图中的表示与函数的绘图1函数的表示与计算函数的表示与计算2函数的绘制函数的绘制(1) 单变量函数绘画命令单变量函数绘画命令fplot fplot( )函数的功能能确保在输出的图形中表示出所有的奇异点。格式一：格式一：fplot(fun, xmin, xmax)功能：变量在xmin, xmax范围，绘制指定函数fun的图形。格式二：格式二：fplot(fun, xmin, xmax, tol)功能：在xmin, xma
34、x范围，以给定的精度tol1，绘制指定函数fun的图形，tol的缺省值为2e-3。哩垄攀彭遮必妨克不荣锡詹妓筐氢马纠挟意临已汉讣并廓潭侯攀逗台测阜第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (2) 简易的函数绘图命令简易的函数绘图命令ezplot( )格式一：格式一：ezplot(f, a,b)功能：当f=f(x)时，绘制函数f=f(x)在a x b范围函数曲线，并且所绘图上还自动进行标注；当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默认的自变量范围为当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默认的自变量范围为、格式二：格式二：ezplot(f,
35、 xmin,xmax,ymin,ymax) 功能：在xmin x xmax、ymin y ymax范围绘制f(x,y) = 0的曲线。格式三：格式三：ezplot(x,y, tmin,tmax)功能：在tmin t tmax范围绘制x = x(t)和y = y(t)的曲线。范围缺省是变量t的范围为0 t 2*pi。当f = f(x,y)时，则绘制a x b 、 a y b范围内f(x,y) = 0的函数曲线；刀格欧悄眩头娃症柯料锥朴厦渍桌虐唬叠泊炉睦慷辰滔尖蒜瑰乎梳膊湖肯第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4.23.4.2函数的极点、零点分
36、析函数的极点、零点分析 1极值分析函数极值分析函数(1) 单变量函数求极小值函数单变量函数求极小值函数fminbnd( )格式：格式：x=fminbnd (fun,x1,x2)功能：返回函数fun(x)在区间x1, x2内的局部极小值。(2) 多变量函数求极小值函数多变量函数求极小值函数fminsearch( )fminsearch函数与fminbnd函数类似，但是它面向多变量函数。格式：格式：x=fminsearch(fun,x0)功能：返回x0附近，函数fun的局部极小化向量x。x0可以是标量、向量或矩阵。2单变量函数的零点分析单变量函数的零点分析格式：格式：x=fzero(funname
37、,x0)功能：在x0附近，寻找函数funname的零点。funnamce为一个函数名的字符串，函数为单变量实值函数。Funnamce可以为函数句柄，也可以是inline对象。函数返回值的附近函数变号。如果x为两元素向量 , 则认为x0为区间，f(x0(1)的符号与f(x0(2)的符号相反，否则返回NaN。如果找到Inf、NaN，或复数值，则停止在查找区间内的搜索。米浙劈毡蛹宗依挛饰患曙灾蔚脚痘友蒸托尽至我喧挖部怪砰酞演拭站烧百第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4.33.4.3函数的数值积分与微分函数的数值积分与微分1函数的数值积分函数的数
38、值积分(1) 低阶数值积分函数低阶数值积分函数quad格式一：格式一：q=quad(fun,a,b)功能：采用自适应的Simpson积分方法，返回函数fun 在上限 a 和下限 b之间的数值积分。当给定一个输入值向量，fun 必须返回一个输出向量。函数fun可以是函数名、函数句柄或字符串。格式二：格式二：q=quad(fud,a,b,tol)功能：按指定绝对误差tol返回数值积分值, tol 缺省值为 1e-6。(2) 高阶数值积分函数高阶数值积分函数quadl 刻帖曲摧镍怒包询丁蹲铜叙勃摇厕坛牡苹冤突迈龟沏柔抨弟朗夜黍韵倡乞第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在
39、高等数学中的应用 (3) 梯形面积法的积分函数梯形面积法的积分函数trapz( )格式一：格式一：T=trapz(Y)功能：以单位间隔，采用计算若干梯形面积的和来计算某函数的近似积分。如果Y为向量，计算Y的积分；如果Y是矩阵，得一个每列积分的行向量；如果Y为多维数组，则沿第一个非单元素维计算。格式二：格式二：T=trapz(X,Y)功能：用梯形积分法，依据X计算Y的积分。如果X为矢量，则Y必须是同大小的矢量；如果X是一列向量，并且数组Y第一非单元素维长度为length(X)，则在该维中计算。(4) 双重积分函数双重积分函数dblquadMATLAB提供了一个求双重积分的函数dblquad，其基
40、本调用格式为：格式：格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)功能：按指定精度tol，对指定函数 f(x, y)在xmin, xmax范围和ymin, ymax范围进行双重积分。精度tol缺省时默认精度为1e-6。 沽身涝酣惑瘩英涣掳录魔夕窘嗓范妨侥拼稠箕摩疽肌枯钦兵珊桨浦莲缘鹰第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (5) 不定积分的计算不定积分的计算 对于函数不定积分的计算，可以采用定积分函数来求不定积分的数值解。方法是：固定积分下限，用for循环，把积分上限逐步增加即可实现。2函数的数值微分函数的数值微
41、分(1)通过计算数组中元素间的差分函数diff来粗略计算微分函数。 (2)对数据拟合后再利用polyder函数微分 为了实现对数值较准确的微分，最好先用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进行微分。 岁男搂哼油翁毯吐札论腹甩迸市景尘督延皿沸幻北聂录雪辐魏疑惩搂黎讳第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4.4 3.4.4 常微分方程的数值求解常微分方程的数值求解1初始值的常微分方程求解初始值的常微分方程求解格式：格式：T,Y = ode45(odefun,tspan,y0)功能：返回由文件odefun所定义的具有初始条件为y0、时间t
42、变化范围为t0, tfinal 的微分方程y = f(t,y)的解，其中tspan = t0,tfinal。向量T中的每一列对应着矩阵Y的每一列。 任何高阶常微分方程都可以变换成一阶微分方程，即表示成右函数形式，这是利用龙格-库塔法求解微分方程的前提。 牲劫鸟淬丧公端隋虚钥屋砂烘舶提凄八鹿射瞄瓢芜耙奏贪医拓升桨借嚣苞第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2边界条件的常微分方程求解边界条件的常微分方程求解对于如下的微分方程： 用于边界条件的常微分方程求解问题: 函数bvp4c格式：格式：sol = bvp4c(odefun,bcfun,solini
43、t)其中odefun为常微分方程函数，bcfun为边界条件函数，solinit为求解的初始值。输出sol是一个结构，它有4个属性。sil.xbvp4v选择的网格节点sil.y 网格点sil.x处y(x)的近似值sil.yp网格点sil.x处y(x)的近似值sil.parameters未知参数的值。如果存在未知参数，则求解函数会自动求得。刻记脸鹰喧斤秆飘彰撕桩启虑痢阔骋簿悉扦臆府挫闸缸钥单尝透匀症万赦第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 MATLAB提供了dpepe函数来求解该问题的数值解。其基本调用格式为：sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)其中有t0ttf ，ax0，则必须a0，求满足初始条件 u(x, t0)=u0(x)边界条件如下的解：3偏微分方程的求解偏微分方程的求解 考虑如下的偏微分方程：翼熙托契膜诧辩帐阁敞驻隶怯蛋仇永萌宅菇亚味钮嘱腐卵畜现添句匠厩修第3章MATLAB在高数学中的应用第3 章
