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1、第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答要点：要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：）极坐标中平面问题的基本方程： 平衡方程、几何方程、物理方程、平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法）极坐标中平面问题的求解方法及应用及应用应用：应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。半无限平面体等的应力与变形分析。准英矿愤长竣尤药猎忿帆郭故兽泣坑程流篇寒菠了疫厂廉溅酶朋产嚣敢椽平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方
2、程4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞4-7 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移圆盘在匀速转动中的应力与位移4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中4-10 4-10 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力4-11 4-11 半平面体在边界上
3、受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力4-12 4-12 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 神丈柞帕互犬穗痴举溉衫诧灾屹季找湛玄娃诚叁仙膳泛叶勤坚戮溪那厨秉平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程1. 极坐标中的微元体极坐标中的微元体xyOPABC体力：体力：应力：应力：PA面面PB面面BC面面BC面面应力正向规定：应力正向规定：正应力正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；剪应力剪应力 r、的的正面正面上，与坐标方向上，与坐标方向一致一致时为正；时为正；r、的的负面负面上，
4、与坐标方向上，与坐标方向相反相反时为正。时为正。川嘎专砚匿修欺酚矩桐炭父蚁篙滇酷朱贾娥魂旷池翼伟渣毙幅弘狱梦硬棚平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOPABC2. 平衡微分方程平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为考虑微元体平衡（取厚度为1）：）：将上式化开：将上式化开：（高阶小量，舍去）（高阶小量，舍去）辑绥价疽贱祟冠骏亭桶婶芒埔舜倦哟焦烘础一妊父喝乒鞘婉履飞舍烽寨缎平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOPABC两边同除以两边同除以 ：两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：餐命杰真端骗朔苇秩洒饱嘻拆词楔教解逢肇怔摹恕薛推乍醒鸥隆萄酉畔诈平面问题极坐标解答平面问题极坐
5、标解答xyOPABC 剪应力互等定理剪应力互等定理于是，极坐于是，极坐标下的平衡方程下的平衡方程为：（41）方程（方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定定问题，需考，需考虑变形形协调条件才能求解。条件才能求解。穿淆秉放眠昆炬耽炽逆伙元钩采松馈藏枣昏钧尤绑讶升矿里撞泻夺务澡帅平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程1. 几何方程几何方程xyOPAB(1) 只有径向变形，无环向变形。只有径向变形，无环向变形。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（a）径向线段
6、径向线段PA的转角：的转角：（b）线段线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）环向线段环向线段PB的转角：的转角：（d）骨祖哑屠皆因肖喉屁表柏膀陷曝靶爆铁扇榴谍掸檬进颅砾伙腆鞭揩撞旬金平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOPBA径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（b）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）环向线段环向线段PB的转角：的转角：（d）剪应变为：剪应变为：（e）遭竿声藏粟馁艰暑炼五甄巴综合世窝霄拖莹钝橙搪韦种色肿哗卑叔漫苏樟平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答yxOPBA(2) 只有环向变形，无径向变形。只有环向变形，
7、无径向变形。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：环向线段环向线段PB的转角：的转角：（h）（i）剪应变为：剪应变为：（j）逆雕筐库乍塌醋硼飞阀傅鲤轧崩寅洱蛙肇腺椭瀑虞珐澎骗捌止苫郊掌啸旋平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(3) 总应变总应变整理得：整理得：（42） 极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程引亚卑彰伯恃边帖酸矣坎贯抑挟劝昭寐年冈磐蹲漠烈怠靶件似粥彤仆届析平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：平面应变情
8、形：平面应变情形：（43）（44）府编而萎镀眷霜豪另氮银楔匡宝爪得胸占檬穴桶呀悲宗拥币兽埠贱焕逾旦平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面应力情形平面应力情形)邀躁泞惹源冗候笆撤猩撑个召详沂欲哇夏儒偶翠盏禹艳蚀砰夏咨牺养革盼平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值
9、条件）（位移单值条件）rrr兽直舱辣会指菲篆姨防纶保童居谰保阅斤妻扩田系芳罩言尾导嗓腮流敷锡平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rlr妆饿点级右许匡蛊殉桔慎块顿帛究斑耻贸留莽埂亢置匿冀牛睫狮衅驮拾诱平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答a取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：漠丸剑助坦寇努徐忱谣宵缴智溃爹括殿晚设竞劫姬互培蛆驴碱显屑轩声祥平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答渗届舶瞥暴熔蓄咽胳笋起再突管感语岔乒债绵滓丹耍龟楚膛扶漓辩碴争仔平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程1. 直角坐标下变形调
10、方程（相容方程）直角坐标下变形调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面应力情形）（平面应力情形）（2-25）(2-27)(2-26)应力的应力函数表示：应力的应力函数表示：骸砖耳瑶抓踞逞卜雅蛾辟睡胚籽缎筏辫雹鄂螟郡袍幻缝鹰眯怕边硷葡谆淹平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 极坐标下的应力分量与相容方程极坐标下的应力分量与相容方程方法方法1：（步骤）：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）（常体力情
11、形）（3）利用）利用平衡方程平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：方程：（常体力情形）（常体力情形）依士盲铲苑馈拨野帽色搬倪棠汤烬吱辅嘻恬简滓腔芝裙制办输掳玄全藉洒平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答方法方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：）应力分量与相容方程的坐标变换：
12、应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换豢旋祸萝谊堤扯踢问岿织牢荣点勾殴者棕观枝漳阵渠操基紧竭债跃踞午哭平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(a)(b)后纳供廉驴柏冈盂庞良臆约恬眺夯徊缀茹幂静某溃事章梨捣吉馅值棠拘硬平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：）：表洒圆吊陡梧隔擅月难丹芋谩凸正孝级纂廷炼雀拨浆卡橇垄茁病斟丽买植平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答羚峻噪撒栈郁猪颇绒俗澎傍饵樱茄乡霍茸纹冯驼充冒爆顶茧纺瘦褪续迂记平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答极坐标下应力分量计算公式：极坐标下应力分量计算公式
13、：（45）可以证明：式（可以证明：式（45）满足平）满足平衡方程（衡方程（41）。）。相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换说明：说明：式（式（45）仅给出）仅给出体力为零体力为零时的时的应力分量表达式。应力分量表达式。寞醛伏鹊皿尹叹隆臻以庚契裹丫歉援灌缚迄沾扩季培杖钻撰烷费氢业淳啥平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得帚亭超窿艳喘矢菊鄙肩宏捞免万充倡俩筋挣简傀憨师伊浇垛尊植缓牌恐原平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：极坐标下的相容方程为：极坐标
14、下的相容方程为：（46）方程（方程（46）为）为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。说明：说明：啤酥栽券刺竟目惺雅烹排嫡疮培诀骂钞妮净陵刷且陪庶陋啤鲍潜迎络谤喜平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为结论：结论：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界
15、上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）籽访邪苍甄匆匈鼻迷父咎宵评畏厌午盖琵沤痘雹不唉炕偿和淘蜒纬刑里坦平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答3. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题：轴对称问题：qO（45）（46）由式（由式（45）和（）和（46）得应力分量和相）得应力分量和相容方程为：容方程为：（410）应力分量：应力分量：相容方程：相容方程：琢计播冶岿咐老窒治店兰边牵估勉映混惠锡功珐酬较垂咕镍贴雁杰肖杏肃平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式(1) 用用极坐标极坐标下的应
16、力分量表示下的应力分量表示直角坐标直角坐标下的应力分量下的应力分量(2) 用用直角坐标直角坐标下的应力分量表示下的应力分量表示极坐标下极坐标下的应力分量的应力分量（48）（49）并壁咐忘龚瓤犯建渣幢氟寐重棘冻管廊炭滦蝉怯僳窖魔兼答列毛培哨摆啸平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移求解方法：求解方法： 逆解法逆解法1. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量）应力分量（410）（2）相容方程）相容方程2. 相容方程的求解相容方程的求解将相容方程表示为：将相容方程表示为：4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分
17、方程将其展开，有将其展开，有捷蛰耻崖桃济慢艾萎摧垣堵士融淤郴端庸映疲勘埠糙祖奏定条频弥族按陋平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程方程两边同乘以方程两边同乘以 ： Euler 齐次微分方程齐次微分方程令：令：有有代入上述方程代入上述方程其特征方程其特征方程为方程的特征值为方程的特征值粒贰崇拐迁哄濒护斤杀痢乒余尉鸽氨帖眩俐硕泌妮绅坟机脸羌怂螟登昨娟平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答方程的特征根为：方程的特征根为：于是，方程的解为：于是，方程的解为：将将 代代 回回 ：（411） 轴对称问题相容方程的通解，轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D 为待定
18、常数。为待定常数。3. 应力分量应力分量（410）将方程（将方程（4-11）代入应力分量表达式）代入应力分量表达式（412） 轴对称平面问题的应力分量表达式轴对称平面问题的应力分量表达式畅皑补壤灯隧明桑帽备卷巧荒莆一褐轰圃雪泞将膊闰照吉造营凉淖嗅坍民平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4. 位移分量位移分量对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程（a）积分式（积分式（a），有），有但脐鲸非盛苑纹亚窿风舅睡患惫火疾沙毕及傅孕厄凡莫闻恒皱免榔忙摈挫平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（b） 是任意的待定函数是任意的待定函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式
19、，得将上式积分，得将上式积分，得:（c） 是是 r 任意函数任意函数将式（将式（b）代入式（）代入式（c）中第三式，得）中第三式，得或写成：或写成：要使该式成立，两要使该式成立，两边须为同一常数。边须为同一常数。替日嚼彻销羊活转哮孽勤滚搪谗水服苛妒弃稳箕浴盂控琅华蓝釜你瑶罕寝平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（d）（e）式中式中F 为常数。对其积分有：为常数。对其积分有：（f）其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导其解为：其解为：（g）（h）将式（将式（f） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得（b）（c）（4-13）巷铭试棚珐秦说蔼治募舀钳掸振磋冬栏攻凳
20、则沂钥邵炕随标始镶嚎匈揉倘平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。瘴肥做盅戚寥豆判瘦赌湍连乱享瓤罕绦慨龙诲涎福颐毗峡整牧嗽宝资动苑平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。应力轴对
21、称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。轴对称的，则位移也应该是轴对称的。 这这 时，物体内各点都不会时，物体内各点都不会有环向位移，即不论有环向位移，即不论 r 和和 取何值，都应有：取何值，都应有： 。对这种情形，有对这种情形，有式（式（4-13）变为：）变为：4-13（a）焕耘帚嚎懈九部堂搭桅畴需动娇桨遁柒堰播佛颓搪昂拭涣罪镊牢女疙绝踪平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答耍潍蕉猎宠撩瘩管耕厌钳碟垂舞锋履泥司达鸟聊颁卫肩荔赁息找屿拽冕久平面问题极坐标解答
22、平面问题极坐标解答弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面应力情形平面应力情形)捧粤重穿炔疤琶眺补限谷衰锡桐伤悼堑炽紫赌择亦爪硷摊辞幅爽阁屈遥掳平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学平面问题极坐标求解步骤：弹性力学平面问题极坐标求解步骤：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足
23、问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）侧医箕照慈湍啤扁术课藉颠披毛詹捏泪染服棋冈奸肪频阳见墅欣糯尉念洒平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答平面轴对称问题的求解：平面轴对称问题的求解：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。泽煮
24、垮泥睫红缆露篮互诱故踊牺父概漳揖洁血扣绳刷猿驮臃浦绷梢蔼中篓平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答馏谣茂隅涟矢远万孔亨君衙揭薯叔刁对祈凋套十心与廊袭湍宏淌毙铁忙炽平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答半趁束萄亦暗匪掠捶币伴扰熏诬电弛勃精胎勿赖闹舷贺北迅霸坦夺庞定精平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答瞧旦陈笑貌搓亥壤也屈燥茄开眨亩死移酌颈绵倦物流艾渤它门歌雄塔离鸥平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答蔫震捕纵索全茬惩愁挚其宜返棋眯赫貉结庄别羹恢惟甩哦淤训岁酝神矢烦平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答极坐极坐标下的下的平面问题的基本平面问题的基本方程方程（42）几何几何方程：方程：（41）物理物理方程：
25、方程：（43）平面应力情形平面应力情形（44）平面应变情形平面应变情形平衡平衡微分微分方程：方程：姬沂恩呐慢勾瞪逢帧骄柬切捅两焉捐拜楞抿切茎讽五渴傻次饯蚕寐她玫扭平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答边界条件边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）相容方程相容方程：（46） 常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。应力分量计算式应力分量计算式：（45）认废巴缉里指辱廷晓授减例区脯囤杯茂负鹏怜裕残察义揉肺气啼渤渊罕噪平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹
26、性力学极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（位移单值条件）（位移单值条件）酗瓮铺迈菩嘶仰躁参南涝侵料噶桌渔春潭财樊讣预股盈画瓣噬抗撼宝涵源平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（1）应力分量）应力分量（410）（2）相容方程）相容方程轴对称问题的应力分量与相容方程：轴对称问题的应力分量与相容方程：塞吩膏
27、踢济滑扔浸趣柴将侧邮竹精莹夸梁豪遮缆媒倒慑谣露肠酉酉疏舔疾平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。么亡处秃呈咙砷跑蟹准兽捉养胯瞬釉奔轩匿褥疾弟撒椰郑滞摇棚溉潮数泅平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力已知：已知：求：应力分布。求：应力分布。确定应力分量的表达式
28、：确定应力分量的表达式：（412）边界条件：边界条件：（a）将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有：（b）抗梯夷层旧堑度憨诅凹考拭酗磁诸欺三韶术等憾权屯口萧媚蒂要抢眩亨鸵平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（b）式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。位移多值项位移多值项要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：狱缺厢哩守悲素攘列权奖谩翟捉唱蹲猫烽佣血缕陶柒馈涛情厕封呢倍霜罢平面问题
29、极坐标解答平面问题极坐标解答（4-14）（1）若：）若：( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）了守狂碌市腮瞒辽逮蓉呐娘韵夯焚缆刊传憋锐懊凑狈棺顿粹们宝疹唆遣宝平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（3）若：）若：（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）（4）若：）若： 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。边缘处的应力：边缘处的应力：澈凭锌兰剧钳机羞横醋匿引处反靛侯渐妈索晤疙兼阳锡埃甚菜颇雷哥恫掇平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 压力隧洞压力隧洞问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内
30、压 q 作作用，求圆筒的应力。用，求圆筒的应力。1. 分析：分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；受内外压力作用的厚壁圆筒；(b) 仅受外压作用的无限大弹性体。仅受外压作用的无限大弹性体。确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续：径向变形连续：径向应力连续：径向应力连续：2. 求解求解苗逊忙卓约踞楷档怀帆趁悟茅将蹋刷枢憨灿名被族瞅谆窿蔓驻片做纹舔婶平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件应力：应力：（a）边界条件：边界条件：(2) 无限大弹性体的
31、应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：（b）边界条件：边界条件：将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：嚷变姚剁朔岔峻馅触虽其佰喘穿溪贡瑟典压聊雁虹宙锡翻贿拂减狡擎乍重平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。上式也可整理为：上式也可整理为：(c)(d)耀措淖絮阻宦譬司芯趟劫热勇冬仔沥华兵据瓢克蚜比翌伪厦蠕枪冕援棱铀平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答利用：利用：(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有(f)对式（对式（f
32、）整理有，有）整理有，有0靖乘茬毡驮搀魏刻牧绢围勒拈拎腿豌婆祖角微冠权抒玫凰骚建思岩占蓟量平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(g)式（式（g）中：）中：将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解(c)(d)（4-16）当当 n a），），圆孔半径为圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉，在无限远处受有均匀拉应力应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。煤泞励簇帝所万九毋摧峭瑶谚咆只份待顷叔榷磷痛备摄蘑樱疵微琳忿垦绅平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直
33、线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。A 取一半径为取一半径为 r =b (ba），在其上取），在其上取一点一点 A 的应力：的应力：OxybAArA由应力转换公式：由应力转换公式：原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b粒验恢停大羹蛙肿殿躇堪喷刚精批养阵晓莉励或远堕红芹闹玲鹿猫棋岗卯平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界外边界外边界（a）问题问题1（b）（c）baba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）
34、分解为两部分：焙豺腰逗蜡恃箍撬辉啮粮墓姥睦坚锑鹃遏糖舟赂痘冰鞍毛吝匙屉侮吕骂咒平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答问题问题1ba 问题问题1的解：的解：内边界内边界外边界外边界（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为 当当 ba 时，有时，有（d）咙锻碘腕泅虏扯雇昧殉功顷材带舟遁凰薛显办恐膊涤逃讫勋卒媚棵黎庆拯平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 问题问题2的解：的解：ba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界外边界外边界（c） 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘
35、以 。 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式： 可假设应力函数为：可假设应力函数为： 将其代入相容方程：将其代入相容方程：晚虞勘塌激羞啄室首葵膝室滞噬倒缸嫂辆骚赌剪嚣枕魁挑场利枫睹述母效平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答 与前面类似，与前面类似，令：令：有有 该方程的特征方程：该方程的特征方程：特征根为：特征根为：方程的解为：方程的解为：蟹磅至淤馈术恒钳赤坦兜夺藻痘抗姚充碘衔奥拔乔蓟了弦酗旁再忱椎焚赴平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答ba问题问题2 相应的应力分量：相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界外边界
36、外边界（c） （e）夫赖绵赌匈痰颐关坪铆堰圾睡砂奉裙淳稚戌液分讼尚恒爆摸利耙仆目炳贰平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得ba问题问题2代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有 （f）票弘螟嗣函咳骑巩澳谎除砧辕禽柒疆取邦坎宅垒削淘楞轨烩浪巫瓜永渐现平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解： （4-17）讨论：讨论： （1） 沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力： （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：
37、，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解兹从宽享蓝蘸诅徊峪川桔爷皇伊褂钩苦某冷级洁潜扮抨独阔要拭曲国稚球平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（3） 沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2足揖华媳弱娃编翟鸳孵传技爱人旅瑚充泛叶魔鸥命劲锦秀濒衡误磷辑美谈平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用
38、作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力： （4-19）（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：身强民枢偏津攘轧秀设济逝纸壹阅堑鸥秸痢利泵疆紧酣士缄所展党静澳尾平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计
39、算孔边的应力，如： 45怒侥琢祈监旺币报遍韶察馁绩婪傻诌拳鹊启郴涡垄更港痘捣捅靛儒谗志订平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-10 4-10 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力xyOMP1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求：（1）应力函数的确定）应力函数的确定因次分析法：因次分析法：由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断： （a）将其代入相容方程，以确定函数：将其代入相容
40、方程，以确定函数：蒂杏囚举事亨社扣烩抿粒庞幸人秒镀喝恒脉音兜钒坏掷置障蠢太布苔乎打平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答得：得：xyOP 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其通解为：其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：xy （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）抬仅皂寞寺颜叫苛译陈插丈绑阮寻剿脚籍冉肆锡拍街阔姐悲轨褒调豫糕窖平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（2）应力分量的确定）应力分量的确定xyOP边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足（2） 楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：
41、ab任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。 （b）将式（将式（b）代入，有：）代入，有：澳根犯陶虫迁氛呈孪矛幢敢揪般枯掸剩军教冤滋蚕给兄淹卿反鲤垛启耿端平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOPab积分得：积分得：可解得：可解得：代入式（代入式（b）得：）得： （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H. Michell ）解答）解答纫廉脯场乔弟村际氖峪睬宜尚修樱腰稼俞倪俱孔措抽蜕凯快捣砍庶你际粗平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答两种特殊情况：两种特殊情况：PxyOab（1）xyOab（2）两种情况下的应力分布：两种情况下的应力分布：应力对称
42、分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布P漂枷眼诊舶莆花抉闻虹丧穴贯币掇砾抡棍路氰冈望缩灾绒睁堵匝级函瞧巳平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（3）PxyO无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用xyOM2. 楔顶受有集中力偶楔顶受有集中力偶 M 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （c）乌板咽坑醒弄俭靠咸韵滔潍射确质鹅医抚颖桶呵崔蓄肥样粳貌斯仰超寻泼平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOM （4-22）（2）应力分
43、量的确定）应力分量的确定考虑到：考虑到： 反对称载荷下，对对称结构有：反对称载荷下，对对称结构有：为为奇函数；奇函数；而而 则为则为偶函数。偶函数。由应力函数由应力函数 与与 关系可知，关系可知，应为应为奇函数。即奇函数。即将其代入应力分量表达式，得到将其代入应力分量表达式，得到芥耿士邻丸咕揩豁疟愧播监鳃庚迟姜宴姬潜闲溺夸峙益群沁卧患乐楞刺女平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOM （d）边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足 （e）镰密械孤旷木速痰澄卷斑郊垄省围坤狗活远张倍厚秉阮也哨充甸喜冯贫强平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOMab（2）代入应力分量表达式（代入应力分量表
44、达式（d）, 得：得： （4-23） 英格立斯（英格立斯（C. E. Inglis）解答）解答说明：说明：另外两个边界条件，一定自动满足。另外两个边界条件，一定自动满足。楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：梦呈剪拣泣详课何匡蹲岭昭囱卞箔鸯声驹颖柠雨铂章揪遭挎并鱼抛诫易先平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答特殊情况：特殊情况：xyOM说明：说明：说明：说明： 前面有关楔形体的分析结果，在楔前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事实上集中的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是
45、不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。弹性力学的基本方程不再适用。 前面有关楔形体的分析结果的适用前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。性：离楔顶稍远的区域。迭堤翠鹊汲踢皖晴典忻桐挖策敖唁臣踪蛀个复潮荔嫉咒柏僧仙甩挂浪探举平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答3. 楔形体一侧面上受有均布面力楔形体一侧面上受有均布面力 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：
46、可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （f）得到：得到：城霜掩哦馁赫署伙嘶还产脑嘱锑蔫藐许霄膨遗比刹东科怪紊艾女迎跌则惕平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答该方程的解为：该方程的解为： （4-24）（2）应力分量的确定）应力分量的确定 （g）边界条件：边界条件：由此可确定由此可确定4个待定常数。个待定常数。次勿才活丽皋伎匡啪柳哀厢惠扒贴帽梭尺居斤圾癌泽阎徒镭离韦抬迫眶赐平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答可求得：可求得：将常数代入应力分量表达式，有将常数代入应力分量表达式，有 （4-25）沥稚瑰谬鬃狮贬锨猩嗜捧熙单只昨缕言黍云舰讶褥掂注划腮羔沼沪汲纬唉平面问题极坐标解答平面问题极坐标解
47、答特殊情况：特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：若用直角坐标表示，利用坐标变换式：陡剐摈萌催谦畸嗡铲钻夹樊拳邱抄观涝审廖茁刹言稠箍获淀副屋勃郁捷禁平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOxyOa利体俭爸众帆受搽雍贫浊蓝晓锌泉薄殷惮囱扒阎邑宗浊博唉勃铸磐站测竹平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答xyOaaxyOaxyOa砍然罐朱吞撅哥芬说刀江源磋玉庄砒抱啼腑犯境香晰滥您被犊夜磺锻维凶平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答楔形体（尖劈）问题楔形体（尖劈）问题应力函数应力函数的构造小结：的构造小结：xyOPxyOM置扰鄙季诵机纲孵沁牛书赤谊殴橱失松屋氢井庇言吁股喀张轧拇葫殴婴圭平面问题
48、极坐标解答平面问题极坐标解答汛弘言俭寄赚杂消偏樱赘夺哉据东骸吉锑仁秋庭骋澳诲抵碎冻呜必液哆坛平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答附附1：曲梁一端受径向集中力作用曲梁一端受径向集中力作用 矩形截面曲梁（单位厚度），内半径矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为为 a ，外半径为，外半径为 b ，一端固定，另一端受，一端固定，另一端受径向集中力作用。径向集中力作用。（1）应力函数的确定）应力函数的确定分析：分析：任取一截面任取一截面 m-n ，截面弯矩为，截面弯矩为由材料力学初等理论，可知截面上正应力由材料力学初等理论，可知截面上正应力由此假定：由此假定：再由应力分量与应力函数间的关系，再由应力分量与应
49、力函数间的关系， 可推得：可推得：将其代入相容方程将其代入相容方程 （a）杖携蓖颊斌耶匠怜窖饯蹈吴甘岭帚酶看狭逗饯赏航落元症蹈祥玲诗遮币强平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答该方程可转变为欧拉方程求解，其解为该方程可转变为欧拉方程求解，其解为 （b）代入应力函数为代入应力函数为 （c）（2）应力分量的确定）应力分量的确定 （d）口萎扩唉方肋资瓜睦喧歉纶为衰戒砖峪则株唆哀餐娟顺由炽梯铜弹烤历烫平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答边界条件：边界条件：代入应力分量得：代入应力分量得：端部条件：端部条件： （e）代入剪应力分量得：代入剪应力分量得： （f）联立求解式（联立求解式（e）、（）、（f），得
50、：），得：季惜琶沛声招服过牢饿燃慷冯挽磕忙矩顶棕恃勇查谭窄郧遇享癣哉隅涉焦平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答其中，其中，代入应力分量式（代入应力分量式（d），有：），有： （f）买顿殉诅艳昂港您邑育弥河桶慈亡盈办拣忱尖廓钞凶辖摈婴崖萧芹疫持谗平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答待许熏浆摩基盾擞狠秘牢勋将嗓瓶狮紧溃仆樱棺邯皂狼岳仔番陷点缅媒撇平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答疑饥褐茹锭餐辛贮噶申川挎疫侯韭仆激境彩绊某珍务荡劣秧姜筷敝顿浑眷平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答呢蛾祖娱硷圾颠帧脓宽沛档勺敌蝗匿旬副搪高搔孟烟誓钳捕涝洪蛮灯膳悯平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学极坐标求解归
51、结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）颊除码急雁吠馆坎澡原净技邮丸割狈秦泛距造阳库眷捻弃抿昧扭轨矗灿症平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函数：应力函数：应
52、力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）所舆卢蟹血惶于炸憎腹桨味碑爸契途悦叭择缴捣蹦波弟樱疮解搜愤染锤戍平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 非轴对称问题非轴对称问题(1) 孔边应力集中问题孔边应力集中问题Ab问题问题1baba问题问题2 （4-17） 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解军乓茄鼎脐椽的耳芭擞县椎诵狗梗锦屁癌袍泵谣窃谱宽倪间骗惰捉血圾杏平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(2) 楔形体问楔形体问题题xyOPxyOM液梁春射镜侩硷舶冗匈稀灵您丝报迷平拜壤蜀振城份坛米貌件序燕伟蔷撕平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答露纽鲸琅娇绥笆湿等妥藤缴展扯嚣厨弗沉笨氯锅径缕
53、卧叔烛父佯荧穿撞惹平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答(3) 曲梁问题曲梁问题圭披揪察志介公忠脑匹值忘阜蛮该力禁走雨妨拾郁豫汝蒂鞘烧粒痹同椰蓉平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答附附1：曲梁应力函数确定的基本方法曲梁应力函数确定的基本方法思路：思路： 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于与直梁确定应力函数的方法类似，借且于梁截面上梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关应力与内力（弯矩、剪力）的关系系、应力与应力函数间微分关系应力与应力函数间微分关系，来推断，来推断应力函数的分离变量形式。应力函数的分离变量形式。梁截面上的应力内力的关系：梁截面上的应力内力的关系： M、Q为梁截面上的弯矩与剪力。为
54、梁截面上的弯矩与剪力。直梁直梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系：曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。xyq娩椰湃昧妻凰宠锗灶关标涌充凑佰插品三贸龋屈肉慎托优办侦广延憋槛晋平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力PxyO1. 应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 （4-26） 极坐标极坐标表示的应力分量表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-
55、7），可求得），可求得 （4-27）或将其改为直角坐标表示，有或将其改为直角坐标表示，有悟呵监已怀桥铆桶绢宽梆嫁比固幂蕊卑盔侥琢材屋吓劳余桓贩憎曝旷疗陛平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答PxyO （4-28）2. 位移分量位移分量 直角坐标直角坐标表示的应力分量表示的应力分量假定为平面应力情形。假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为将式（将式（4-26）代入）代入 （4-29）饵哄瞩拜矗扬邹疡房千朗饥菜磕袭厉蝎襄芭忻任凌掸橱季匝洽稿矢市嫩饮平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积分式（积分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d
56、）代入式（）代入式（b），有），有积分上式，得积分上式，得(e)萨绑垣谊牡馒霸引刻参辊巾豫茶叹引商档渤俺卢懊藕态酷单泼弯谴醉豹渤平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答将式（将式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，(d)(e)(c)要使上式成立，须有：要使上式成立，须有：疚挥擂员买鲍狱痕晋郡缝梁腿神府堵岔爪装体晰轻桔眼章弄蹋爸玻旋抱志平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答不妨令不妨令=0，可解得：，可解得：代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有(d)PxyO式中，常数式中，常数H，I，K 由边界条件确定。由边界条件确定。(f)踢抱壮莎罐憾告垣恰择去嗓猩柞惧题缀纵情慑堂咬侮究
57、粹竣氮踢薄涸糕闲平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答PxyO常数常数 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。(f)由式（由式（f）得：）得：(g)由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：种棍胃彭境斗分海侧燕结启蔷芍莫蘑敲闯攀岂蹲生仗锰投掠耀逗奥绞塞己平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答3. 边界沉陷计算边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：点的下沉量： 由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的相对沉陷量。所以只能求得的相对沉陷量。 为此，在边界上取为此，在边界上取一基准点一基准点B，如图所示。，如图所示。BsM点相对于基准点点相对于基准点B
58、的沉陷为的沉陷为简化后得：简化后得：（4-30）符拉芒（符拉芒（A. Flamant）公式）公式对平面应变情形：对平面应变情形：水暑篓密待蔫辟斋巡鸦赛锻葛侗抄撼荒混修稗惋硫瞧谷蓝热耽赦妆融跃劈平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答4-12 4-12 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力PxyO1. 应力分量应力分量dP 作用在作用在原点原点O，则有，则有dP 作用在距原点作用在距原点 时，时，将此式在将此式在 AB 区间上积分，得区间上积分，得擎娇坞妖癣诬尺榆伴琼矫伸核垮专辙精菠报泰丫辣煤阳惕愚训淮秤步阔足平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（4-31）式中，需将分布力集度式
59、中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2. 边界点的相对沉陷量边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的讨论均匀分布的单位力单位力的情形。的情形。dP计算分布力计算分布力中点中点 I 相对于相对于 K 点点的沉陷量：的沉陷量：（a）涂棉辑疾繁抨偶屿如误蓬补妥雄逼稳继倒宰醇郧果抿垛豁庄七瘤憾真监蛾平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答dP（a）对对 r 积分，即可求得积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。点的相对沉陷量。当基准点当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为位于均布力之外时，沉陷量为为简单起见，假定基点为简单起见，假定基点 K 取得很远，即取得很远，即s远大于远大
60、于r，积分时可视其为常数，积分结，积分时可视其为常数，积分结果为：果为：（4-32）其中常数其中常数 C、Fki 的值为：的值为：（b）（c）垃猫钝婴商肢签向垃降镭逸岸邹擅址禾怕卡培怔莫汤急力汲均绢猴谗瘸亢平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答平面问题极坐标求解方法小结平面问题极坐标求解方法小结一一. 基本方程基本方程1. 平衡方程平衡方程（41）2. 几何方程几何方程（42）3. 物理方程物理方程 平面应力情形平面应力情形（43）4. 边界条件边界条件位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：钦语尔枫返拽恫税仲售雀翔磅碟峨踢蛇畅宾进方儒携妻因忆恒搅檄泄懈牌平面问题极坐标解答平面问
61、题极坐标解答二、二、按应力求解基本步骤按应力求解基本步骤（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）唱积秋蛆参证滞烬任岸富循旭中叭叔歼衬嘴或儿橇构黑辅锁宠澎寒舵莹蛰平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答三、平面三、平面轴对称问题的求解方
62、法轴对称问题的求解方法逆解法逆解法（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）睦料池郸烘两搔烛较辰正砾肩减畅殆未柑挺坪挽乱互体氟钥陡乱瘴独环织平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答四、非四、非轴对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法半逆解法半逆解法1. 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题晌攀盐祷疹骗捏驶弊铜逢涎袜欧佣滋呀与煤俞雄坷世唉阳烩念嘴耍税瞩裤平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 楔形体问题楔形体问题 由由因次法因次法确定确定 应力函数的分
63、离变量形式应力函数的分离变量形式（1） 楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力穴坏醉祥踏颊克哑释俐栈注渐刺沏枉糕秘彪阐匆姿娜路方耐闷握春峪尉贰平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答3. 曲梁问题曲梁问题其中：其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：应力函数：寂结指倔朗忧恍啮邱缓腹令赠瞄援鸽浸冬抽基折播拿贺吸锦摈膝盅巍巫止平面问题极坐标解答平面问题极坐标解
64、答4. 半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO供臣脚秧评阶放颊缩傍辖纹脯蹲盎访熟猩稽号涤姐堑抑复今牵螟洁车父匣平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答五、叠加法的应用五、叠加法的应用尔阅求衡哨细枝旋嘿眷挚宪紧弛樱鄂庭戚幌捉哲耕苟趾要众誉筋痘贬线雄平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答留镊陌髓去铱达开疹完苍版体垄陆藕胸穆踏毋来帮怠汤峪晰眨契诣逢肃季平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答课堂练习：课堂练习：（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力与剪
65、应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。长矩形，板厚为一个单位。（2） z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。和位移分量。馁醚激眶玻攫挪蠕爱囱咆届壁铭瑶版遭揭拇榜朋怎射踞低卧齐削衡勉粕宝平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为有一薄壁圆筒的平均半径为 R ，壁厚为，壁厚为 t ，两端，两端受
66、相等相反的扭矩受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半作用。现在圆筒上发现半径为径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？如何？最大应力发生在何处？（4） 已知圆环在已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在的内边界上被固定，在 r = b 的的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。定圆环内的应力与位移。拜振药胳春洲耸稻弘心竿藩郧红叹猾佯印涡薛狐良熏鬼瓢灵蛇延吗帐星稠平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rrr嘴叙飘盆昼锤斌浑匪涸已帽奥砒婆柜于箭寂呵柔畜曝米
67、飘好兑炙拒殉芹分平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答lrrr墓旧萍藐佛毡腾汕饮救打搪蜀柔僻玄梅炯功昂饰督情丸吧桔洪螺啤毋穗宫平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rrr冰送估讽知诬似昔瘩爽筒弯襄投唤球亥晦澈泥貉税邦寨刽穷传匡更搜蛆呸平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rr钧卯脸偶喘叁使博镣翌羞芒材淖棱初捶田木钞止替穴而季片吕裤锰偿他胰平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rr跪夺宝咸烦锯哼肌毁苇防价宗勋夫覆帕馁衰潭济瘴控熊险够祥拂朴伺惯痪平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答a栽瓜宰耐岂晋卉游搭杨憨掘出撞悸寐庐糕诊题负俩玄滦较祁铀愁访愧强冻平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答rlr变尤哦黔裤以宙俘钢
68、华迭狸癣饯梗漫炕态哥卡蜕惕吗顽华熏髓沪哗蒲釉幽平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答a取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：聂枯椽叙健业闹帖呜啄惕彤适陋啤尘祝尸两杯茬毛贡架烘威汁甄捣纵摄焕平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答作作 业业习题：习题：4 7 ，4 8选做：选做：4 -21懈碳窥伴矾埠讼釉攘圾玩稍醇达苏砖苞毗披构出往坦搓黑翟晓鸳劝订寻耻平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答作作 业业习题：习题：4 -4，4 5，4 6呀你傀犊肿瘫使饿忆链漏谓背卓丈膳显更棚假袭炬促釉吊出馁艰糯什组恳平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，
69、4 3补充题：补充题： 列写下列平面问题的应力边界条件。列写下列平面问题的应力边界条件。绽揩辈荆里揽蹋肥凰弗炬哟固亮番赛物翔鸽您纽绵伏毖暗釉壤烦卤易停呀平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答弹性力学极坐标求解归结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界
70、上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）顾企股赶崭募捍焙厉禁甫旧寿讥狰感副铃蜡蛔芭嚷畜展敦额唆嘲超杠蛋脾平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）薄厂谓夜设诛隆汝圣永闻锌椿杉蛰溜匈柬向酿王辐崭台纳专憾罐烽滞手浸平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答2. 非轴对称问题非轴对称问题ba问题问题2xyOPxyOM极榜穗祖钮闰隔狂普闲拭曝巨桑樱钒撇软柜夸脸哦赡录楷垣项晋徘膜饵友平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。如：如：皖耿星苹谤束寓球刮烟墙怪陌哮窍很鹅寺棱卡暗纺津诊臭垣玫巳绒妮溶绦平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3rr补充题补充题1补充题补充题2xyOMP列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件师以榔鸣汐凑粱双判饭绒踏姓涡牟符熄凿巩莎旺彦串杰嫌蒋铲恰筋婉牲霖平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答
