1.5定积分的概念

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1、1.5 定积分的概念定积分的概念课本课本38-42页页名师名师18页页草稿纸、笔草稿纸、笔xy0直线直线xy0几条线段连成的几条线段连成的折线折线xyo曲线曲线1.5 定积分的概念定积分的概念曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连连连续续续续曲曲曲曲线线线线y y= =f f( (x x) )，直线直线x x= =a a、x x= =b b及及x x轴所围成的图形叫做轴所围成的图形叫做曲边梯形曲边梯形。Ox y a b y=f (x)求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近

2、的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即作直线（即在很小范围内在很小范围内“以直代曲以直代曲” ）P放大放大再放大再放大PP“以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 ”的数学思想的数学思想 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A A，得，得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的

3、面积的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用个小曲边梯形，并用小矩小矩形的面积形的面积代替代替小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 例例1.1.求求由由直直线线x x=0,=0,x x=1=1，y=0y=0和和曲曲线线y y= =x x2 2所所围围成成的的曲边梯形的面积曲边梯形的面积. . 解析解析: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份,

4、 ,然后在每个分点作底边的垂然后在每个分点作底边的垂线线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把这些小矩形的面积加起来然后把这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值，再取得到一个近似值，再取其极限值。其极限值。 探究思考探究思考把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲个小曲边梯形，他们的面积分别记作边梯形，他们的面积分别记作 如图，当如图，当n n很很大时，即大时，即x x很小很小时，在区间时，在区间 上可以认为函数上可以

5、认为函数 的值变化很小的值变化很小. . 把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记个小曲边梯形面积记做做 .用小矩形的面用小矩形的面积积 近似地替代近似地替代 即局部小范围内即局部小范围内“以以直代曲直代曲”.则阴影部分面积则阴影部分面积得到得到S S（曲边梯形面积）（曲边梯形面积）的近似值的近似值： 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于S.从而有从而有分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近小结小结求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)围成的围成的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取

6、极限取极限 （3 3）求和求和 在在“近似代替近似代替”中，如果认为函数中，如果认为函数 在区间在区间 上的值近似地等上的值近似地等于右端点于右端点 处的函数值处的函数值 ，用这种方法能，用这种方法能求出求出S的值吗？若能求出，这个值也是的值吗？若能求出，这个值也是 吗吗？取任意？取任意 处的函数值处的函数值 作为近作为近似值，情况又怎样？似值，情况又怎样？探究！探究！1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.C练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等

7、于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确C练 习1、分割；、分割；2、近似代替；、近似代替；3、求和；、求和；4、取极限、取极限 用用黄色部分的面积黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积接近曲边梯形的面积. .复习：如何求曲边梯形的面积？复习：如何求曲边梯形的面积？以直代曲以直代曲从小于曲边梯形的面积从小于曲边梯形

8、的面积来无限逼近来无限逼近从大于曲边梯形的面积从大于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近 复习复习 引入引入探究思考探究思考nnSS lim 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程车行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲和曲线线 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积有什么关系？有什么关系？ 如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t的的速度为速度为 (t的单位：的单位：h，v的单的单位：位：km/h)，那么它在，那么它在 这段时间这段时间内行驶的路程内行驶的路程s（单位：（单位：km）是多少？）是多少？求变速直

9、线运动的路程求变速直线运动的路程 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成个分点，将它等分成n个小区间：个小区间： 记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：其长度为：. . .把汽车在时间段把汽车在时间段 上上行驶的路程分别记作：行驶的路程分别记作： 显然有显然有 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，的变化值很小，近似地等于一个常数近似地等于一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在从物理意义上看，就是汽车在时间段时间段 上的速度上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时变化很小，不妨认为它近似地以时刻刻 处的

10、速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶.在区间在区间 上，近似地认为速度为上，近似地认为速度为 即在局部小范围内即在局部小范围内 “以匀速代变速以匀速代变速”. 由近似代替求得：由近似代替求得： 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于s，从而有，从而有 结论结论1.5.3定积分的概念定积分的概念普通高中课程标准实验教材选修普通高中课程标准实验教材选修2-2课本课本45-47页页名师名师20页页草稿纸、笔草稿纸、笔 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过的过程可知，它们都可以通过“四步曲四步曲”：分分割、

11、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限可以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程 复习复习一、定积分的概念一、定积分的概念 概念概念定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，

12、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为定积分的定义：1x yOf(x)=x2O Ov t t12正确理解定积分的概念正确理解定积分的概念（3 3）. .规定：规定：二、定积分的几何意义：二、定积分的几何意义：Ox yab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值-Soabxyy=f(x)y=f(x)探究

13、根据定积分的几何根据定积分的几何意义，你能用定积意义，你能用定积分表示图中阴影部分表示图中阴影部分的面积吗？分的面积吗？ 探究探究课本课本P46三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. Ox yab yf (x) 在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，把区间个分点，把区间0,1等分成等分成n个小区间个小区间 每个小区每个小区间的长度为间的长度为 (1)分割分

14、割 例题例题（2）近似代替，作和）近似代替，作和（3）取极限）取极限例例1:用定积分表示下列阴影部分的面积用定积分表示下列阴影部分的面积. (1)S=_.题型一题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积利用定积分表示曲边梯形的面积 (2)S=_.S=_.例例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积用定积分表示图中四个阴影部分面积解：解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：解：0000ayxyxyxyx-12ab-1

15、2f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1题型二题型二 利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分例例3:利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义,求下列各式的值求下列各式的值.分析分析:定积分定积分 的几何意义是的几何意义是:介于直线介于直线x=a,x=b,x轴及轴及y=f(x)所所围成图形面积的代数和围成图形面积的代数和,其中其中x轴上方部分为正轴上方部分为正,x轴下方部分为负轴下方部分为负.被积函数的曲线是圆心在原点被积函数的曲线是圆

16、心在原点,半径为半径为2的半圆的半圆,由定积分的几何意义知由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积此定积分为半圆的面积,所以所以 解：解：xyf(x)=sinx1-1例例3:利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义,求下列各式的值求下列各式的值.1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。值的正、负号。2.利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：1）2）.1）2）.练习练习：3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)ab

17、y练习练习4（2）:x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的正确理解定积分的概念几何意义正确理解定积分的概念几何意义 衔接高考：衔接高考：（2009广东（理）广东（理） 8已知甲、乙两车由同一起点同时已知甲、乙两车由同一起点同时出发出发,并沿同一路线（假定为直线）并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别行驶甲车、乙车的速度曲线分别为为 和和 （如图（如图2所示）那么对所示）那么对于图中给定的于图中给定的 和和 ，下列判断，下列判断中一定正确的是中一定正确的是xylA. 在在 时刻，甲车在乙车前面时刻，甲车在乙车前面 lB. 时刻后，甲车在乙车后面时刻后，甲车在乙车后面lC. 在

18、在 时刻，两车的位置相同时刻，两车的位置相同lD. 时刻后，乙车在甲车前面时刻后，乙车在甲车前面A. 求曲线下方求曲线下方“曲边梯形曲边梯形”的面积和变速的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤直线运动的位移问题的一般步骤：课时小结课时小结.讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法.以直代曲在近似计算中的应用以直代曲在近似计算中的应用.极限思想的初步运用极限思想的初步运用分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近5.5.定积分是一个特定形式和的极限，其定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定值由被积函数，积分上限和下限所确定. . 6.6.在实际问题中，定积分可以表示面积、在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程积分的性质进行计算，能简化解题过程. . 作业：作业：P50P50习题习题1.5A1.5A组：组：3 3，5.5.