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1、曲线和方程山西大学附中山西大学附中 贾应贾应红红 2006.10.152006.10.151.1.什么是曲线的方程和方程的曲线什么是曲线的方程和方程的曲线? ?2.2.对于方程对于方程f(x,y)=0f(x,y)=0与曲线与曲线C C来说来说, , 是否有是否有 曲线上的点的坐标不满足方程的情形曲线上的点的坐标不满足方程的情形? ?是是否有以方程的解为坐标的点不在曲线上的否有以方程的解为坐标的点不在曲线上的情形情形? ?3.3.你是怎样理解曲线的方程和方程的曲线你是怎样理解曲线的方程和方程的曲线这一概念的这一概念的? ?阅读教材阅读教材, ,分组讨论分组讨论 在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐
2、标系中，如果某曲线C C上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x, y)=0f(x, y)=0的实数解建立了的实数解建立了如下的关系如下的关系: : (1) (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的曲线上的点的坐标都是这个方程的解解; ; (2) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点线上的点; ; 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线曲线叫做方程的曲线( (图形图形).).曲线的方程、方程的曲线曲线的方程、方程的曲线研读定义研读定义 (1) “(1) “曲线上的点的坐标都是这曲线上的点的坐标都是这个方程的
3、解个方程的解 ”, ”, 阐明曲线上没有坐标不阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外都符合这个条件而毫无例外. . (2) “ (2) “以这个方程的解为坐标的点都以这个方程的解为坐标的点都在曲线上在曲线上”, ”, 阐明符合条件的所有点都在阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏曲线上而毫无遗漏. .例例1:1: 过点过点A(2A(2，0)0)平行于平行于y y轴的直线轴的直线L L（如图）（如图）与方程与方程|x|=2 |x|=2 之间的关系之间的关系: :1AL具备性质（具备性质（1 1）. .不具备性质（不具
4、备性质（2 2）. .因此，因此，|x|=2|x|=2不是直线不是直线L L的方程，的方程， L L 也不是的方程也不是的方程|x|=2|x|=2的直线，的直线， 它只是方程它只是方程|x|=2 |x|=2 所表示的图形的一部分所表示的图形的一部分. .( () )直线直线L L上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程|x|=2|x|=2的解的解. .( () )以方程以方程|x|=2|x|=2 的解为坐标的点不一定在的解为坐标的点不一定在 直线直线L L上上. .概念辨析概念辨析概念辨析概念辨析例例2 2：到两坐标轴距离相等的点的轨迹到两坐标轴距离相等的点的轨迹C C与方程与方程 y=x y
5、=x 之间的关系：之间的关系：具备性质（具备性质（2 2）. .不具备性质（不具备性质（1 1）. .L1L2（）方程）方程y=xy=x的解对应的点到两坐标轴的距离相等的解对应的点到两坐标轴的距离相等. . （）到两坐标轴的距离相等的点的坐标不一定是方到两坐标轴的距离相等的点的坐标不一定是方程程y=xy=x的解的解. .因此，因此，y=xy=x不是轨迹不是轨迹C C的方程，的方程，轨迹轨迹C C也不是的方程也不是的方程y=xy=x的曲线，的曲线，轨迹轨迹C C应是两条直线应是两条直线 L L1 1和和L L2 2. .概念辨析概念辨析概念辨析概念辨析 曲线可以看成由点组成的集合，记作曲线可以看
6、成由点组成的集合，记作C C， 以一个关于以一个关于x x，y y的二元方程的二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的的 解为坐标的点集，记作解为坐标的点集，记作F F，若满足，若满足 C F F C C F F C ， 则则C = F .C = F .理解概念理解概念 l曲线是曲线是“形形”，方程是，方程是“数数”，两者建立了严格的对应关，两者建立了严格的对应关系后，表明同一运动规律在系后，表明同一运动规律在“数数”和和“形形”上有着不同的上有着不同的反映反映. . 曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图
7、形反映的是数量关系所表示的图形l由曲线方程的定义可知，由曲线方程的定义可知， 如果曲线如果曲线C C的方程是的方程是f(x,y)=0f(x,y)=0，那么点，那么点P P0 0( x( x0 0 , y , y0 0) ) 在曲线在曲线C C上的充要条件是上的充要条件是f(xf(x0 0 ,y,y0 0)=0.)=0.理解概念理解概念例例3:3: 证明圆心为坐标原点，半径等于证明圆心为坐标原点，半径等于5 5的圆的方的圆的方程是程是 ，并判断点，并判断点 、 是否在这个圆上是否在这个圆上. . 证明证明：（1）设设 是是圆上任意一点，则由题意知圆上任意一点，则由题意知 （2）设设 是方程是方程
8、 的解，则的解，则所以方程所以方程 的解对应的点在的解对应的点在圆上圆上. . 是圆心为坐标原点，是圆心为坐标原点，半径等于半径等于5 5的圆的方程的圆的方程. .例例3:3: 证明圆心为坐标原点，半径等于证明圆心为坐标原点，半径等于5 5的圆的方的圆的方程是程是 ，并判断点，并判断点 、 是否在这个圆上是否在这个圆上. .M1.M2 把点把点 、 的坐标分别代入方程的坐标分别代入方程 ， 点点 在这个圆上，点在这个圆上，点 不在这个圆上不在这个圆上. . 第一步，设第一步，设M(xM(x0 0,y,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明(x(x0 0,y,y0 0) )
9、是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解；的解；证明已知曲线的方程的步骤证明已知曲线的方程的步骤: :第二步，设第二步，设(x(x0 0,y,y0 0) )是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解，的解，证明点证明点M(xM(x0 0,y,y0 0) )在曲线在曲线C C上上. .方法归纳方法归纳随堂训练随堂训练随堂训练随堂训练: : : : 1.1.到两坐标轴距离相等的点组成的曲线的方程是到两坐标轴距离相等的点组成的曲线的方程是y=xy=x吗？为什么？吗？为什么？它所对应的方程为它所对应的方程为Xyo随堂训练随堂训练随堂训练随堂训练: : 2. 2. 2. 2.已知等腰三角形三个顶点的坐标是
10、已知等腰三角形三个顶点的坐标是(0,3)(0,3)、B B(-2,0)(-2,0)、C(2,0)C(2,0)，中线（为原点）的方程是，中线（为原点）的方程是x=0x=0吗？为什么？吗？为什么？它所对应的方程是它所对应的方程是X=0（0y3）yxC(2,0)B(-2,0)A(0,3)O 随堂训练随堂训练: : 3.3.已知方程 的曲线经过点 和点 ，求 的值.1.1.若若命命题题“曲曲线线C C上上的的点点的的坐坐标标满满足足方方程程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是是正正确确 的，则下列命题中正确的是的，则下列命题中正确的是( )( ) (A)(A)方方程程f(xf(x，y)=0y)=0所
11、所表表示示的的曲曲线线是是C C； (B) (B)坐标满足坐标满足f(xf(x，y)=0y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上；上； (C) (C)方程方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C C的一部分或是曲线的一部分或是曲线C C； (D) (D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部. .D D课堂练习课堂练习2x+3y2x+3y1=01=02.2.已知两直线已知两直线a a1 1x+bx+b1 1y-1=0y-1=0和和a a2 2x+bx+b2 2y-1=0 y-1=0 的交点为的交点为P(2,3),
12、P(2,3),则过则过A(aA(a1 1,b,b1 1) )、B(aB(a2 2,b,b2 2) ) 两点的直线方程为两点的直线方程为.课堂练习课堂练习 1.1.概念概念: :曲线的方程和方程的曲线曲线的方程和方程的曲线; ; 2. 2.意义意义: :将曲线的研究转化为方程来研究将曲线的研究转化为方程来研究. .课堂小结课堂小结P P72 72 习题习题7.6 1,2.7.6 1,2.课后作业课后作业: :补充例子：画出函数的图象C.(-1x2)(-1x2)x82-1yO符合条件(1)、(2)补充例子：画出函数 的图象C.(-1x2)(-1x2)x82-1yOx82-1yO符合条件(1)不符合条件(2)符合条件(2)不符合条件(1)
