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1、带电粒子在有界粒子在有界磁磁场中运中运动的的临界极界极值问题和和多解多解问题 1相切相切越长越长长长234速度较小时，作半圆速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另一边界飞出一边界飞出 SBPSSQPQQ速度较小时，作圆速度较小时，作圆周运动通过射入点；周运动通过射入点；速度增加为某临界速度增加为某临界值时，粒子作圆周运值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界动其轨迹与另一边界相切；相切；速
2、度较大时速度较大时粒子作部分圆周运动粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出后从另一边界飞出 圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟圆心在过入射点跟边界垂直的直线上边界垂直的直线上边界垂直的直线上边界垂直的直线上圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场原边界上原边界上原边界上原边界上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P速度较小时，作圆弧速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速
3、度增加为某临界值速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另一边界飞出一边界飞出 二二. .处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值方法处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值方法-缩放法缩放法(1)(1)直线边界的临界条件直线边界的临界条件5（2 2）带电粒子在）带电粒子在）带电粒子在）带电粒子在矩形边界磁场中的运动矩形边界磁场中的运动矩形边界磁场中的运动矩形边界磁场中的运动oBdabcB圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在圆
4、心在圆心在圆心在过入射过入射过入射过入射点跟速点跟速点跟速点跟速度方向度方向度方向度方向垂直的垂直的垂直的垂直的直线上直线上直线上直线上速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧速度在某一范围内时从侧面边界飞出；面边界飞出；面边界飞出；面边界飞出；速度较大速度较大速度较大速度较大时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。对面边界飞出。对面边界飞出。对面边
5、界飞出。速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；后从原边界飞出；后从原边界飞出；后从原边界飞出；速度在某一范速度在某一范速度在某一范速度在某一范围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；围内从上侧面边界飞；速度较大速度较大速度较大速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；界飞出；界飞出；界飞出；速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出
6、。圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。圆周运动从下侧面边界飞出。量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）6例例例例1.1.如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域abcdabcd内充满方内充满方内充满方内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为向垂直纸面向里的、磁感应强度为向垂直纸面向里的、磁感应强度为向垂直纸面向里的、磁感应强度为B B的匀强磁场，在的匀强磁场，在的匀强磁场，在的匀强磁场，在adad边中点边中点边中点边中点OO方向垂直
7、磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟adad边夹边夹边夹边夹角角角角=30=300 0 、大小为、大小为、大小为、大小为v v0 0的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为mm、电量为电量为电量为电量为q q，abab边足够长，边足够长，边足够长，边足够长，adad边长为边长为边长为边长为L L，粒子的重力不，粒子的重力不，粒子的重力不，粒子的重力不计。求：计。求：计。求：计。求：. .粒子能从粒子能从粒子能从粒子能从abab边上射出磁场的边上射出磁场的边上射出磁
8、场的边上射出磁场的v v0 0大小范围。大小范围。大小范围。大小范围。. .如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述v v0 0大小范围的限制，求粒大小范围的限制，求粒大小范围的限制，求粒大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。子在磁场中运动的最长时间。子在磁场中运动的最长时间。子在磁场中运动的最长时间。 V0Oabcd7V0Oabcd3006008当粒子的入射当粒子的入射速度大小速度大小一定一定而而方向不确定方向不确定时，时，从不同方向入射的粒子从不同方向入射的粒子的轨迹的轨迹圆都一样大圆都一样大，只，只是位置绕入射点发生了是位置绕入射点发生了旋
9、转，从定圆的动旋转旋转，从定圆的动旋转中发现临界点中发现临界点 三、处理三、处理一群一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 - -轨迹圆的旋转轨迹圆的旋转 92RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.MMN NB BO OA例例例例2 2、如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板如图，水平放置的平板MNMN上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度为里的匀强磁场，磁感应强度
10、为B B，许多质量为，许多质量为，许多质量为，许多质量为mm，带电量，带电量，带电量，带电量为为为为+ +q q的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率 v v 沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，沿位于纸面内的各个方向，由小孔由小孔由小孔由小孔O O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图
11、中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中其中其中其中R=mv/qBR=mv/qB，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（，哪个图是正确的？（ ）10以速率以速率以速率以速率 v v 沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔沿纸面各个方向由小孔O O射入磁场射入磁场射入磁场射入磁场2 2R RR R2 2R RO O2 2R RR R2 2R RO O2 2R R2 2R R2 2R RO OR R2 2R R2 2R RO OD.A.B.C.11总结总结12例例例例3 3、如图，磁感应强度为如图，磁感应
12、强度为如图，磁感应强度为如图，磁感应强度为B B的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于的匀强磁场垂直于 纸面向里，纸面向里，纸面向里，纸面向里，PQPQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点为该磁场的右边界线，磁场中有一点O O到到到到PQPQ的距离为的距离为的距离为的距离为r r。现从点现从点现从点现从点O O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做
13、半径为同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做半径为r r的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界电粒子打在边界电粒子打在边界电粒子打在边界PQPQ上的范围上的范围上的范围上的范围（粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。粒子的重力不计）。分析分析分析分析：从从从从O O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径运动的半径运动的半径运动的半径r r相同，相同，相同，相同，O O为这些轨迹圆周
14、的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。O2 2r rP PQ QPQOrO2rrQPMN13练练练练1 1、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B B=0.6T=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板abab，在距，在距，在距，在距abab距离距离距离距离为为为为l l=16cm=16cm处，有一点状的放射源处，有一点状的放
15、射源处，有一点状的放射源处，有一点状的放射源S S向各个方向发射向各个方向发射向各个方向发射向各个方向发射 粒子，粒子，粒子，粒子，粒子的速度都是粒子的速度都是粒子的速度都是粒子的速度都是v v=3.010=3.0106 6 m/s m/s，已知，已知，已知，已知 粒子的电荷与粒子的电荷与粒子的电荷与粒子的电荷与质量之比质量之比质量之比质量之比q/mq/m= 5.010= 5.0107 7 C/kg C/kg ，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运，现只考虑在图纸平面中运动的动的动的动的 粒子，求粒子，求粒子，求粒子，求abab上被上被上被上被 粒子打中的区域
16、的长度。粒子打中的区域的长度。粒子打中的区域的长度。粒子打中的区域的长度。 baS l B即：即：2R l R。P P1 1N NP P2 2P1P2=20cm 解：解： 粒子带正电，沿逆时针方向做粒子带正电，沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径匀速圆周运动，轨道半径R为为14例例例例4 4、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于带电粒子，但由于环状磁场的束缚环状磁场的束缚环状磁场的束缚环状磁场的束缚，只要速度不很大，都，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R
17、1=0.5m，外半径为，外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被，若被缚的带电粒子的荷质比为缚的带电粒子的荷质比为 q/m=4107C/kg，中空区域中带，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：电粒子具有各个方向的速度。试计算： （1）粒子沿环状的半径方向）粒子沿环状的半径方向 射入磁场，不能穿越磁场的最射入磁场，不能穿越磁场的最 大速度。大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁）所有粒子不能穿越磁 场的最大速度。场的最大速度。OB BR R2 2R R1 1R R2 2r rvv答案：答案：答案：答案：（1）1.5107m/s， （2）1.0107m
18、/s。15例例例例5 5、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度、方向水平向右，电场宽度为为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为大小均为B。一个质量为。一个质量为m、电量为、电量为q、不计重力的带正电、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间点由静止开始运动
19、，穿过中间磁场区域进入右侧磁磁场区域进入右侧磁 场区域后，又回到场区域后，又回到O点，然点，然 后重复上述运动过程。求：后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度）中间磁场区域的宽度d； （2）带电粒子的运动周期。）带电粒子的运动周期。B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 216由以上两式，可得由以上两式，可得（2）在）在电场中运中运动时间在中在中间磁磁场中运中运动时间在右在右侧磁磁场中运中运动时间则粒子的运粒子的运动周期周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：解：（解：（1）如图所示，带电粒子在
20、电场中加速，由动能定理得：）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁粒子在两磁场区运区运动半径相同，三段半径相同，三段圆弧的弧的圆心心组成的三角形成的三角形O1O2O3是等是等边三角形，其三角形，其边长为2R。所以中。所以中间磁磁场区域的区域的宽度度为： B B1 1E EO OB B2 2L Ld dO O1 1O O3 3O O2 217例、例、例、例、 如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀
21、分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a a、b b、c c和和和和d d，外筒，外筒，外筒，外筒的半径为的半径为的半径为的半径为r r0 0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场方向的均匀磁场B B。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为。在两极间加上电压。一质量为mm、带、带、带、带电量为电量为电量为电量为+ +q q的粒子初速为零，从紧靠内
22、筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝的粒子初速为零，从紧靠内筒且正对狭缝a a的的的的S S点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点点出发，经过一段时间的运动之后恰好又回到点S S，则两，则两，则两，则两电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压电极之间的电压U U应是多少？应是多少？应是多少？应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中）（不计重力，整个装置在真空中） OabcdqS解析解析解析解析 ：qUmv212=qBvRvm2=2mBqrU220=半径半径 R = r018个人观点供参考，欢迎讨论
