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1、第二章第二章 数数 列列2.2 2.2 等差数列等差数列1. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项运会上，女子举重被正式列为比赛项目目.该项目共设置了该项目共设置了7个级别个级别.其中较轻其中较轻的的4个级别体重组成数列个级别体重组成数列(单位：单位：kg)：48，53，58，63.2.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和式是：本利和=本金本金(1+
2、利率利率存期存期)。例如，。例如，按活期存入按活期存入10000元钱，年利率是元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6000，第二天：第二天：6500，第三天：第三天：7000，第四天：第四天：7500，第五天：第五天：8000，第六天：第六天：8500，第七天：第七天：9000.得到数列：得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，
3、8500，9000匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm），23，24，25，26，得到数列得到数列姚明罚球个数的数列：姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000观察观察：以上数列有什么共同特点？：以上数列有什么共同特点？从第从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。举重级别的数列：举重级别的数列：48，53，58，63观察归纳观察归纳 运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列储蓄本利和储蓄本利和的数列的数列： 10072，10144，10216，10288，10360
4、. 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项项起，起，每一项每一项与它的前一项与它的前一项的差等于的差等于同一个常数同一个常数，那么这个，那么这个数列就叫做数列就叫做等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。 等差数列定义等差数列定义姚明罚球个数的数列：姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000举重级别的数列：举重级别的数列：48，53，58，63运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列储蓄本利和储蓄本利和的数列的数列： 10072，10144，10216，10288，10
5、360. d=5d=72d=500d=1/2 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2 2项项起，起，每一项与它的每一项与它的前一项的差前一项的差等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。 等差数列定义等差数列定义数学语言：数学语言：an-an-1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）或或an+1 an = d（ d是常数是常数, nN*）这是证明一个数列是等差数列的主要依据之一这是证明一个数列是等差数列的主要依据之一2、常数列、常数列a，a，a，
6、是否为等差数列是否为等差数列?若是，则公差若是，则公差是多少是多少?若不是，说明理由。若不是，说明理由。 想一想想一想公差是公差是0 3、数列、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列是否为等差数列?若是，则若是，则公差是多公差是多 少少?若不是，说明理由。若不是，说明理由。不是不是1 1、数列数列6 6，4 4，2 2，0,-2,-40,-2,-4是否为等差数列？若是，是否为等差数列？若是，则公差是多少则公差是多少? ?若不是，说明理由。若不是，说明理由。 公差是公差是-2 4、数列、数列1，2，4，6，8，10是否为等差数列是否为等差数列?若是，则若是，则公差是多公差是多 少少?若不是，说
7、明理由。若不是，说明理由。不是不是想一想想一想小结：小结：1 1、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定、判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断义进行判断a an+1n+1- -a an n 是不是同一个是不是同一个常数常数。2 2、公差、公差d d是每一项（从第是每一项（从第2 2项起）与它的前一项项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可公差可以是正数，负数，也可以为以是正数，负数，也可以为0 0。 例例1：判断下列数列是否：判断下列数列是否为为等差数列并加以等差数列并加以证证明：明：(1) an中，中， an32n； (2)
8、 an中，中， ann2n.解解对对任意任意nN*，(1)an1an32(n1)(32n)2，是同一常数，是同一常数，数列数列an是等差数列是等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n，不是同一，不是同一常数，常数，数列数列an不是等差数列不是等差数列 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：就会成为一个等差数列：（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等成等差数列，那么差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中
9、项。思思 考考( 3 ) , ( ) , 这是证明一个数列是等差数列的主要依据之二这是证明一个数列是等差数列的主要依据之二观察数列：观察数列：1，3，5，7，思思 考：考：在数列中在数列中a100= =？我？我们该如何求解呢？们该如何求解呢？如何求一般等如何求一般等差数列的通项差数列的通项公式？公式？通项公式：归纳得归纳得: :等差数列的通项公式（推导一）不完全归纳法如果一个数列如果一个数列是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，根据等差数列，根据等差数列的定义得：的定义得：当当n=1时，上式还成立时，上式还成立叠加得叠加得等差数列的通项公式（推导二）通项公式：叠加法当当n=1时，上式
10、还成立时，上式还成立等差数列的通项公式等差数列的通项公式：首项为首项为a1 ,公差为公差为d的等差数列的等差数列an的通项公式的通项公式:an = a1 + (n1)d a1 1 、an n、n、d知三求一知三求一变形：变形：an=am +(n-m)d(n,mN*)等差数列通等差数列通 项项 公公 式式 的的 归纳归纳特点：关于特点：关于n的一次型的函数的一次型的函数例例2 2、（1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；项；（2 2）判断）判断-401-401是不是等差数列是不是等差数列 5,-9 ,-13 5,-9 ,-13的项的项? ?如果是，是第几项，如
11、果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析分析（1 1）由给出的等由给出的等差数列前三项，先找差数列前三项，先找到首项到首项a1 1, ,求出公差求出公差d,d,写出通项公式，就可写出通项公式，就可以求出第以求出第2020项项a2020. .解：解：(1)(1)由题意得：由题意得： a1 1=8,d=5-8=-3,n=20=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： an n= =a1 1+(n-1)d=-3n+11 +(n-1)d=-3n+11 a2020=11-320=-49=11-320=-49分析分析（2 2）要想判断要想判断 -40
12、1-401是否为这个数列是否为这个数列中的项，关键是要求中的项，关键是要求出通项公式，看是否出通项公式，看是否存在正整数存在正整数n,n,使得使得an n=-401=-401。(2)(2)由题意得：由题意得： a1 1=-5,d=-9-(-5)=-4=-5,d=-9-(-5)=-4这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=-5+ (n - 1) (-4)=-4n-1 令令-401=-4n-1,-401=-4n-1,得得 n=100 n=100-401-401是这个数列的第是这个数列的第100100项。项。练一练练一练:1. 求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；
13、解得解得：2. 100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3. -20是不是等差数列是不是等差数列0，-7 中的项；中的项；解得解得：解得解得：例例3 3在等差数列在等差数列 an n 中，已知中，已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求数列的通项公式求数列的通项公式. .这是一个以这是一个以a1和和d 为未知数的二元一次方程组，为未知数的二元一次方程组，解之得：解之得：解：由题意得：解：由题意得：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是： an=3n-5例例 题题求基本量求基本量a1和和d ：根据已知条件：根据已知条件列方程列方程，由此解出由此解出a1
14、和和d ，再代入通项公式。，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称列出方程求解的思想方法，称方程思想方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评题后点评求通项公式的关键步骤：求通项公式的关键步骤：基本量法基本量法练一练练一练1.1.在等差数列中在等差数列中 2.已知已知递递减等差数列减等差数列an的前三的前三项项和和为为18，前三，前三项项的乘的乘积为积为66.求数列的通求数列的通项项公式，并判断公式，并判断34是是该该数列的数列的项吗项吗？思路探索思路探索 本题主要考查等差数列的
15、通项公式及等本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算差数列的基本运算数列数列an是是递递减等差数列，减等差数列，d0.故取故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列即等差数列an的通的通项项公式公式为为an5n16.令令an34，即，即5n1634，得，得n10.34是数列是数列an的第的第10项项已知数列 的通项公式是 （ 为常数），那么这个数列为等差数列吗？等差数列与一次函数的关系等差数列与一次函数的关系探究：探究：等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，12345678910123456789100等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，
16、-2，12345678910123456789100等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100直线方程的斜截式：直线方程的斜截式：等差数列的通项公式为：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。 在在1与与7之之间顺间顺次插入三个数次插入三个数a，b，c使使这这五个数成等五个数成等差数列，求此数列差数列，求此数列思路探索思路探索 由由a11及及a57，可使用通项公式求得公差，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项；也可利用等差中项先求得先求得b，再依次使用等差中项求得，再依次使用等差中项求得a，c.解法一解法一设设a11，a57.71(51)dd2.所求的数列所求的数列为为1,1,3,5,7.法二法二1，a，b，c,7成等差数列，成等差数列，b是是1与与7的等差中的等差中项项等差数列的应用等差数列的应用【例例4】(1)求求证证：数列：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列an的通的通项项公式公式【例例5】作业：P页：、3、4优化活页测评
