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1、 xy0直线直线xy0几条线段连成的几条线段连成的折线折线xyo曲线曲线探究思考探究思考问题问题1：你能求出下面图像的面积吗？：你能求出下面图像的面积吗？问题问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？：第三幅图的面积应该怎么求呢？ 1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，直直线线x=a、x=b及及x x轴轴所所围围成成的的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近
2、，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（即在很小范围作直线（即在很小范围“内以直代曲内以直代曲” ）P放大放大再放大再放大PP“以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 ”的数学思想的数学思想 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A A，得，得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A， 得得 y =
3、 f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯形的面积形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。 若若“梯形梯形” 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似
4、地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 例例1.1.求求抛抛物物线线y y= =x x2 2、直直线线x x=1=1和和x x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯形的面积。梯形的面积。 解析解析: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂然后在每个分点作底边的垂线线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把这些小矩形的面积加起来然后把这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值，再取得到一个近似值，再取其极限值。其极限值。 探究思考探究思考把区间把区间00
5、，11等分成等分成n n个小区间个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲个小曲边梯形，他们的面积分别记作边梯形，他们的面积分别记作 如图，当如图，当n n很很大时，即大时，即x x很小很小时，在区间时，在区间 上可以认为函数上可以认为函数 的值变化很小的值变化很小. . 把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记个小曲边梯形面积记做做 .用小矩形的面用小矩形的面积积 近似地替代近似地替代 即局部小范围内即局部小范围内“以直以直代曲代曲”.则阴影部分面积则阴影部分面积得到得到S S（曲边梯形面积）（曲边梯形面积）的近似值的近似值： 当当n趋向于无
6、穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于S.从而有从而有分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积。 解解把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这这样曲边三角形被分成样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把这然后把这些小矩形的面积加起来些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: : 因此因此, , 我们有理由相我们有理由相信信, , 这个
7、曲边三角形这个曲边三角形的面积为的面积为: :求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取取近近似似求求和和:任任取取x xi xi- -1, xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用高为用高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形梯形的面积的面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地
8、插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度x引入引入 如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t t的速度为的速度为 (t(t的单位：的单位：h h，v v的单位：的单位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在 这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s（单位：（单位：kmkm）是）是多少？多少？求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程探究思考探究思考nnSS lim 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程车行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲和曲
9、线线 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积有什么关系？有什么关系？ 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成个分点，将它等分成n个小区间：个小区间： 记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：其长度为： 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，的变化值很小，近似地等于一个常数近似地等于一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在从物理意义上看，就是汽车在时间段时间段 上的速度上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时变化很小，不妨认为它近似地以时刻刻 处的速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶.在区间在区间 上，近似
10、地认为速度为上，近似地认为速度为 即在局部小范围内即在局部小范围内 “以匀速代变速以匀速代变速”. 由近似代替求得：由近似代替求得： 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于s，从而有，从而有 结论结论 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过的过程可知，它们都可以通过“四步曲四步曲”：分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限可以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程 复习复习一、定积分的概念一、定积分的概
11、念 概念概念定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为定积分的定义：1x yOf(x)=x2O Ov t t12正确理解定积分的概念正确理解
12、定积分的概念（3 3）. .规定：规定：二、定积分的几何意义：二、定积分的几何意义：Ox yab yf (x) xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf (x) y-f (x)-S上述曲边梯形面积的负值。 -Soabxyy=f(x)y=f(x)探究根据定积分的几何根据定积分的几何意义，你能用定积意义，你能用定积分表示图中阴影部分表示图中阴影部分的面积吗？分的面积吗？ 探究探究三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 性质性质2. 2. 定积分关于积分区间具有
13、定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. Ox yab yf (x) 性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y 在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，把区间个分点，把区间0,1等分成等分成n个小区间个小区间 每个小区每个小区间的长度为间的长度为 (1)分割分割 例题例题（2）近似代替，作和）近似代替，作和（3）取极限）取极限回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在
14、某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从从函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是:我们称它为函数我们称它为函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f (x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形
15、式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾再再观观察察-直直线线和和P附附近近的的曲曲线线的的贴贴近近程程度度！在点在点P附近，曲线附近，曲线f (x)可以用在点可以用在点P处的切线处的切线PT近近似代替似代替 。PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个确定位置有一个确定位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为称为曲线在点曲线在点P处的处
16、的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即: 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 即即: 故故曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切
17、线方程是:例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的的切线的斜率切线的斜率切线的斜率切线的斜率。（2）根据直线方程的）根据直线方程的点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程，即即求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度
18、是 （单位：（单位： ），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢? 同理，同理，运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增
19、（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ 增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝对值的大小的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升
20、降附近比较平坦，几乎没有升降 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 大于大于上升上升递增递增上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速递减递减下降下降小于小于下降下降在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当时当时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的的一个函数一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合） 切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数) 2.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象
