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1、第第4章章分形几何分形几何分形几何分形几何理学院应用数学系理学院应用数学系24.1 分形几何学产生的背景分形几何学产生的背景 从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研从数学的发展进程看，十九世纪经典数学研究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学究的对象是牛顿连续动力学体系，导致其几何学研究对象为欧几里得规则几何结构。研究对象为欧几里得规则几何结构。 这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等这些研究对象往往具有规则、光滑、连续等特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面特点，如常见的直线、曲线、光滑的曲面或球面等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述自等，我们可以用这些规则的几何体去近似描述自然界
2、或物理运动中具有规则形状的人造物体。然界或物理运动中具有规则形状的人造物体。 为了研究上的方便，常常要对这些几何体要为了研究上的方便，常常要对这些几何体要做出连续、可微的限制。做出连续、可微的限制。34.1 分形几何学产生的背景分形几何学产生的背景 然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态然而，在真实的自然界中却存在着千姿百态的自然构型：的自然构型：4自然界中千姿百态的自然构型：自然界中千姿百态的自然构型：5科学研究中的科学研究中的“病态病态”几何对象：几何对象：裂纹裂纹6科学研究中的科学研究中的“病态病态”几何对象：几何对象：布朗运动布朗运动7这些变化无穷的几何形体，已经不再具备我们早这些变化
3、无穷的几何形体，已经不再具备我们早已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性质了，显然，已熟知的数学分析中连续、光滑等基本性质了，显然，我们无法用传统的几何学来描述、研究它们。我们无法用传统的几何学来描述、研究它们。因此，这类几何体常被排斥在传统数学研究对象因此，这类几何体常被排斥在传统数学研究对象之外，并称之为之外，并称之为“病态病态”的几何对象。的几何对象。人们逐渐意识到对这些人们逐渐意识到对这些“病态病态”的几何结构开展的几何结构开展研究是十分必要的，因为不规则几何体不仅比经典几研究是十分必要的，因为不规则几何体不仅比经典几何图形能更好的反映自然现象，而且能够更好的揭示何图形能更好的反映自然现
4、象，而且能够更好的揭示物质运动的本质特征。物质运动的本质特征。8分形几何学创始人分形几何学创始人曼德布罗特曼德布罗特(B.B.Mandelbrot) 1975年，美籍法国数学家年，美籍法国数学家曼德布罗特在总结了前人研究曼德布罗特在总结了前人研究的基础上，冲破了传统几何学的基础上，冲破了传统几何学的束缚，创建了分形几何学（的束缚，创建了分形几何学（ Fractal,分形理论）。分形理论）。9“英国的海岸线有多长英国的海岸线有多长”1967，science10“科赫曲线科赫曲线”1904,H.V.Koch 11“科赫曲线科赫曲线”1904,H.V.Koch KochKoch曲线处处连续，但处处不
5、可导，其长度为无穷大。曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。12“科赫曲线科赫曲线”1904,H.V.Koch 13“科赫雪花科赫雪花”1904,H.V.Koch 14 分形的特征及定义分形的特征及定义15 具有分形特征的典型例子与无标度性具有分形特征的典型例子与无标度性例康托（例康托（Cantor）三分集）三分集16康托（康托（Cantor）三分集的性质：）三分集的性质： F是自相似的。是自相似的。 很明显，在区间很明显，在区间0,1/3和和2/3,1内的内的F部分与部分与 E0是几何相似的，相似比为是几何相似的，相似比为1/3 ，进而，进而E2的四个区间内的四个区间内F的的部分也与部
6、分也与 E0 相似，相似比为相似，相似比为1/9, 这种部分与整体相似这种部分与整体相似的图形称为具有自相似性质。的图形称为具有自相似性质。 F有有“精细结构精细结构”。 即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图即它包含有任意小比例的细节。越放大康托集的图形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。形，间隙就越清楚地呈现在我们面前。 F在某种意义下是相当大的集。在某种意义下是相当大的集。 但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何但它的大小不适合于用通常的长度来度量。用任何合理定义的长度，合理定义的长度，F总是长度为零。总是长度为零。17例例4.2 谢尔宾斯基（谢尔宾斯基（Sierpinski）三
7、角）三角18皮亚诺（皮亚诺（Peano）曲线）曲线19朱莉娅（朱莉娅（Julia）集）集20丢勒正五边形丢勒正五边形214.2.2 分形的定义分形的定义一、的两次定义一、的两次定义（1）满足下式条件：）满足下式条件： Dim(A)dim(A)的集合的集合A，称为分形集。，称为分形集。其中，其中，Dim(A)为集合为集合A的的Hausdorff维数维数(或分维数或分维数)， dim(A)为拓扑维数。为拓扑维数。(一般一般Dim(A)不是整数，而是分不是整数，而是分数数)。 （2）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合）分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合 22二、仿照生物学中生命的定义二、
8、仿照生物学中生命的定义如果集合如果集合F具有下列典型的性质，则集合具有下列典型的性质，则集合F是分形。是分形。 F具有自相似性，具有自相似性， 这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。这种自相似性可以是近似的或是统计意义下的。 F具有精细的结构，具有精细的结构， 即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节。 F是不规则的，是不规则的， 它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。 一般地，一般地，F的某种方式定义下的分形维数大于它的的某种方式定义下的分形维数大于它的 拓扑维数。拓扑维数。 在大多数令人感兴趣的情形
9、下，在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方以非常简单的方 法确定，可能由迭代过程产生。法确定，可能由迭代过程产生。4.2.2 分形的定义分形的定义234.2.3 规则分形与随机分形规则分形与随机分形一、规则分形一、规则分形二、随机分形二、随机分形 通通过初始元和生成元的确定，按照初始元和生成元的确定，按照严格的格的规律不断律不断变化以至无化以至无穷，并且具有，并且具有严格的自相似性格的自相似性的分形。的分形。 自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越自相似性只存在于无标度区之内，一旦逾越了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。了无标度区域，自相似性就不复存在的分形。24欧氏几何与分形几何的
10、区别欧氏几何与分形几何的区别欧几里得几何欧几里得几何分形几何分形几何经典的（经典的（2000多年的历史）多年的历史）现代数学怪物（现代数学怪物（30多年的历史）多年的历史）基于特征长度与比例基于特征长度与比例 无特征长度与比例无特征长度与比例 适合于人工制品适合于人工制品实用于大自然现象实用于大自然现象 用公式描述用公式描述用（递归或迭代）算法描述用（递归或迭代）算法描述 图形规则图形规则图形不规则图形不规则 图形的结构层次有限图形的结构层次有限 图形的结构层次无限图形的结构层次无限 局部一般不具有整体的信息局部一般不具有整体的信息 局部往往具有整体的信息局部往往具有整体的信息 图形越复杂，背
11、后的规则也越复杂图形越复杂，背后的规则也越复杂 图形复杂，背后的规则经常是简单图形复杂，背后的规则经常是简单的的 欧几里得几何欧几里得几何分形几何分形几何经典的（经典的（2000多年的历史）多年的历史）现代数学怪物（现代数学怪物（30多年的历史）多年的历史）基于特征长度与比例基于特征长度与比例 无特征长度与比例无特征长度与比例 适合于人工制品适合于人工制品适用于大自然现象适用于大自然现象 用公式描述用公式描述用（递归或迭代）算法描述用（递归或迭代）算法描述 图形规则图形规则图形不规则图形不规则 图形的结构层次有限图形的结构层次有限 图形的结构层次无限图形的结构层次无限 局部一般不具有整体的信息
12、局部一般不具有整体的信息 局部往往具有整体的信息局部往往具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越复杂图形越复杂，背后的规则也越复杂 图形复杂，背后规则经常是简单的图形复杂，背后规则经常是简单的 25分形理论的哲学启示分形理论的哲学启示分形理分形理论作作为一种方法一种方法论和和认识论，其启示是多方面的，其启示是多方面的:(1)分形整体与局部形分形整体与局部形态的相似，启的相似，启发人人们通通过 认识部分来部分来认识整体，从有限中整体，从有限中认识无限。无限。(2) 分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、 复复杂与与简单之之间的新形的新形态、新秩序。、新秩序。(3) 分形从一个特定的分形从一个特定的层面揭示了世界普遍面揭示了世界普遍联系系 和和统一的一的图景。景。26 前面对分形的讨论都是一种定性的描述，前面对分形的讨论都是一种定性的描述，其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。其准确性和精细性远远不能满足人类的需要。 下面将介绍分形维数的计算方法，从定量下面将介绍分形维数的计算方法，从定量的角度分析和研究分形所具有的内在本质和规的角度分析和研究分形所具有的内在本质和规律。律。
