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1、二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程和二次函数的应用和二次函数的应用主讲 於 宪单位 丹徒区冷遹中学 审稿 丹徒区教研室 张文全u学 习 目 标u知 识 回 顾u典 型 例 题 和 及 时 反 馈学习目标了解二次函数的图像与x轴的交点个数和一元二次方程根的情况之间的关系。利用二次函数的图像与坐标轴的交点坐标来解决一些具体的数学问题。利用二次函数的图像及其性质来建立数学模型解决一些实际生活中的问题。知识点回顾l如何求函数的图像与坐标轴的交点坐标 与x轴的交点坐标可以设y=0，再解方程。 与y轴的交点坐标可以设x=0，再解方程。思考与观察第一种方法：通过计算 设y=0,得x-3=0.解得x
2、=3.所以图像与x轴的交点坐标是（3，0）.-3-3 -2-2 -1-10 01 1 2 23 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4第二种方法看图像l如何求一次函数y=x-3的图像与x轴的交点坐标.（3，0）典 型 例 题1 如何求二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标呢？ 方法一： 设y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0， 解得 x1=3,x2=-1, 所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0).方法二： 也可以观察抛物线与坐标轴的交点情况得到两个交点坐标.-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3-1-1-2-2-3-31 12
3、23 3x xy y4 4（3，0）（-1，0）引发思考 通过这个例题的解答我们能得到什么信息呢？我们可以知道：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根，反之也成立。-3-3 -2-2 -1-10 01 12 23 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4-3-3-2-2 -1-10 0 1 1 2 2 3 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.典型例题2典型例题2归纳 b2-4ac 一元二次方程的实数根情况 二次函数与x的交点个数 0两个不相等实数根
4、 2 =0两个相等实数根 1 0时x的取值范围是（ ）3 y0时x的取值范围是（ ） -3-3-2-2 -1-10 0 1 1 2 2 3 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4xxx 1x0时x的取值范围是 。 3 y0时x的取值范围是 。 -3-3-2-2 -1-10 01 1 2 23 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4(2,0) (-1,0）（0，2） -1x2x2典型例题4（最大值问题） 某粮食种植大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100-150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x亩今年每亩的收益为
5、（440-2x）元。试问该种粮大户今年要承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 分析：总收益=去年收益+今年收益 =去年亩数每亩收益+今年亩数每亩收益。 可设总收益为y元。 解：设总收益为y元。 y=440 360+ （440-2x）x （根据题意列出函数式） =-2x2+440x+158400 （化为一般式） 答：今年要承租110亩稻田才能使总收益最大，最大收益是182600元。及时反馈（4） 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，由此每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品。
6、请问增加多少台机器，可以使每天的总产量最大？最大产量是多少？解：设增加x台，每天的总产量为y件。 （解设）y=(80+ x)(384- 4x) （根据题意列式） =-4x2+64x+30720 （化为一般式） 答：每天增加8台机器总产量最大，最大产量是30976件。典型例题5（最大面积问题） 把一根长10m的铁丝围成一个矩形，矩形的长为多少时面积最大？最大面积是多少？此时矩形是什么？ 解设长为xm，则宽为（5-x）m。矩形的面积为y m2 y =x（5-x） =-x2+5x x =2.5时， y有最大值6.25答：当x =2.5m，y有最大值6.25m2。此时矩形是正方形。提醒：本题可不能忘了
7、答哦！提醒：本题可不能忘了答哦！及时反馈（5） 如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,怎么作怎么作图才能使矩形面积最大图才能使矩形面积最大,最大是多少最大是多少?MN40m30mP注意：注意：矩形的位置并没有明确，因此矩形的位置并没有明确，因此需要进行分类讨论。需要进行分类讨论。情况一： 如图如图,在一个直角三角形的内在一个直角三角形的内部作一个矩形部作一个矩形ABCD，其中，其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上. 设矩形的一边设矩形的一边AB=xm,矩形的面积为矩形的面积为ym2。(A)BCDMNP情况二： 如图如图,在一个直角三角形
8、的在一个直角三角形的内部作一个矩形内部作一个矩形ABCD，其，其顶点顶点A和点和点D分别在两直角边分别在两直角边上上,BC在斜边上在斜边上.分析：分析：(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取取何值时何值时,y的最大值是多少的最大值是多少?ABCDMNPHG实际问题（喷泉问题）xy典型例题6 如图，某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形的水平距离xm与高度ym之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.求水流落地点求水流落地点D与与底部底部A的的 距离。距离。 解解:将将B
9、(0,1.2)代入代入y=a(x-4)2+2 得得 a=-0.05. 所以所以y=-0.05(x-4)2+2 设设y=0，得，得 -0.05(x-4)2+2=0解得解得BOyxD(A)X1=4+210(舍去)X2=4-210答:水流落地点水流落地点D与底部与底部A的的 距离为距离为 4+2(m)10分析：求水流落地点分析：求水流落地点D与底部与底部A的的 距离，距离，就是求点就是求点D的横坐标。的横坐标。1.2及时反馈（6） 桃河公园要建造圆形喷水池桃河公园要建造圆形喷水池. .在水池中央垂直于水面在水池中央垂直于水面处安装一个柱子处安装一个柱子OAOA, ,O O恰在水面中心恰在水面中心,
10、,OA=OA=1.25m. .由柱子顶由柱子顶端端A A处的喷头向外喷水处的喷头向外喷水, ,水流在各个方向沿形状相同的抛水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下物线落下, ,为使水流形状较为漂亮为使水流形状较为漂亮, ,要求设计成水流在离要求设计成水流在离OAOA距离为距离为1m m处达到距水面最大高度处达到距水面最大高度2.25m.m. 如果不计其它因素如果不计其它因素, ,那么水池的半径至少要多少米那么水池的半径至少要多少米, ,才能使喷出的水流不致落到池外？才能使喷出的水流不致落到池外？ 根据对称性根据对称性, ,如果不计其它因素如果不计其它因素, ,那么水池的半径至少要那么水池的半径至少
11、要2.5m,2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外才能使喷出的水流不致落到池外. . 解解: :(1)(1)如图如图, ,建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系, ,根据题意得根据题意得,A,A点点坐标为坐标为(0,1.25),(0,1.25),顶点顶点B B坐标为坐标为(1,2.25).(1,2.25). 当当y=0y=0时时, ,可求得点可求得点C C的坐标为的坐标为(2.5,0);(2.5,0);同理同理, ,点点D D的坐标为的坐标为(-2.5,0).(-2.5,0). 设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为由待定系数法
12、可求得抛物线表达式为:y=-(x-1):y=-(x-1)2 2+2.25.+2.25.数学化xyB(1,2.25)(0,1.25)OA CD实际问题（桥拱与涵洞问题）思考：如何将赵州桥的桥拱(近似于抛物线)抽象成平面直角坐标系中的抛物线,怎样使的建立的图像最简单.典型例题7 一一个个涵涵洞洞成成抛抛物物线线形形，当当水水面面宽宽1.6 m时时，涵涵洞洞顶顶点点与与水水面面的的距距离离为为2.4 m这这时时，离离开开水水面面向向上上1.5 m处处，涵涵洞洞宽宽是是多多少少？是是否否会会超超过过1 m？（精确到？（精确到0.1）根据题意，如图在平面直角根据题意，如图在平面直角坐标中建立最简单的抛物
13、线坐标中建立最简单的抛物线图形。图形。因为点因为点B在涵洞所成在涵洞所成的抛物线上，所以的抛物线上，所以B的坐标的坐标（0.8，-2.4） 解：设 y=ax2 (a0) 将B的坐标（的坐标（0.8，- 2.4） 代入得代入得y=-3.75x2.此时此时OF=2.4-1.5=0.9所所以以D的纵坐标的纵坐标-0.9，即，即y=-0.9，解得解得x1= x2=x10.49 x2 -0.49，所，所以宽度约为以宽度约为 0.98m.不超不超过过1m.及时反馈（7） 一座抛物线拱桥架在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时,水面宽m,当水位上升m 时,水面宽多少?(精确到0.1m)解:建立如图所
14、示的图形,由题意得A点的坐标（3，-3），设抛物线关系式y=ax2(a0),可得y= x2.-3-3 -2-2 -1-10 01 1 2 23 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4A AB BC CD D再由水位上升1 m可知c点的纵坐标是-2，即y=-2，解得拓展：如果此时有一艘水面部分高为0.5 m宽为4 m的小船，当水位上升1 m时小船能否安全通过？及时反馈（7） 分析：分析：我们可以这样思考我们可以这样思考, ,就相当于水位再上升就相当于水位再上升0.50.5m时，水时，水面的宽度是多少？超过面的宽度是多少？超过4 4m就安全通过，否则不能安全通过。就安全通过
15、，否则不能安全通过。-3-3 -2-2 -1-10 01 1 2 23 3-1-1-2-2-3-31 12 23 3x xy y4 4A AB BC CD DE E解：如图，E点的纵坐标为-1.5，即y=-1.5，解得 2.1，此时宽约为4.2m，可以安全通过。反 思 小 结理解二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0的根情况之间的关系。提醒：b2-4ac0 图像与x轴有两个交点。 b2-4ac=0 图像与x轴有一个交点。 b2-4ac0 图像与x轴没有交点。利用二次函数的图像与性质解决问题。提醒：三点一线利用二次函数的图像与性质将实际问题转化为数学问题。提醒：建立数学模型谢 谢！数学是做出来的，希望同学们多做多练！
