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1、必考问题必考问题4导数的几何意导数的几何意义、函数的单调性和极值义、函数的单调性和极值1(2011山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15答案：C由已知得切线的斜率ky|x13，切线方程为y123(x1)，即3xy90.令x0，得y9，切线与y轴交点的纵坐标为9.4(2012大纲全国)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3 C1或1 D3或1答案：Ay3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表：因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.x(，1)1(1,1)1(1
2、，)yyc2c21利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义2考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式3用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解必必备备知知识识 方方法法必备知识导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的
3、切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)ex函数的单调性与导数(1)设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是单调递增函数；若f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是
4、单调递减函数(2)若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数函数的极值与导数设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都f(x0)f(x)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果对x0附近的所有点x，都有f(x0)f(x)，就说f(x0)是函数的一个极小值函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最值必备方法1可导函数的单调性(1)求函数f(x)的单调区间确定函数的定义域；求f(x)；若求减区间，则解f(x)0；若求增区间，则解f(x)0.(2)证明可导函数f(x)在(a
5、，b)内的单调性求f(x)；确认f(x)在(a，b)内的符号；推出结论f(x)0为增函数，f(x)0为减函数(3)已知函数的单调性，求参数的取值范围，转化为一般不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题2函数的极值与最值根据最值定理，求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)的函数值，就是最大(小)值对于开区间(a，b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值时，除求出函数的极大值、极小值外，还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图象
6、，再判定函数的最大(小)值，否则会出现错误但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点3利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论热热点点命命题题 角角度度常考查：根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数导数的几何意义及其应用 解决函数切线的相关问题，需抓住两个关键点：其一，切点是交点其二，在切点处的导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线
7、”的差异过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点常考查：利用导数研究函数的单调性问题；由函数的单调性求参数的范围利用导数研究函数的单调性 【例2】 (1)已知导函数f(x)的下列信息：当1x4时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数yf(x)图象的大致形状(2)确定函数f(x)2x36x27在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 解(1)当1x4时，f(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1时，f(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；当x4，或x1时，f(x)0，可知这两点处的
8、切线是水平的综上，函数yf(x)图象的大致形状如图所示题(2)利用了函数单调的充分条件：“若f(x)0，则f(x)单调递增；若f(x)0，则f(x)单调递减”题(3)利用了函数单调的必要条件：“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”注意必要条件中的等号不能省略，否则漏解【突破训练2】 (2012新课标全国)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增；若a0，则当x(，ln a)时，f(x)
9、0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增常考查：直接求极值或最值；利用极(最)值求参数的值或范围常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题利用导数研究函数的极值或最值 【例3】 已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m，n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值审题视点 (1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m、n的方程，求出m、n的值(2)分类讨论听课记录x(，0)0(
10、0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值 (1)求单调递增区间，转化为求不等式f(x)0(不恒为0)的解集即可已知f(x)在M上递增f(x)0在M上恒成立，注意区别(2)研究函数的单调性后可画出示意图讨论区间与0,2的位置关系，画图截取观察即可【突破训练3】 (2012北京)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3，函
11、数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，3阅阅卷卷老老师师 叮叮咛咛错把“充分不必要条件”当作“充要条件”给定区间(a，b)，若f(x)0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f(x)0，则f(x)在(a，b)上为减函数反之不然这也就是说f(x)0(f(x)0)是f(x)在(a，b)上为增函数(减函数)的充分不必要条件，而不是充要条件老师叮咛：当f(x)0时，f(x)是减函数.但反之并不尽然，如f(x)x3是减函数，f(x)3x2并不恒小于0，(x0时，f(x)0).因此本题应该有f(x)在R上恒小于或等于0.
