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1、线性代数线性代数（第五版）（第五版）2013.12.14修改汇总修改人：修改人：xiaobei93521在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. .但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. .我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. .在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们
2、引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. .3第一章第一章 行列式行列式内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 对换对换5 5 行列式的性质行列式的性质6 6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7 7 克拉默法则克拉默法则行列式的概念行列式的概念. .行列式的性质及计算行列式的性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . （选学内容）（选学内容） 行列式是线性代数行列式是线性代数的一种工具！的一种工具！学习行列式主要就学习行列式主要就是要能计算行列式是要能计算行列式
3、的值的值. .41 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而
4、得.其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .记号记号 数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即其中，其中， 称为称为元素元素. .i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两
5、元素之积 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因为因为 所以所以 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 注意：注意：对角线法则只
6、适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有方程左端方程左端解解由由 得得例例3 求解方程求解方程 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元个元素的素的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数
7、，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，
8、可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.20定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列 的逆序数通常
9、记为的逆序数通常记为 . .奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看
10、有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.解：解：3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写
11、成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. .1.1.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；2.2. 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n
12、 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中4.4. 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .5.5.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；6.6. 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) )元元思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，
13、一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项. . 例：例：计算行列式计算行列式解：解：和和解：解：其中其中 四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 (2) (2) (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数. 35故故 的系数为的系数
14、为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于4 对换对换一、对换的定义一、对换的定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 备注备注1.1.相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形. . 2.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. . 3.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. .
15、m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .当当 时，时， ， ， . . 当当 时，时， ， ， . . 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个
16、元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. .推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论，因此可知推论成立成立. .证明证明 因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次
17、交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变. . 于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数. . 因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . 所以所以 是偶数，是偶数， 因此，交换因此，交换 中任意两个元
18、素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. . 所以，所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 例例1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是
19、六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 解解1. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结5 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . 若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证
20、明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .性质性质3 行列式的某一行（
21、列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列
22、式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如：例如：则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上
23、，记作行（列）上，记作 . .例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例3 设设 证明证明 证明证明对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行
24、列式故故 ( (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质6 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .一、引言结论
25、结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . 结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一
26、个余子式和一个代数余子式. .引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 例如例如 即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能
27、不能. . 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.12例例7续）续） 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提
28、出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对
29、应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 计算行列式计算行列式解解例例 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及解解7 克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常
30、列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. .这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情
31、形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. .关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则该的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零数行列式必为零. .设设例例 解线性方程组解线性方程组解解线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性
32、方程组. .齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解. . 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解. .定理定理5 如
33、果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解, ,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为零零. . 备注备注1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件零解的必要条件. . 2.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的. . 即：即：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零系数行列式等于零练习题：练习题：问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解如果齐次方程组有非零解，则必有如果齐次方程组有非零解，则必有 . .所以所以 时齐次
34、方程组有非零解时齐次方程组有非零解. .思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解. .1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2
35、. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于理论推导理论推导三、小结第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示
36、，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. .其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送
37、的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. .这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为
38、元，简称为元. .n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式1.行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 . .2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量) . .3. 4.只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量) . .5.元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O . .例如：例如： 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵4.形如形如 的方阵
39、称为的方阵称为对角阵对角阵 特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵记作记作记作记作 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵. .例如例如为同型矩阵为同型矩阵. .2. 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B . .注意：不同型的零矩阵是不相等的注意：不同型的零矩阵是不相等的. .例如例如 表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常
40、数. .四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .例例 线性变换线性变换 称为称为恒等变换恒等变换. .对应对应 单位阵单位阵 En对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 2 矩阵的运算矩阵的运算例例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表
41、示：发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中其中aij 表示表示上半年上半年工厂向第工厂向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量其中其中cij 表示工厂表示工厂下半年下半年向第向第 i 家家商店发送第商店发送第 j 种货物的数量种货物的数量解：解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：定义：设有两个设有两个 mn 矩阵矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵那么矩阵 A 与与 B 的和记作的和记作 AB，规定为，规定为
42、说明：说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. .知识点比较知识点比较交交换换律律结结合合律律其其他他矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律设设 A、B、C 是同型矩阵是同型矩阵设矩阵设矩阵 A = (aij) ，记记A = (aij)，称为矩阵，称为矩阵 A 的的负矩阵负矩阵显然显然设工厂向某家商店发送四种货物各设工厂向某家商店发送四种货物各 l l 件，试求：工厂向该商件，试求：工厂向该商店发送第店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量例（续）例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：该厂所生产的货物的单价及单件
43、重量可列成数表：其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 解：解：工厂向该商店发送第工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量种货物的总值及总重量其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的种货物的单价单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的种货物的单件重量单件重量 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：定义：数数 l l 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 l l A 或或 A l l ，规定为，规定为结结合合律律分分配配律律备备注注数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律设设 A、B是同型矩阵，是同型矩阵
44、，l l , , m m 是数是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算. .知识点比较知识点比较其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例（续）例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重
45、量 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解：解：以以 ci1， ci2 分别表示工厂向第分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及家商店所发货物的总值及总重量，其中总重量，其中 i = 1, 2, 3于是于是其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 可用矩阵表示为可用矩阵表示为一般地，一般地，一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：定义：设设 ， ，那么规定
46、矩阵，那么规定矩阵 A 与矩与矩阵阵 B 的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵 ，其中，其中并把此乘积记作并把此乘积记作 C = AB 例：例：设设则则知识点比较知识点比较有意义有意义. .没有意义没有意义. .只有当第一个矩阵的列数只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘. .例例 P.35P.35例例5 5 结论：结论：1.1.矩阵乘法不一定满足交换律矩阵乘法不一定满足交换律. .2.2.矩阵矩阵 ，却有，却有 ，从而不能由从而不能由 得出得出 或或 的结论的结论矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 (1)(1) 乘法结合律
47、乘法结合律 (3)(3) 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律(2)(2) 数乘和乘法的结合律数乘和乘法的结合律 （其中（其中 l l 是数）是数）(4) (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 1，即，即推论：推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lElE 与任何与任何同阶方阵都是可交换的同阶方阵都是可交换的. .纯量阵不同纯量阵不同于对角阵于对角阵(5) 矩阵的幂矩阵的幂 若若 A 是是 n 阶阶方阵方阵，定义定义显然显然思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成
48、立四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：定义：把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作AT . .例例转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例：例：已知已知解法解法1解法解法2定义：定义：设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 A 称为称为对称阵对称阵. .如果满足如果满足 A = AT，那么，那么 A 称为称为反对称阵反对称阵. . 对称阵对称阵 反对称阵反对称阵 例：例：设列矩阵设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足满足 X T X = 1，E 为为 n 阶阶单
49、位阵，单位阵，H = E2XXT，试证明，试证明 H 是对称阵，且是对称阵，且 HHT = E. .证明：证明：从而从而 H 是对称阵是对称阵 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的的行列式行列式，记作，记作| |A| |或或detA. .运算性质运算性质证明：证明：要使得要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，有意义，A、B 必为同阶方阵，必为同阶方阵，假设假设 A = (aij)nn，B = (bij)nn . .我们以我们以 n= 3 为例，构造一个为例，构造一个6阶阶行列式行列式令令
50、，则，则 C = (cij)= AB 从而从而 定义：定义：行列式行列式 |A| 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵. .元素元素 的代的代数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列性质性质性质性质证明证明 （设（设A，B 为复矩阵，为复矩阵，l l 为复数，且运算都是可行的）：为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵六、共轭矩阵运算性质运算性质当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭复数，记的共轭复数，记， 称为称为 的的共轭矩阵共轭矩阵. 3 逆矩阵逆矩阵矩阵与复数相仿，有
51、加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵. . 从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以可以用等式用等式 a a1 = 1 来刻划来刻划. 类似地，我们引入类似地，我们引入对于对于 n 阶单位矩
52、阵阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 A，都有，都有定义：定义： n 阶方阵阶方阵 A 称为称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方阵阶方阵 B，使得，使得这里这里 E 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的对于任意的 n 阶方阵阶方阵 A，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 B 是唯是唯一的（如果有的话）一的（如果有的话）.定义：定义： 如果矩阵如果矩阵 B 满足上述等式，那么满足上述等式，那么 B 就称为就称为 A 的的逆矩阵逆矩阵，记作记作 A1 .下面要解决的问题是：下面要解
53、决的问题是：在什么条件下，方阵在什么条件下，方阵 A 是可逆的？是可逆的？如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A1 ？结论：结论： ，其中，其中定理：定理：若若 ，则方阵，则方阵A可逆，而且可逆，而且推论：推论：若若 ，则，则 .元素元素 的代的代数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列例：例：求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.例：例：求求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解：| A | = 1，则则方阵方阵A可逆可逆 此时，称矩阵此时，称矩阵A为为非奇异矩阵非奇异矩阵容易看出：对于容易看出：对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果 那么那么A、B都是可逆矩阵，并且它们
54、互为逆矩阵都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. .定理：定理：若方阵若方阵A可逆，则可逆，则 推论：推论： 如果如果 n 阶方阵阶方阵A、B可逆，那么可逆，那么 、 、 与与AB也可逆，且也可逆，且线性变换线性变换 的系数矩阵是一个的系数矩阵是一个n 阶方阵阶方阵 A ，若记，若记 则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX . . 例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 记记则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX 求变量求变量 y1, y2, y3 到变量到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵
55、 A 的逆矩阵的逆矩阵. 已知已知 ，于是，于是 ，即，即4 矩阵分块法矩阵分块法前言由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵问题二：为什么提出矩阵分
56、块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.分块矩阵的加法若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有则有形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！分块矩阵的数乘若若l l 是数，且是数，且 则有则有形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 A为为m l 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下：按行分块以及按列分块mn 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作若将第 j 列记作
57、则于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，若把 A 按行分块，把 B 按列块，则分块矩阵的转置若 ，则例如：分块矩阵不仅分块矩阵不仅形式上进行转形式上进行转置，置，而且每一个子而且每一个子块也进行转置块也进行转置分块对角矩阵定义：设 A 是 n 阶矩阵，若1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2.其余子块都为零矩阵，3.对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵例如：分块对角矩阵的性质| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，则 | A | 0，并且例例: :设设 ，求，求 A1 解：解：例：例：往证往证 Am n = Om n的充
58、分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ATA = On n 证明：证明：把把 A 按列分块，有按列分块，有于是于是那么那么即即 A = O 第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与线性方程组线性方程组知识点回顾：克拉默法则知识点回顾：克拉默法则结论结论 1 1 如如果线性方程组果线性方程组(1)(1)的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的. .（P. 24定理定理4）结论结论 1如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零. . （P.
59、24定理定理4 ）设设用克拉默法则解线性方程组的两个条件：用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) (1) 方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数； (2) (2) 系数行列式不等于零系数行列式不等于零. . 线性方程组的线性方程组的解受哪些因素解受哪些因素的影响？的影响？1 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、初等变换的概念一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用四、初等变换的应用引例：引例：求解线性方程组求解线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换223 2532 取取 x3
60、为自由变量，则为自由变量，则 令令 x3 = c ，则，则 恒等式恒等式三种变换：三种变换： 交换方程的次序，记作交换方程的次序，记作 ； 以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，记作乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作倍，记作 . . 其逆变换是：其逆变换是：结论：结论：1.由于对原线性方程组施行的变由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解的方程组同解. .2.2.在上述变换过程中，实际上只在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算算，未知
61、数并未参与运算iji k i k jiji k i+k jijik ik j定义：定义：下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：对调两行，记作对调两行，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 . .其逆变换是：其逆变换是：把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，就得到矩阵的，就得到矩阵的初等列变换初等列变换的定的定义义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列
62、变换增广矩增广矩阵阵结论：结论：对原线性方程组施行的变换可以对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换转化为对增广矩阵的变换.2 2 3 25 3 2B5 对应方程组为对应方程组为 令令 x3 = c ，则，则 备注备注带有运算符的矩阵运算，用带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如：例如：矩阵加法矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置矩阵的转置 T（上标）（上标）方阵的行列式方阵的行列式|不带运算符的矩阵运算，用不带运算符的矩阵运算，用“”例如：例如：初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换行等价行等价，记
63、作，记作 列等价列等价，记作，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换有限次初等变换矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ，则，则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下可画出一条阶梯线，线的下方全为零；方全为零；2.每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为
64、1;5.这些非零元所在的列的其它这些非零元所在的列的其它元素都为零元素都为零.行最简形矩阵行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它这些非零元所在的列的其它元素都为零元素都为零.标准形矩阵标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零它元素全为零.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 任何矩阵任何矩阵行
65、最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换 定义：定义：由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵. .(1)(1)对调单位阵的两行（列）；对调单位阵的两行（列）；(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵的某一乘单位阵的某一 行（列）；行（列）；(3)(3)以以 k 乘单位阵单位阵的某一乘单位阵单位阵的某一 行
66、（列）加到另一行（列）加到另一 行（列）行（列） 三、初等变换与矩阵乘法的关系三、初等变换与矩阵乘法的关系(1) (1) 对调单位阵的第对调单位阵的第 i, j 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3, 5)记作记作 Em( i, j )(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵第乘单位阵第 i 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3(5) 记作记作 Em(i(k) (3)(3)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 j 行行加到加到第第 i 行行, ,记作记作 E5(35(k) 记作记作 Em(ij(k) 以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 i 列列加到加到第第 j 列列 ?两种理解！两种理解！结论结
67、论把矩阵把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行对调，即行对调，即 . .把矩阵把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列对调，即列对调，即 . .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 行，即行，即 . .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 列，即列，即 . .把矩阵把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 . .把矩阵把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 . .性质性质1 设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左边的左边乘以相应
68、的乘以相应的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵. .口诀：左行右列口诀：左行右列. .初等变换初等变换 初等变换的逆变换初等变换的逆变换 初等矩阵初等矩阵 ?因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB = E，那么，那么A、B都都是是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般地， 因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB = E，那么，那么A、B都都是是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵可逆矩阵，并且它们互
69、为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般地， ?因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB = E，那么，那么A、B都都是是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般地， ?初等变换初等变换 初等变换的逆变换初等变换的逆变换 初等矩阵初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：初等矩阵的逆矩阵是：?性质性质2 方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使，使 A = P1 P2 , Pl 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. .
70、其实，可逆矩阵的其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵行最简形矩阵也是单位阵推论推论1 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 . .推论推论2 方阵方阵 A 与与 B 等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q ，使，使 PAQ = B . .四、初等变换的应用四、初等变换的应用 解解例例即即初等行变换初等行变换例例解解列变换列变换行变换行变换2 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得
71、的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个概念辨析：概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子块阶子块矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵
72、的秩等于零矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也阶子式也等于零等于零 定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)l根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示
73、阶子式来表示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零阶子式也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等阶的子式（如果存在的话）也都等于零于零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A
74、中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式AT 的
75、子式与的子式与 A 的子式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此行，因此其其 4 阶子式全为零阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式 ，因此，因此 R(
76、B) = 3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？例：例：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数二、矩阵的秩的计算例：例：求矩阵求矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式共有阶子式共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数
77、较高时，按定义求秩是很麻烦的 . .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. .一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 证明思路：证明思路：1.证明证明 A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则 R(A)R(B) 2. B 也可经由一次初等行变换变为也可经由一次初等行变换变为 A，则，则 R(B)R(A)，于，于是是 R(A) = R(B) 3.经过一次初等行
78、变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变行变换的矩阵的秩仍然不变4.设设 A 经过经过初等列变换初等列变换变为变为 B，则则 AT 经过经过初等行变换初等行变换变为变为 BT ，从而，从而 R(AT) = R(BT) 又又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此，因此 R(A) = R(B) 第第 1 步：步： A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则R(A)R(B) 证明：证明：设设 R(A) = r ，且，且 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D 0 n当当 或或 时，时，在在 B
79、中总能找到与中总能找到与 D 相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 由于由于D1 = D 或或 D1 = D 或或 D1 = kD，因此，因此 D1 0 ，从而，从而 R(B) r n当当 时，只需考虑时，只需考虑 这一特殊情形这一特殊情形第第 1 步：步： A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则R(A)R(B) 证明（续）：证明（续）：分两种情形讨论：分两种情形讨论：(1) D 中不包含中不包含 r1 中的元素中的元素 这时这时 D 也是也是 B 的的 r 阶非零子式，故阶非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含中包含 r1 中的元素中的元素这时这时 B 中与
80、中与 D 相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 为为若若p = 2，则，则 D2 = 0，D = D1 0 ，从而，从而 R(B) r ；若若p2，则，则 D1kD2 = D 0 ，因为这个等式对任意非零常数因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，都成立，所以所以 D1、D2 不同时等于零，不同时等于零，于是于是 B 中存在中存在 r 阶非零子式阶非零子式 D1 或或 D2，从而从而 R(B) r ，即即R(A)R(B) 定理：定理：若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成
81、行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩该矩阵的秩例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的的一个一个最高阶非零子式最高阶非零子式解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四
82、列R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可的行阶梯形矩阵，因此可从从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩及矩阵阵B = (A, b) 的秩的秩解：解：R(A) = 2R(B) = 3矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n)
83、R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，则，则 R(A)R(B)n 例：例：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵， 证明证明 R(AE)R(AE)n 证明：证明：因为因为 (AE) (EA) = 2E，由性质由性质“R(AB)R(A)R(B) ”有有R
84、(AE)R(EA)R(2E) = n 又因为又因为R(EA) = R(AE)，所以，所以R(AE)R(AE)n 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 解：解：因为因为 R(A) = n， 所以所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，设设 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P ，满足，满足 于是于是因为因为 R(C) = R(PC)，而，而 ，故，故R(B) = R(C) 例：例：若若 Amn Bnl = C，且，且 R(A) = n，则，则R(B) = R(C) 附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它
85、的列数时，这样的矩阵称为列满秩列满秩矩阵矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵阵，也就是可逆矩阵因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为为方阵时，就是性质为为方阵时，就是性质 n本题中，当本题中，当 C = O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB = O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B = O 3 线性方程组的解线性方程组的解一、线性方程组的表达式1.一般形式3. 向量方程的形式方程组可简化为 AX = b 2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式二、线性方程组的解的判定设有 n 个
86、未知数 m 个方程的线性方程组定义：定义：线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一不一定相等！定相等！定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A
87、, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即R(A) R(A, b) 无解；无解；R(A) = R(A, b) = n 唯一解；唯一解；R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解那么那么无解无解 R(A) R(A, b) ；唯一解唯一解 R(A) = R(A, b) = n ；无穷多解无穷多解 R(A) = R(A, b) n 证明：证明：设设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为第一步
88、：第一步：往证往证 R(A) R(A, b) 无解无解若若 R(A) R(A, b) ，即，即 R(A, b) = R(A)1，则，则 dr+1 = 1 于是于是 第第 r +1 行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解R(A) R(A, b) R(A)1 前前 r 列列 后后 n - r 列列 前前 n 列列前前 r 列列第二步：第二步：往证往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解唯一解若若 R(A) = R(A, b) = n，故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解后后 n - r 列列 则则 dr+1 = 0 且且 r = n，对应
89、的线性方程组为对应的线性方程组为 从而从而 bij 都不出现都不出现. .第三步：第三步：往证往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解无穷多解若若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为对应的线性方程组为前前 r 列列 则则 dr+1 = 0 . .后后 n - r 列列 即即 r n ， 令令 xr+1, , xn 作自由变量，则作自由变量，则 再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则 线性方程组线性方程组的通解的通解例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线
90、性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解解（续）：解（续）：即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 例：例：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解例：例：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，
91、于是必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况例：例：设有线性方程组设有线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的
92、充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l +1， l l +3 等因等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l +1 = 0（或（或 l l +3 = 0）的）的情况另作讨论情况另作讨论 分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2 、r3 是非
93、零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l ，要使这，要使这 5 个元素等个元素等于零，于零， l l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手方程组有唯一解入手于是于是当当 l l 0 且且 l l 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩
94、阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 l l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解，方程组无解当当 l l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解为定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b)
95、 = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：分析：因为对于因为对于 AX = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A) n 定理：定理：线性方程组线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条
96、件是 R(A) = R(A, B) 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 证明：证明：设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵， B 是是 ml 矩阵，矩阵， X 是是 nl 矩阵矩阵. .把把 X 和和 B 按列分块，记作按列分块，记作X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl )则则即矩阵方程即矩阵方程 AX = B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi )设设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，则，则
97、有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再设再设从而从而 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi = bi 有解有解 R(A) = R( A, bi ) 的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A) = R(A, B) 定理：定理：矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) 定理：定理：设设 AB = C ，则，则 R(C) minR(A), R(B) 证明：证明：因为因为 AB = C ，所以矩阵方程，所以矩阵方程 AX = C 有解
98、有解 X = B，于是于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故，故 R(C) R(A) 又又 (AB)T = CT，即，即 BTAT = CT，所以矩阵方程，所以矩阵方程 BTX = CT 有解有解 X = AT ，同理可得，同理可得，R(C) R(B) 综上所述，可知综上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) 非齐次线性方程组非齐次线性方程组无解无解否否是是无限多个解无限多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A) 个自由变量个自由变量的通解的通解第四章向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义：n 个有次序的数 a1, a2, ,
99、 an 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量p分量全为实数的向量称为实向量p分量全为复数的向量称为复向量备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示定义：定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组向量组当当R(A) n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax =
100、0 的全体解组成的向的全体解组成的向量组含有无穷多个向量量组含有无穷多个向量结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1, k2, , km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一组，如果存在一组
101、实数实数 l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称的线性组合，这时称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示的线性表示例：例：设设那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量回顾：线性方程组的表达式1.一般形式3. 向量方程的形式2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形
102、式方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：定义：定义：设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称线性表示，则称向向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量
103、组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量向量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵若若 Cmn = Aml Bln ，即，即则则结论：结论：矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵若若 Cmn = Aml Bln ，即，即则则结论：结论：矩阵矩阵 C 的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵 B
104、 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C = AB ，那么p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）p矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）A 经过有限次初等经过有限次初等列列变换变成变换变成 B存在有限个初等矩阵存在有限个初等
105、矩阵P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 AP = B矩阵矩阵 B 的列向量组的列向量组与矩阵与矩阵 A 的列向量组的列向量组等价等价矩阵矩阵 B 的行向量组的行向量组与矩阵与矩阵 A 的行向量组的行向量组等价等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列. .把把 P 看成看成是是线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有
106、解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(B) R(A) （P.85 定理定理3）推论：推论：向量组向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等价的充分等价的充分必要条件是必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)证明：证明：向量组向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因为因为 R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B
107、)例：例：设设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式线性表示，并求出表示式解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 因为因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵
108、矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：（注意到：R(A, E) = n 一定成立）一定成立）小结向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解向量组向量组 B 能能由向量组由向量组 A线性表示线性表示矩阵方程组矩阵方程
109、组AX = B 有解有解向量组向量组 A 与与向量组向量组 B等价等价知识结构图知识结构图n维向量维向量向量组向量组向量组与矩阵的对应向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价判定定理及必要条件判定定理及必要条件判定定理判定定理2 向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1, a2, ,
110、am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示引言问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由向量组，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？线性表示？问题问题1：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0
111、是否存在解？是否存在解？回答：回答：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解一定存在解事实上，可令事实上，可令k1 = k2 = = km =0 ，则，则k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）问题问题2：如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？是否不全为零？问题问题2：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零不一定全等于零例：
112、例：设设若若则则 k1 = k2 = k3 =0 向量组的线性相关性定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ，如果存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的向量组向量组A：a1, a2, , am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解R(A) m备注：备注：p给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一一p向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指线
113、性相关，通常是指 m 2 的情形的情形. .p若向量组只包含一个向量：当若向量组只包含一个向量：当 a 是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当 a 不是不是零向量零向量时，线性无关时，线性无关p向量组向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1, a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线何意义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三
114、个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性相关性的判定
115、（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组
116、A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示例：例：试讨论试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组
117、a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关线性无关例：例：已知向量组已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解题思路：解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题例：例：已知向量组已知向量
118、组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法1：转化为齐次线性方程组的问题转化为齐次线性方程组的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 设设 Bx = 0 ，则，则(AK)x = A(Kx) = 0 因为向量组因为向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只有零解只有零解 x = 0 ，从而向量组从而向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关例：例：已知向量组已知
119、向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法2：转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 因为因为|K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量组又向量组 a1, a2, a3 线性无关，线性无关， R(A) = 3，从而从而R(B) = 3，向量组，向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关定理（定理（P.89定理定理5） l若向量组若向量组 A ：a1, a2, , am
120、 线性相关，线性相关， 则向量组则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 A 也线性无关也线性无关lm 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时，一定线性相关时，一定线性相关特别地，特别地， n + 1个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关l设向量组设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无关，线性无关， 而向量组而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关，则向量线性相关，则向
121、量 b 必能由向量组必能由向量组 A 线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的3 向量组的秩矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A的列向量组线性表示的列向量组线性表示课本课本P. 88定理定理4：向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩小于小于向量的个数向量的个数 m ；向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关
122、线性无关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩等于等于向量的个数向量的个数 m n元线性方程组元线性方程组 Ax = b其中其中 A 是是 nm 矩阵矩阵矩阵矩阵 (A, b)向量组向量组 A: a1, a2, ,an 及及向量向量 b是否存在解？是否存在解？R(A) = R(A, b) 成立？成立？向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A线线性表示？性表示？无解无解R(A) R(A, b) NO有解有解R(A) = R(A, b) YESx 的分量是线性组合的系数的分量是线性组合的系数唯一解唯一解R(A) = R(A, b) = 未知数个数未知数
123、个数表达式唯一表达式唯一无穷解无穷解R(A) = R(A, b) 未知数个数未知数个数表达式不唯一表达式不唯一回顾：矩阵的秩定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式规定：零矩阵的秩等于零定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为
124、矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)结论：结论： 矩阵的秩矩阵的秩= 矩阵中最高阶非零子式的阶数矩阵中最高阶非零子式的阶数= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA 例：例：求矩阵求矩阵
125、 的秩，并求的秩，并求 A 的一的一个个最高阶非零子式最高阶非零子式第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非
126、零子式结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的是唯一的事实上，事实上，n根据根据 R(A0) = 3 可知：可知： A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一的列向量组的一个线性无关的部分组个线性无关的部分组n在矩阵在矩阵 A 任取任取 4 个列向量，根据个列向量，根据 R(A) = 3 可知：可知：A中所有中所有4 阶子式阶子式都等于零，从而这都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这，即这 4 个个列向量线性相关列向量线性相关nA0的的 3 个列向量
127、就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组的列向量组的一个最大线性无关组n矩阵矩阵 A 的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于 3n同理可证，矩阵同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于 3矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它
128、的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）n今后，向量组今后，向量组 a1, a2, , am 的秩也记作的秩也记作 R(a1, a2, , am ) n若若Dr 是矩阵是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量组的一个最大无关组向量组的一个最大无关组n向量组
129、的最大无关组一般是不唯一的向量组的最大无关组一般是不唯一的例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关，线性无关，同时，同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，线性相关，从而从而 a1, a2 是向量组是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组的一个最大无关组事实上，事实上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大无关组也是最大无关组最大无关组的等价定义结论：向量组
130、 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解
131、有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价最大无关组的意义结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的l用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表l凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去例：例： 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求，求 Rn 的一个最大的一个最大无关组及无关组及 Rn 的秩的秩解：解： n 阶单位矩阵阶单位矩阵 的的列向列向量组
132、是量组是 Rn 的一个最大无关组，的一个最大无关组，Rn 的秩等于的秩等于n 思考：思考：上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的的一个最大无关组吗？一个最大无关组吗？例：例：设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的通解是的通解是试求全体解向量构成的向量组试求全体解向量构成的向量组 S 的秩的秩例：例：求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一的一个个最高阶非零子式最高阶非零子式例：例：设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示第二步求第
133、二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式A0的的 3 个列向量就是矩阵个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大
134、无关组的列向量组的一个最大无关组思考：思考：如何把如何把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合？的线性组合？思路思路1：利用利用P.83 定理定理1 的结论的结论思路思路2：利用矩阵利用矩阵 A 的的行最简形矩阵行最简形矩阵向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解 令令 A0 = (a1, a2, a4)求解求解 A0x = a3 A0x = a5解（续）：解（续）：为把为把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵的线性组合，把矩阵 A 再变成再变成行最简形矩阵行最简形矩阵于是于是 Ax
135、 = 0 与与 Bx = 0 ，即，即x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解同解即矩阵即矩阵 A 的的列向量组列向量组与矩阵与矩阵 B 的的列向量组列向量组有相同的线性关系有相同的线性关系. .可以看出：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a44 线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定1.包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A
136、) n 2.包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且p当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；p当R(A) = R(A, b) 0x, x = x12 + x22 + + xn2 0411x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x =
137、 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，则，则若令若令 x = (x1, x2, x3)T，则，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 向量的长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0齐次性： | l x | = | l |
138、| x | 向量的长度定义：令称 | x | 为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质：非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x 0（零向量） 时， | x | 0齐次性： | l x | = | l | | x |三角不等式： | x + y | | x | + | y |xyx + yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |当 x 0 且 y 0 时，定义：当 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x, y =
139、0，称向量 x 和 y 正交结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交xy定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1
140、 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，则，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2
141、 + x3 = 0得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1, e2, , er 两两正交；两两正交；e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不
142、是规范正交基设设 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题： 向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1, e2, , er求规范正交基的方法第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量
143、空间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过程设 a1, a2, , ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即 b1, b2, , br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1, e2, , er
144、是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取例：例：设设 ，试用施密特正，试用施密特正交化交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，则，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 =
145、 x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1 = AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交
146、基 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .因为因为ATA = E 与与AAT = E 等价，所以等价，所以定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A
147、为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或1若若 A
148、 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l (AB) = (lA)B =
149、 A(lB)Ax = l x ? 例：一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量.一、基本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量）齐次线性方程组有非零解
150、系数行列式 | AlE | = 0特征方程特征方程特征多项式特征多项式特征方程 | AlE | = 0特征多项式| AlE |二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l1 = 2 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应
151、满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 2，l l2 = 4 当当 l l2 = 4 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1 = 1，l l2 = l l3 = 2 例：例：求矩阵求矩阵
152、 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1 = 1 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A + E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2 = l l3 = 2 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A2E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算
153、）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1) l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值
154、，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 二、基本性质在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组若
155、l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值， p 是对应的特征向量令是对应的特征向量令则则定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值
156、，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1, l l2, , l lm 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2， 证明证明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量3 相似矩阵相似矩阵定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP = B ，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似对 A 进行运算
157、P 1AP 称为对 A 进行相似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B
158、 的多项式 j (B) 相似证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk .设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j (B) .定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, , ln )，则l1, l2, , ln 就是 L 的 n
159、个特征值证明：故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 个特征值定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi =
160、 l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似和对角阵相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l l
161、m 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关 （P.120定理定理2）可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?(Al li E) pi = 0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2,
162、 , l lm 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量（P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化（P.118例例6
163、）定理：定理：设设 l l1, l l2, , l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 l l1, l l2, , l lm 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关（P.120定理定理2）定理：定理：设设 l l1 和和 l l2 是是对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是对应的特是对应的特征向量，如果征向量，如果 l l1 l l2 ，则，则 p1, p2 正交正交（P.124定理定理6）证明：证明： A p1= l l1 p1， A p2= l l
164、2 2 p2 ， l l1 l l2 l l1 p1T = (l l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵）是对称阵）l l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l l2 2 p2 ) = l l2 p1T p2 (l l1 l l2) p1T p2 = 0因为因为l l1 l l2 ，则，则 p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的
165、对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理： n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角
166、阵相似（即和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分能对角化）的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （P.123定理定理4）推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相似和对角阵相似说明：当说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，则重根，则矩阵矩阵 A lElE 的秩等于的秩等于 n k
167、，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l l 对应对应例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP = L L对角对角阵阵. .解：解：因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 2， l l2 = l l3 = 1 当当 l l1 = 2 时，时， 解方程组解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2 = l l3 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得，得 令令 ，则，则 . 问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对
168、吗？p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .显然，必有显然，必有x x1x x2 ， x x1x x3 ，但，但x x2x x3 未必成立未必成立于是把于是把 x x2, x x3 正交化：正交化：此时此时x x1h h2 ， x x1h h3 ，h h2h h3 单位化：单位化：p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .p当当 l l1 = 2时，对应的特征向量为时
169、，对应的特征向量为 ；p当当 l l2 = l l3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1, p2, p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：1.求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 l l1, l l2, , l ls ，它们的重，它们的重数依次为数依次为k1, k2, , ks （k1 + k2 + + ks = n）2.对每个对每个 ki 重特征值重特征值 l li ，求方程组，求方程组 | Al li E | = 0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征
170、向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1 + k2 + + ks = n ，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量1.这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP = L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应. .例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法定理：若 n 阶矩阵 A
171、和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似，则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O（零矩阵）.例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l l1 = 1， l l2 =
172、 3下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l l1 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 l l2 = 3 时，时， 解方程组解方程组 (A3E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，即 若若 ，则，则 于是于是 ，即，即5 二次型及其标准形二次型及其标准形对应对应 投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 对应对应 以原点为中心逆时针以原点为中心逆
173、时针旋转旋转j j 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 解析几何中，二次曲线的一般形式ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义：含有 n 个变量 x1, x2, , xn 的二次齐次函数称为二次型令令 aij = aji，则，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是，于是对称阵对称阵对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对
174、于二次型，寻找可逆的线性变换对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义：定义：只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三个数中取值三个数中取值,即即 f = k1 y12 + + kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围说明：这里只讨论实二次型，所求线
175、性变换也限于实数范围.简记为简记为 x = C y ，于是于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP = B ，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定义定义7）定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC = B ，则称矩阵则称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9） 显然，显然，pBT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若即若 A
176、 为对称阵，则为对称阵，则 B 也为对称阵也为对称阵pR(B) = R(A) 经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即变为标准形，即问题：问题：对于对称阵对于对称阵 A，寻找可逆矩阵，寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交
177、矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在正交变换正交变换 x = P y ，使，使 f 化为化为标准形标准形 f (P y) = l l1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2 其中其中 l l1 , l l2 , ,
178、l ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (Cz) 为为规范形规范形推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (C z) 为规范形为规范形证明：证明：f (P y) = l l1 y12 + l l2 y22 + + l ln yn2若若R(A) = r，不妨设，不妨设 l l1, l l2, , l lr 不等于零，不等于
179、零， l lr+1 = = l ln =0,令令则则 K 可逆，变换可逆，变换 y = Kz 把把 f (P y) 化为化为f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTKz其中其中例：例：求一个正交变换求一个正交变换 x = P y ，把二次型，把二次型f = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3化为标准形化为标准形解：解：二次型的矩阵二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形把二次型化为标准形f = 2y12 + y22 + y32如果要把如果要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f = z12 + z22 + z32
