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1、第四第四节垂直关系垂直关系考考纲点点击1.1.以立体几何的定以立体几何的定义、公理和定理、公理和定理为出出发点，点，认识和理解空和理解空间中中线面垂直的有面垂直的有关性关性质与判定定理与判定定理. .2.2.能运用公理、定理和已能运用公理、定理和已获得的得的结论证明一些空明一些空间图形的垂直关系的形的垂直关系的简单命命题. .热点点提提示示1.1.以以选择、填空的形式，考、填空的形式，考查线面垂直面垂直的判定定理和性的判定定理和性质定理定理. .2.2.解答解答题中，考中，考查线面垂直关系及面垂直关系及逻辑推理能力推理能力. .3.3.通通过考考查线面角及二面角，考面角及二面角，考查空空间想像
2、能力及想像能力及计算能力，常以解答算能力，常以解答题的形的形式出式出现. .1 1直直线与平面垂直与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 2 2二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角任意一条任意一条相交相交平行平行两个半平面两个半平面(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角3 3平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定义
3、：如果两个平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内 的直线与另一个平面垂直垂直于棱垂直于棱直二面角直二面角垂垂线垂直于交垂直于交线4 4直直线和平面所成的角和平面所成的角平面的一条斜线和 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 .它在平面上的射影它在平面上的射影9090和和001设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解
4、析解析】当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.【答案答案】A2(2008年三亚模拟)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A有且只有一个 B至多有一个C有无数多个 D一定不存在【解析解析】当a与b垂直时，有且只有一个当a与b不垂直时，不存在至多有一个【答案答案】B3设平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b()A可能垂直，不可能平行 B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行 D不可能垂直，也不可能平行【解析解析】当al，bl时，ab.假设ab，如图：过a上一点作cl，则c.bc.b.bl，与已知矛盾【答案答案】B4三棱锥P
5、ABC的顶点P在底面的射影为O，若PAPBPC，则点O为ABC的_心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的_心【解析解析】当PAPBPC时，OAOBOC，O为外心当PA、PB、PC两两垂直时，AOBC，BOAC，COAB.O为垂心【答案答案】外垂5m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是_m，n，mn.mn，mn.mn，mn.m，mn，n.【答案答案】如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45，求证：MN平面PCD.PA平面ABCD，PDA=45，PAD为等腰直角三角形，AEPD.又CDAD，CDPA，CD
6、平面PAD，而AE平面PAD，CDAE.又CDPD=D，AE平面PCD.MN平面PCD.【方法点方法点评】证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直 1如图，已知PA垂直O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A作AEPC于E.求证：AE平面PBC.【证明明】PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAAC=A，BC平面PAC.又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面P
7、BC.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点(1)求证：BC1平面CA1D；(2)求证：平面CA1D平面AA1B1B.【自主探究自主探究】(1)连接AC1交A1C于E，连接DE，AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点又D是AB的中点，在ABC1中，DEBC1.又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.(2)AC=BC，D为AB的中点，在ABC中，ABCD.又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD.又AA1ABA，CD平面AA1B1B.又CD平面CA1D，平面CA1D平面AA1B1B.【方法点方法点评】证明面面垂直的主要方法是：利用判定定理在审题
8、时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面2如图所示，已知ABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PAPBPC.求证：平面PAC平面ABC.【证明明】取AC的中点O，连接PO，OB，AOOC，PAPC，POOA.又ABC90，OBOA.又PBPA，POPO，POBPOA，POOB，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.【思路点思路点拨】(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一
9、定直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离【方法点方法点评】当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等3如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论【解析解析】(1)证明：如图取AD的中点G，连结PG，BG，BD.PAD为等边三角形，PGAD，又平面PAD平面AB
10、CD，PG平面ABCD.在ABD中，A=60，AD=AB，ABD为等边三角形，BGAD，AD平面PBG，ADPB.(2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，在PGC中作HFPG，交PC于F点，连结DF，FH平面ABCD，平面DHF平面ABCD.H是CG的中点，F是PC的中点，在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.1(2009年山东高考)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析解析】由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面、垂直时，内的直线m只有在垂直于两平面的
11、交线时才垂直于另一个平面，为必要不充分条件，故选B.【答案答案】B2(2009年四川高考)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是()APBAD B平面PAB平面PBCC直线BC平面PAE D直线PD与平面ABC所成的角为45【解析解析】PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，排除A.又BDAB，BDPA，BD面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.对于C选项，BDAE，BD面PAE，BC与面PAE不平行，排除C.又PD与面ABC所成角为PDA，AD2ABPA，PDA45，故选D【答案答案】D3(2009年浙江高考)如图，在长方形AB
12、CD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_【解析解析】如图，过D作DGAF，垂足为G，连接GK，平面ABD平面ABC，又DKAB，DK平面ABC，DKAF，AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点所以t的取值范围是 【答案答案】4(2009年宁夏海南高考)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC
13、，求二面角P-AC-D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由【解析解析】(1)连结BD，设AC交BD于O，由题意知SOAC.在正方形ABCD中，ACBD，所以AC平面SBD，又SD平面SBD，所以ACSD.(2)设正方形的边长a，则SD= .又OD= ，所以SDO=60.连结OP，由(1)知AC平面SBD，所以ACOP，且ACOD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角由SD平面PAC知SDOP，所以POD=30，即二面角P-AC-D的大小为30.(3)在棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.由(2)可得PD=
14、 ，故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连结BN.在BDN中，由分析可知BNPO.又由于NEPC，故平面BEN平面PAC，得BE平面PAC，由于SNNP=21，故SEEC=21.1直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面垂直、平面和平面的交角为90的角讨论，又可以从线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证2在直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定中，有些重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性3利用线面垂直、面面
15、垂直的判定、性质定理进行线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是本章的重要思想方法如在证明两平面垂直时，一般先从现有直线寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直4空间中的垂直关系是高考重点考查的内容，是本章问题的“心脏”一般来说，在线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化中，线线垂直最基本，在转化过程中穿针引线；线面垂直是枢纽，将线线垂直和面面垂直联系起来5注意平行与垂直的相互转化关系：若a，b，则ab；若a，a，则.课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接
