凝聚态物理课件第六章维度性

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1、第六章第六章 维度性维度性2007.5.31实际的物理系统都以空间三维立体结构实际的物理系统都以空间三维立体结构的方式存在的方式存在如果一个方向上的粒子耦合比其它两个如果一个方向上的粒子耦合比其它两个方向上的粒子耦合弱很多方向上的粒子耦合弱很多二维面系统二维面系统或准二维薄板系统或准二维薄板系统( (实际上此时体系的的许多性质将表现为实际上此时体系的的许多性质将表现为二维性，如电子态此时主要在平面内展二维性，如电子态此时主要在平面内展开，而在垂直面的方向分布较少。开，而在垂直面的方向分布较少。) )如果二个方向上的粒子耦合比其它一个方如果二个方向上的粒子耦合比其它一个方向上的粒子耦合弱很多向上

2、的粒子耦合弱很多一维线或准一维一维线或准一维棒系统棒系统 .由于其特殊不对称的晶体结构由于其特殊不对称的晶体结构,因而许多种因而许多种此类材料会随温度的变化展现出各式各样此类材料会随温度的变化展现出各式各样有趣的相变有趣的相变(phase transition)现象现象.如如:CDW(charge-density wave);SDW(spin-density wave);Spin-Peierls phase transition;Order-disorder;magnetic transition; superconducting transitions; etc.当此类材料发生相变后当此类材

3、料发生相变后,材料的物理性质材料的物理性质会发生巨大的改变会发生巨大的改变,故人们可以利用材料故人们可以利用材料的物性的改变的物性的改变,设计出各种功能的元件应设计出各种功能的元件应用于不同的装置中用于不同的装置中.如如:superconducting transition 可用于电可用于电力载送力载送,magenetic transition 可用于资料可用于资料存储存储.三个方向同时退化三个方向同时退化00D D或准或准0 0D D团簇系统团簇系统低维系统低维系统: :空间维数低于空间维数低于3 3的整数系统的整数系统, ,即即2 2D,1D,0DD,1D,0D系统系统. .C605666

4、6655555666666666655555666665Carbon Nanotube纳米齿轮纳米轴承M. Ratner, Nature 397, 480 (1999)Hypothesis (1960s): DNA supports charge transport (due to the p-orbitals )?recent experimental boosts : photoexcited LRET measurement 1D模型（模型（SSH）：）：C. Dekker et al, PRB(2002)Sketch of DNA structureGraphiteDiamond低维电

5、子系统低维电子系统, ,德布罗意波长德布罗意波长, ,为一特征长度为一特征长度, ,微观描述中微观描述中, ,该尺度下该尺度下, ,量量子尺寸效应将显露出来子尺寸效应将显露出来介观的界定介观的界定在空间尺寸上介于宏观和微观之间在空间尺寸上介于宏观和微观之间( (这种这种说法有点笼统说法有点笼统) ). .介观系统介观系统: :电子行为的主要特征是电子通电子行为的主要特征是电子通过样品之后仍能保持自身波函数的相位过样品之后仍能保持自身波函数的相位相干性相干性. .微观尺寸范围的系统里微观尺寸范围的系统里, ,如如0.1nm左右尺左右尺度的一个原子或一个小分子度的一个原子或一个小分子, ,所有的能

6、级所有的能级都是分立的都是分立的, , 因而系统的物理性质主要因而系统的物理性质主要由量子行为控制由量子行为控制. .宏观尺度宏观尺度(1nm),),通常经典的或半经典的通常经典的或半经典的处理方法是适用的处理方法是适用的. .介观体系的物理行为介于熟悉的宏观半介观体系的物理行为介于熟悉的宏观半经典图象和原子或分子的描述方法之间经典图象和原子或分子的描述方法之间. .0.1100nm量级的小系统泛称为量级的小系统泛称为纳米系统纳米系统，当然三维的任何一个或几个维度尺寸缩小当然三维的任何一个或几个维度尺寸缩小到该区域都应称为纳米系统。纳米系统的到该区域都应称为纳米系统。纳米系统的重要性在于，与同

7、组分的宏观或通常凝聚重要性在于，与同组分的宏观或通常凝聚态材料相比，其物理和化学性质发生了突态材料相比，其物理和化学性质发生了突变。例如系统的电子在三个方向均受到约变。例如系统的电子在三个方向均受到约束，但不同于固体中的定域态。束，但不同于固体中的定域态。 量子尺寸效应量子尺寸效应准连续能带消失，分离能级出现准连续能带消失，分离能级出现 在量子点或量子阱系统中，当它们的宽在量子点或量子阱系统中，当它们的宽度小到一定程度时，它们的量子性，即度小到一定程度时，它们的量子性，即系统中的能级是离散的、分立的，才能系统中的能级是离散的、分立的，才能在实际上明显地反映出来。当它们的尺在实际上明显地反映出来

8、。当它们的尺度与激子玻尔半径相近时（度与激子玻尔半径相近时（1.6aB, aB: 块状材料中激子玻尔半径），系统块状材料中激子玻尔半径），系统形成一系列离散量子能级，电子在其中形成一系列离散量子能级，电子在其中的运动受到约束的运动受到约束 量子尺寸效应量子尺寸效应通过控制材料的各个维数上的限制，从通过控制材料的各个维数上的限制，从而可达到调节半导体的发光质量是量子而可达到调节半导体的发光质量是量子尺寸效应应用的一个典型的例子。尺寸效应应用的一个典型的例子。 如：在量子阱结构中，被激发的电子空如：在量子阱结构中，被激发的电子空穴对的自由度被限制在穴对的自由度被限制在2D尺度。而在量尺度。而在量子

9、线和量子点中，分别被限制在子线和量子点中，分别被限制在1D和和0D尺度。尺度。介观物理介观物理(Mesoscopic Physics)在物理上把原子尺度的客体叫做微观系统在物理上把原子尺度的客体叫做微观系统. 相对于宏观相对于宏观系统系统, 宏观尺度比微观尺度大了七、八个数量级，按体宏观尺度比微观尺度大了七、八个数量级，按体积论，则大二十四个数量级，或者说，宏观系统中包含积论，则大二十四个数量级，或者说，宏观系统中包含这么多个微观客体（原子、分子），这正是阿伏伽德罗这么多个微观客体（原子、分子），这正是阿伏伽德罗数的数量级。数的数量级。微观系统与宏观系统最重要的区别是它们微观系统与宏观系统最重

10、要的区别是它们服从的物理规律不同。服从的物理规律不同。在微观系统中宏观的规律（如牛在微观系统中宏观的规律（如牛顿定律）不再适用，那里的问题需要用量子力学去处理。顿定律）不再适用，那里的问题需要用量子力学去处理。近年来由于微结构技术的发展，制作长度为微米、线宽近年来由于微结构技术的发展，制作长度为微米、线宽度为几十个纳米的样品已不太困难。在这种尺度的样品度为几十个纳米的样品已不太困难。在这种尺度的样品中包含原子数目的数量级为中包含原子数目的数量级为810，它们基本上应属于，它们基本上应属于宏观范围。然而，一些线状或环状小尺寸样品在低温下宏观范围。然而，一些线状或环状小尺寸样品在低温下的实验结果，

11、却表现出的实验结果，却表现出电子波的量子干涉效应电子波的量子干涉效应。这种呈这种呈现出现出微观特征的宏观系统微观特征的宏观系统，叫做，叫做介观系统介观系统。研究介观系。研究介观系统行为的学科，叫介观物理统行为的学科，叫介观物理 .5.1 5.1 低维凝聚态体系低维凝聚态体系当当三三个个方方向向尺尺寸寸均均进进入入纳纳米米区区域域时时，系系统统呈呈现现出出零零维维度度特特征征。C60及及其其它它团团簇簇体体系系、半半导导体体异异质质结结中中受受外外场场约约束束后后的的电电子子系系统统等等都都可可以以看看作作是是零零维维体体系系。在在这这里里，传传统统固固体体物物理理中中的的对对称称性性、Bloc

12、h定定理理、能能带带论论等等基基本本概概念念需需要要重重新新审审视视。团团簇簇结结构构具具有有五五度度转转动动I5 对对称称性性，这这在在固固体体中中是是不不存存在在的的。Rb3C60具具有有超超导导转转变变温温度度Tc=28K,用用还还原原剂剂TDAE(tetrakisdimethul,amino-ethylene)作作 用用 于于 C60固固 体体 ,可可以以形形成成C60(TDAE)0.86,其其铁铁磁磁临临界界温温度度为为16.1K，这这在在分分子子固固体体中中算算是是很很高高的的。另另外外，C60固固体体的的三三阶阶非非线线性性光光学学系数可高达系数可高达 。5.1.2一维体系一维体

13、系导导电电高高分分子子聚聚合合物物、金金属属卤卤化化物物、KCP、过过渡渡金金属属的的三三硫硫化化合合物物MX3(MNb,Ta,Mo，X=S,Se)和和电电荷荷转转移移有有机机复复合合物物TTF-TCNQ等等是是准准一一维维导导体体。导导电电聚聚合合物物和和金金属属卤卤化化物物后后面面还还会会详详细细讨讨论论。KCP的的分分子子式式为为K2Pt(CN)4Br0.3 3H2O，其其中中的的Pt原原子子形形成成链链状状结结构构。MX3中中的的过过渡渡金金属属原原子子也也形形成成链链状状结结构构。沿沿链链方方向向金金属属原原子子的的距距离离比比较较短短，不不同同链链之之间间金金属属原原子子的的距距离

14、离比比较较大大。在在KCP中中，沿沿链链方方向向dPt-Pt=0.288nm，而而最最近近链链间间距距0.987nm。这这种种准准一一维维结结构构导导致致平平行行于于链链方方向向的的电电导导率率比比垂垂直直于于链链方方向向的的电电导导率率大大4个个数数量量级级。同同样样，在在TaS3，NbSe3，TTF-TCNQ中中，电电导导率率的的各各向向异异性性都很大。都很大。 聚硫氮聚硫氮(SN)x的分子结构的分子结构 当当温温度度降降低低时时，这这些些一一维维导导体体会会发发生生相相变变，出出现现超超晶晶格格和和电电荷荷密密度度波波(CDW)或或自自旋旋密密度度波波(SDW)，很很多多材材料料在在相相

15、变变后后成成为为导导体体(Peierls相相变变)。它它们们的的分分子子式式、相相变变温温度度Tc、超超晶晶格格的的晶晶格格常常数数即即CDW波波长长 、电导率等见表、电导率等见表5.1.1（P116）。）。聚聚合合物物通通常常由由碳碳链链组组成成，电电子子沿沿链链方方向向的的耦耦合合比比垂垂直直于于链链方方向向的的耦耦合合强强得得多多，成成为为准准一一维维体体系系，代代表表材材料料有有聚聚乙乙炔炔、聚聚噻噻吩吩、聚聚苯苯胺胺等等。常常温温下下，它它们们呈呈现现二二聚聚化化结结构构，绝绝缘缘基基态态，但但在在高高温温下下，二二聚聚化化消消失失，发发生生Peierls相相变变。常常温温下下的的聚

16、聚合合物物通通过过掺掺杂杂电电导导率率可可增增加加几几个个甚甚至至十十几几个个数数量量级级，高高达达105( cm)-1，成成为为有有机机导导体体。高高分分子子聚聚合合物物还还具具有有重重要要的的电电致致发发光光性性能能和和潜潜在在的的铁铁磁磁性性能能。以以聚聚对对苯苯乙乙炔炔作作为为发发光光材材料料研研制制的的有有机机发发光光器器件件，其其量量子子发发光光效效率率可可达达4%，亮亮度度可可与与通通常常的的液液晶晶显显示示相相比比。目目前前已已发发现现近近百百种种有有机机高高分分子子材材料料具具有有电电致致发发光光特特性性，发发光光颜颜色色已已覆覆盖盖整整个个可可见见光光谱谱区区。聚聚合合物物

17、m-PDPC(m-polydiphenylcarbene)可可具具有有潜潜在在铁铁磁磁特特性性，来来源源于于每每个个基基团团内内的的局局域域自自旋旋与与 电电子子的的自自旋旋耦耦合合，这这类类材材料料还还有有poly-BIPO,pyro-PAN等等。由由于于不不含含任任何何无无机机金金属属离离子子，其其磁磁性性机机理理及及材材料料合合成成中中均均出出现现很很多新概念和新方法。多新概念和新方法。polyacetyleneCis-polyacetylenepoly(para-phenylene) poly(para-phenylenevinylene) polythiopheneCarbon Na

18、notube(CNT can be metallic or semiconducting and offers amazing possibilities to create future nanoelectronics devices, circuits, and computers. )5.1.3二维体系二维体系 石石墨墨是是一一种种层层状状结结构构，每每一一层层中中的的碳碳原原子子排排成成六六角角型型平平面面晶晶格格，层层与与层层间间的的范范德德瓦瓦尔尔斯斯耦耦合合很很弱弱，可可被被其其它它元元素素或或化化合合物物插插入入，形形成成石石墨墨夹夹层层化化合合物物，每每一一夹夹层层可可看看作

19、作是是一一个个准准二二维维体体系系。AsF5的的石石墨墨夹夹层层化化合合物物的的电电导导率率室室温温下下可可达达到到6.2 105( cm)-1，超超过过了了铜铜。载载流流子子从从迁迁移移率率很很低低的的夹夹层层化化合合物物中中转转移移到到迁迁移移率率很很高高的的邻邻近近石石墨墨层层中中，对对电电导导起起主主要要作作用用的的是是邻邻近近于于夹夹层化合物的石墨层。层化合物的石墨层。TaSe2,Nb(铌铌)Se2,TaS2等等MX2化化合合物物也也是是一一种种层层状状结结构构，两两层层硫硫族族原原子子中中间间夹夹一一层层过过渡渡金金属属原原子子，每每一一层层中中原原子子排排成成六六角角型型晶晶格格

20、，形形成成夹夹心心层层XMX。同同一一夹夹心心层层中中原原子子间间是是共共价价键键，相相邻邻夹夹心心层层之之间间的的耦耦合合很很弱弱，主主要要是是硫硫族族原原子子之之间间的的范范德德瓦瓦尔尔斯斯力力，因因此此每每一一夹夹心心层层是是一一个个准准二二维维系系统统。这这类类层层状状化化合合物物的的重重要要特特性性是是当当温温度度降降低低到到某某个个数数值值T0后后，晶晶体体中中会会出出现现电电荷荷密密度度波波。电电子子的的密密度度出出现现了了新新的的周周期期性性分分布布，同同时时晶格原子也发生微小的畸变而形成超晶格。晶格原子也发生微小的畸变而形成超晶格。 4He和和3He原子量很轻，吸附后有很大的

21、零点原子量很轻，吸附后有很大的零点运动，除了具有一般的气、液、固相外，吸附运动，除了具有一般的气、液、固相外，吸附层薄膜还可以有超流性。当通常薄膜系统的厚层薄膜还可以有超流性。当通常薄膜系统的厚度与电子的德布罗意波长可比较时，会出现量度与电子的德布罗意波长可比较时，会出现量子尺寸效应，在垂直于薄膜方向，电子运动受子尺寸效应，在垂直于薄膜方向，电子运动受到约束，具有量子化分立能级；在外磁场中，到约束，具有量子化分立能级；在外磁场中，如果薄膜厚度可与朗道轨道的半径比较时，会如果薄膜厚度可与朗道轨道的半径比较时，会出现出现“磁量子化磁量子化”，这些量子尺寸效应已在，这些量子尺寸效应已在InSb（锑）

22、和锑）和PbTe（鍗）的光学性质，鍗）的光学性质，Bi（铋）铋）的隧道光谱中观察到。的隧道光谱中观察到。 5.25.2维度的一般特征维度的一般特征5.2.15.2.1布里渊区和费米面布里渊区和费米面反反映映固固体体中中格格点点和和电电子子的的行行为为有有两两个个重重要要的的物物理理量量：布布里里渊渊区区和和费费米米面面。在在倒倒格格矢矢空空间间（或或动动量量空空间间）中中取取一一个个格格点点作作原原点点，向向其其它它格格点点连连线线，作作这这些些连连线线的的垂垂直直平平分分面面，这这些些平平面面就就是是布布里里渊渊区区的的边边界界面面，由由这这些些边边界界面面构构成成的的最最小小的的多多面面体

23、体便便是是第第一一布布里里渊渊区区。电电子子在在晶晶格格周周期期性性势势场场中中运运动动时时，能能量量是是动动量量的的函函数数，在在动动量量空空间间（倒倒格格矢矢空空间间）中中，电电子子将将从从能能量量低低的的状状态态向向高高的的状状态态逐逐一一填填充充，其其最最大大的的电电子子能量便是能量便是费米能费米能EF.二维方格子二维方格子(2(2D)D)布里渊区布里渊区Fermi surface(2D)面心立方格子（面心立方格子（3 3D D）第一第一布里渊区布里渊区Al(FCC)的费米面的费米面Fermi surface of C60 BuckyballT=42K T=23K于是动量空间中费米面满

24、足的方程是，于是动量空间中费米面满足的方程是，将布里渊区的边界与费米面的边界比较一下，将布里渊区的边界与费米面的边界比较一下，见下表见下表, , 可以看出，可以看出，对于二维和三维，平直对于二维和三维，平直的布里渊区边界和弯曲的费米面只能相交或的布里渊区边界和弯曲的费米面只能相交或相切，不能相互重合，但一维时两者有可能相切，不能相互重合，但一维时两者有可能完全重合，这个差别使得一维体系会发生晶完全重合，这个差别使得一维体系会发生晶格扭曲，二、三维则没有。格扭曲，二、三维则没有。 不同维度下的布里渊区和费米面不同维度下的布里渊区和费米面一维一维二维二维三维三维布里渊区布里渊区线段线段多边形多边形

25、多面体多面体费费 米米 面面线段线段曲边形曲边形曲面体曲面体5.2.2状态密度状态密度(Density of States, DOS) 温温度度不不为为绝绝对对零零度度时时，热热运运动动使使体体系系以以一一定定的的几几率率处处于于激激发发态态，其其中中起起主主要要作作用用的的是是低低能能激激发发态态，因因为为它它们们最最容容易易被被激激发发。在在这这些些热热激激发发的的干干扰扰下下，体体系系的的有有序序化化程程度度就就要要降降低低。因因此此，体体系系能能否否保保持持有有序序将将在在很很大大程程度度上上决决定定于于低低能激发态的状态密度能激发态的状态密度 。_ _ 单位能量间隔中的状态数目单位能

26、量间隔中的状态数目低激发态密度愈大低激发态密度愈大, ,则热起则热起伏的干扰愈强伏的干扰愈强! !*各种维度下的态密度各种维度下的态密度设体系的边长为设体系的边长为L L，边界限制条件要求边界限制条件要求动量动量(m=0, 1, 2, 3, ) 相邻两个动量之间的间隔为相邻两个动量之间的间隔为1/1/L L, ,于是在于是在 动量空间中，夹在动量壳层动量空间中，夹在动量壳层 中的状中的状 状态数目是状态数目是 1D2D3D以自由粒子为例讨论态密度与维度的关系以自由粒子为例讨论态密度与维度的关系。例例: :设体系的激发能谱设体系的激发能谱 则则1D2D3D特别地，对自由粒子：特别地，对自由粒子：

27、1D2D3D自由粒子在不同维度下的态密度自由粒子在不同维度下的态密度对于三维对于三维(3(3D)D)体系，低能激发态的体系，低能激发态的状态密度趋向于零，状态密度趋向于零， ，因此在低温下状态数很少，热起伏因此在低温下状态数很少，热起伏很小，可保持有序结构，只有当温很小，可保持有序结构，只有当温度足够高时，热起伏才能破坏有序，度足够高时，热起伏才能破坏有序，于是发生相变。于是发生相变。 对于一维体系，低能激发态的状态对于一维体系，低能激发态的状态密度趋向无限，密度趋向无限， ，无论，无论温度如何低（只要不是绝对零度），温度如何低（只要不是绝对零度），热激发所引起的起伏都很强烈。于热激发所引起的

28、起伏都很强烈。于是在非绝对零度下，一维体系不能是在非绝对零度下，一维体系不能保持有序，因此也没有相变。保持有序，因此也没有相变。 对对于于二二维维体体系系，其其情情况况介介于于一一维维和和三三维维之之间间，状状态态密密度度 保保持持常常数数，总总存存在在着着一一定定的的热热起起伏伏，在在热热力力学学极极限限（体体积积L L2 2）下下，有有序序化化将将被被破破坏坏，于于是是二二维维体体系系（如如果果能能谱谱无无能能隙隙）不不能能在在大大范范围围内内保保持持有有序序，只只能能在在一一定定的的小小范范围围内内有有序序，或或者者说说无无长长程程序序，只只有有短短程程序序。这这使使得得二二维维体体系出

29、现了新的序和相变特征。系出现了新的序和相变特征。5.3 屏蔽势屏蔽势等离子体：等离子体：由所有相同带电的离子组成的由所有相同带电的离子组成的气体。气体。电离可形成等离子体电离可形成等离子体。一般地，在等离子体中引进外加正电一般地，在等离子体中引进外加正电荷时，等离子体中的负电荷被它吸引，荷时，等离子体中的负电荷被它吸引，正电荷被它排斥。于是，该外加正电荷正电荷被它排斥。于是，该外加正电荷在远处产生的电场将受到屏蔽。在远处产生的电场将受到屏蔽。例：溅射，充上氩气，氩气的电子被正极例：溅射，充上氩气，氩气的电子被正极吸引，氩气带正点形成等离子体。正离吸引，氩气带正点形成等离子体。正离子起辉（为保持

30、等离子体状态，必须源子起辉（为保持等离子体状态，必须源源不断地充进氩气）。源不断地充进氩气）。离子源向真空中排放的也是等离子体离子源向真空中排放的也是等离子体。 对于三维等离子体，外加的点电荷将形成球对对于三维等离子体，外加的点电荷将形成球对称的屏蔽电荷，这时，所有的电多极矩均为零，称的屏蔽电荷，这时，所有的电多极矩均为零，远处的屏蔽势为远处的屏蔽势为 其中其中 是是Thomas-Fermi半径，故三维等离子体半径，故三维等离子体中的屏蔽势是短程的。中的屏蔽势是短程的。 对对于于二二维维等等离离子子体体，正正负负电电荷荷分分布布于于一一个个平平面面内内，外外加加的的正正电电荷荷所所引引起起的的

31、屏屏蔽蔽电电荷荷在在平平面面上上呈呈环环状状分分布布，此此种种分分布布的的电电四四极极矩矩不不为为零零，在在远处产生的屏蔽势将是四极矩电势，远处产生的屏蔽势将是四极矩电势， (5.2.8) 它是准长程的。它是准长程的。等离子体的振荡频率等离子体的振荡频率 三维等离子体中，在电荷密度起伏的平面波中，三维等离子体中，在电荷密度起伏的平面波中，其波前是个平面，它在平面外所产生的电场强其波前是个平面，它在平面外所产生的电场强度是一常数，不随距离的增加而减弱。对于长度是一常数，不随距离的增加而减弱。对于长波等离子体振荡，由于上述性质，即使波长波等离子体振荡，由于上述性质，即使波长 ( (即动量即动量 )

32、 )，相邻波峰间的相互作用仍不，相邻波峰间的相互作用仍不能消失，因而三维等离子体中，波长能消失，因而三维等离子体中，波长 的等离子体振荡频率的等离子体振荡频率 并不等于零，于是三并不等于零，于是三维等离子体的能谱维等离子体的能谱 在动量在动量k k=0=0点有一能点有一能隙隙 . . 二二维维等等离离子子体体的的情情况况就就完完全全不不同同，电电荷荷密密度度起起伏伏的的波波前前是是一一条条线线，线线电电荷荷在在远远处处的的电电场场强强度度1/r，它它随随距距离离的的增增加加而而趋趋于于零零。对对于于波波长长 的的等等离离子子体体振振荡荡，相相邻邻波波峰峰间间的的相相互互作作用用将将趋趋于于零零

33、，因因而而其其振振荡荡频频率率 也也等等于于零零，能能谱谱无无能能隙隙。定定量量的的计计算算表表明明，二二维维等等离离子子体体的的色色散散关系为关系为关于序的定义关于序的定义 凝聚态体系的某种规律称之为序凝聚态体系的某种规律称之为序。一个系统有。一个系统有n个性质或力学量，其序性质可为个性质或力学量，其序性质可为m个。个。nm例：分子，在位置和化学性质上可能有序，但如例：分子，在位置和化学性质上可能有序，但如无定向外场，分子在取向上则无规律性无定向外场，分子在取向上则无规律性分分子取向是无序的。子取向是无序的。 晶格点阵，如有两种原子任意占据格点位置，晶格点阵，如有两种原子任意占据格点位置，则

34、原子位置仍是有序的，但原子种类排列是无则原子位置仍是有序的，但原子种类排列是无序的。序的。有序无序类比类比有理数无理数序结构的破坏则意味着相变序结构的破坏则意味着相变物理上通过引入序参量来描述系统的物理上通过引入序参量来描述系统的序行为序行为*几种模型简介几种模型简介考虑一个理想的磁性系统，磁性考虑一个理想的磁性系统，磁性原子位于某个基本周期性格点上，原子位于某个基本周期性格点上，每个磁性原子都具有一个大小固定每个磁性原子都具有一个大小固定的基本磁矩或自旋，它们是先天地的基本磁矩或自旋，它们是先天地指向空间方向中的一个方向。指向空间方向中的一个方向。Ising模型模型 假设原子磁矩可能有假设原

35、子磁矩可能有2 2个指向，不是平行个指向，不是平行于某一固定轴（取它为于某一固定轴（取它为Z Z轴），就是反平轴），就是反平行于此轴。于是，这个模型的微观态可行于此轴。于是，这个模型的微观态可以通过说明每个原子沿以通过说明每个原子沿Z Z轴的磁矩是正还轴的磁矩是正还是负来确定。是负来确定。海森伯（海森伯（Heisenberg）模型模型假定原子磁矩可以指定空间的任何假定原子磁矩可以指定空间的任何方向，而且假定近邻自旋之间的取向力方向，而且假定近邻自旋之间的取向力可由某个能量导出：该能量只取决于二可由某个能量导出：该能量只取决于二个自旋间的夹角，而与磁矩相对空间任个自旋间的夹角，而与磁矩相对空间任

36、一固定轴的取向无关。如果我们把该系一固定轴的取向无关。如果我们把该系统中的每个自旋都绕某个任意方向转动统中的每个自旋都绕某个任意方向转动相同的角度，该模型的能量保持不变，相同的角度，该模型的能量保持不变，我们称这一模型在自旋任意转动下是对我们称这一模型在自旋任意转动下是对称的。称的。XY模型模型一种介于一种介于Heisenberg模型与模型与Ising模型之间的模型。其中磁矩方向仅模型之间的模型。其中磁矩方向仅局限于一个平面（如局限于一个平面（如XY平面）内，平面）内，而且若所有自旋在该平面内转动相而且若所有自旋在该平面内转动相同的角度时，则所取的能量保持不同的角度时，则所取的能量保持不变。变

37、。Ising、 XY、 Heisenberg模模型具有序参量，这些序参量分别型具有序参量，这些序参量分别为为1D矢量、矢量、2D矢量和矢量和3D矢量矢量。铁磁体铁磁体XY模型的序模型的序 磁磁性性系系统统中中，局局域域自自旋旋之之间间的的相相互互作作用用由由海海森森堡堡模模型型来来描描述述，磁磁性性系系统统中中，局局域域自自旋旋之之间间的的相互作用由海森堡模型来描述，相互作用由海森堡模型来描述， 其其中中是是格格点点i上上的的局局域域自自旋旋算算符符，( (i,j) )为为对对最最近近邻邻格格点点求求和和。对对于于二二电电子子体体系系，考考虑虑到到波波函函数数的的交交换换反反对对称称性性，可可

38、以以推推出出海海森森堡堡模模型型，并并发发现现交交换换积积分分 ( (正正方方格格子子中中可可取取为为常常数数) )依依赖赖于于电电子子- -电电子子相相互互作作用用强强度度及及电电子子轨轨道道的的重重叠。叠。如如果果将将自自旋旋算算符符 看看作作XY平平面面上上的的二维经典矢量二维经典矢量则则得得到到XY模模型型；如如进进一一步步简简化化，假假定定将将自自旋旋算算符符 看看作作经经典典量量，且且只只取取两两个个值值 1 ，则则得得到到著著名名的的Ising模型模型。对于对于XY模型，设模型，设 与与x轴的夹角为轴的夹角为 ，则有，则有基基态态 ， ，其中其中Z为配位数。为配位数。设基态自旋都

39、指向设基态自旋都指向x轴正方向，则该铁磁体轴正方向，则该铁磁体系的序参量就是沿系的序参量就是沿x轴的磁化强度轴的磁化强度M, 低低温温下下，体体系系偏偏离离基基态态，但但高高激激发发态态也也难难于实现，于实现， 此时此时 一般是小量，一般是小量， 可以展成泰勒级数，保留到二阶项得，可以展成泰勒级数，保留到二阶项得，对于均匀体系，各个自旋的偏离角度的平方平均对于均匀体系，各个自旋的偏离角度的平方平均应是相同的，因此应是相同的，因此经过一系列的推导，对于正方晶格，有经过一系列的推导，对于正方晶格，有晶格的序晶格的序 对对于于N个个原原子子组组成成的的晶晶格格系系统统，原原子子之之间间的的相相互互作

40、作用用势势能能为为 ，哈哈密密顿量为，顿量为， 如如果果该该体体系系能能排排列列成成有有序序的的点点阵阵，下下面面我我们们讨讨论论一一下下描描述述该该晶晶格格点点阵阵的的序序参参量量应是什么。应是什么。 设设N个原子某时刻位置是（个原子某时刻位置是（i=1,2,N）,则原子分布的密度为，则原子分布的密度为， 作傅立叶展开得，作傅立叶展开得， 且且（1）如对所有）如对所有 ，有，有 ，则，则即各处密度相同，原子分布没有周期性，相应于均匀液即各处密度相同，原子分布没有周期性，相应于均匀液体或完全无序状态。体或完全无序状态。 （2） 如对于某一个如对于某一个 , 有有 而对于其它而对于其它 ，仍有，

41、仍有 则则 令令 ，则，则 ，因此因此此时原子分布出现了倒格矢为此时原子分布出现了倒格矢为 的晶格排列。的晶格排列。对应晶格排列周期对应晶格排列周期 。因此，。因此， 就是就是倒格矢为倒格矢为 的晶格排列序参量。的晶格排列序参量。 为为简简单单计计，将将原原子子看看成成是是经经典典粒粒子子，哈哈密密顿顿相相应应为为经经典典体体系系。在在绝绝对对零零度度下下，原原子子将将是是静静止止的的，由由于于原原子子之之间间存存在在相相互互作作用用 ，为为了了使使体体系系的的能能量量达达到到最最小小，原原子子将将按按一一定定的的规规则则排排列列，形形成成晶晶格格，这这是是体体系系的的基基态态。设设晶晶格格排

42、排列列中中每每个个原原子子的的平平衡衡位位置置为为 ，当当温温度度不不为为零零时时，热热运运动动使使原原子子在在平平衡衡位位置置附附近作振动，此时原子的瞬时位置为，近作振动，此时原子的瞬时位置为，热起伏的影响热起伏的影响 是原子偏离平衡位置的位移矢量，当是原子偏离平衡位置的位移矢量，当温度不够高时，应为小量，温度不够高时，应为小量， ，因，因此此 其中其中 是原子处于平衡位置时的相互作是原子处于平衡位置时的相互作用能，各向同性体系中，弹性系数用能，各向同性体系中，弹性系数K为常为常数数。因此有因此有 为了使哈密顿量对角化，对为了使哈密顿量对角化，对 和和 进行进行傅立叶变换等，得到位置序参量傅

43、立叶变换等，得到位置序参量 结结论论：三三维维系系统统的的低低温温热热起起伏伏很很小小，体体系系可可以以保保持持一一定定的的序序结结构构。对对于于一一维维系系统统，由由于于尺尺寸寸L很很大大，只只要要不不是是绝绝对对零零度度，热热起起伏伏都都将将很很大大，这这意意味味者者一一维维系系统统的的自自旋旋在在任任何何有有限限温温度度下下都都可可以以任任意意取取向向或或原原子子都都可可离离开开格格点点位位置置任任意意运运动动，序序参参量量不不再再保保持持有有限限值值。二二维维系系统统的的行行为为介介于于三三维维和和一一维维之之间间，小小范范围围内内，低低温温下下，热热起起伏伏仍仍可可保保持持有有限限值

44、值，但但在在热热力力学学极极限限下下，任任何何有有限限温温度度下下的的热热起起伏伏都都将将趋趋于于无无穷穷大大。总总结结以以上上分分析析可可以以得得到到：在在热热力力学学极极限限下下，一一维维和和二二维维物物理理系系统统在非零温度下是不可能保持有序结构的。在非零温度下是不可能保持有序结构的。相应地，自旋序参量相应地，自旋序参量1D2D3D结论：结论：3D系统的低温热起伏很小，体系可系统的低温热起伏很小，体系可以保持一定的序结构。而对于以保持一定的序结构。而对于1D系统，由系统，由于尺寸于尺寸L很大，只要不是绝对零度，热起伏很大，只要不是绝对零度，热起伏都将很大，这意味着都将很大，这意味着1D系

45、统的自旋在系统的自旋在 任何有限温度下都可以任意取向，或原任何有限温度下都可以任意取向，或原子都可以离开格点位移任意运动，序参子都可以离开格点位移任意运动，序参量不再保持有限值。量不再保持有限值。2D系统的行为介于系统的行为介于3D和和1D之间，小范围内，低温下热起伏之间，小范围内，低温下热起伏仍可保持有限值。但在热力学极限仍可保持有限值。但在热力学极限 下，任何有限温度的热起伏都下，任何有限温度的热起伏都将趋于无穷大。将趋于无穷大。5.4 5.4 关联函数关联函数 前面的结论：前面的结论： 在热力学极限下，一维和二维物理系在热力学极限下，一维和二维物理系统在非零温度下是不可能保持有序结构统在

46、非零温度下是不可能保持有序结构的。如果根据传统的相变观念，即在低的。如果根据传统的相变观念，即在低温下，系统具有某种序结构（或处于某温下，系统具有某种序结构（或处于某一相），随着温度的增加，热起伏增加，一相），随着温度的增加，热起伏增加，导致序结构破坏，发生相变，系统进入导致序结构破坏，发生相变，系统进入另一相。上一节的分析似乎表明，一维另一相。上一节的分析似乎表明，一维和二维系统是不存在相变的。和二维系统是不存在相变的。 但是，但是，仅从热起伏出发来理解凝聚态物理仅从热起伏出发来理解凝聚态物理中的相变图象是不够的。中的相变图象是不够的。对于铁磁体系，结构对于铁磁体系，结构不变，体系仍可发生铁

47、磁顺磁相变。因此序不变，体系仍可发生铁磁顺磁相变。因此序参量不存在，并非意味着低维系统不存在相变，参量不存在，并非意味着低维系统不存在相变，因为除了序参量以外，体系的其他物理性质仍因为除了序参量以外，体系的其他物理性质仍有可能随着温度的变化而发生突变。凝聚态系有可能随着温度的变化而发生突变。凝聚态系统是由大量分子或原子在一定的相互作用下所统是由大量分子或原子在一定的相互作用下所构成的整体，它的性质除了决定于构成单元构成的整体，它的性质除了决定于构成单元单个原子或分子的性质外，还决定于体系中各单个原子或分子的性质外，还决定于体系中各部分之间由于相互作用而引起的相互关联，相部分之间由于相互作用而引

48、起的相互关联，相互关联不同于相互作用，相互作用是两个粒子互关联不同于相互作用，相互作用是两个粒子之间的独立行为，相互关联则是体系内粒子之之间的独立行为，相互关联则是体系内粒子之间的群体行为。相互作用将导致粒子之间存在间的群体行为。相互作用将导致粒子之间存在相互关联，短程的相互作用可以导致长程的相相互关联，短程的相互作用可以导致长程的相互关联。互关联。 如如果果不不存存在在关关联联，体体系系将将解解离离成成单单个个运运动动的的原原子子或或分分子子，凝凝聚聚状状态态不不能能形形成成。在在物物理理上上，体体系系各各部部分分之之间间的的关关联联可可用用关关联联函函数数 来来描描述述，下下面面以以铁铁磁

49、磁体体系为例具体地建立系为例具体地建立 公式。公式。 N N个个自自旋旋为为 的的原原子子组组成成的的凝凝聚聚态态体体系系，设设基基态态时时所所有有自自旋旋都都指指向向x 轴轴正正向向，任任意意温度下的格点磁矩为（略去磁矩单位），温度下的格点磁矩为（略去磁矩单位）， 在波尔兹曼统计下，在波尔兹曼统计下， 对此体系加一个不均匀分布的外磁场，现将第对此体系加一个不均匀分布的外磁场，现将第i i个原子上的外加磁场作微小的改变，其它原个原子上的外加磁场作微小的改变，其它原子上的外磁场保持不变，系统将会有两种可能子上的外磁场保持不变，系统将会有两种可能的反应，的反应， （1 1）如果此时只有第）如果此时只有第i个原子的平均磁矩出现了个原子的平均磁矩出现了变化，其它原子上的磁矩保持不变，那么该体变化，其它原子上的磁矩保持不变，那么该体系是相互独立的原子系统，原子之间无任何关系是相互独立的原子系统，原子之间无任何关联。联。 （2 2）如果不仅第）如果不仅第i个原子的平均磁矩出现了变化，个原子的平均磁矩出现了变化，其它原子上的磁矩也随之变化，那么该体系是其它原子上的磁矩也随之变化，那么该体系是相互关联的原子系统，原子之间存在关联相互关联的原子系统，原子之间存在关联。