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1、 第四讲第四讲 不定积分不定积分 内容提要与典型例题内容提要与典型例题第四章 不定积分内容提要积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容第四章 不定积分内容提要1 1、原函数、原函数2 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3) 不定积分的性质不定积分的性质3、积分法：三法一表、积分法：三法一表基本积分
2、表基本积分表分项积分法分项积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法第四章 不定积分内容提要4 4、基本积分表（、基本积分表（2424个公式个公式）5 5、直接积分法（、直接积分法（分项积分法分项积分法）6 6、第一类换元法（、第一类换元法（凑微分法凑微分法）凑微分法的主要思想：凑微分法的主要思想： 将不同的部分将不同的部分中间变量与积分变量中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本积分公式。变成相同，使之能套用基本积分公式。 此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。第四
3、章 不定积分内容提要常见类型常见类型: :第四章 不定积分内容提要7 7、第二类换元法、第二类换元法 引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之化简并变成容易的积分。化简并变成容易的积分。 常用代换常用代换: :第四章 不定积分内容提要4.根式代换根式代换被积式如含被积式如含则令则令被积式如含被积式如含则令则令5.指数代换指数代换被积式如含被积式如含通常可令通常可令第四章 不定积分内容提要8 8、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式第四章 不定积分内容提要 使用分部积分法的关键是正确地选取使用分部积分法的关键是正确地选取 常用的方法常用的方法:
4、:把被积函数视为两个函数的乘积把被积函数视为两个函数的乘积, ,按按“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序, ,前者为前者为 后者为后者为 ( (因为因为“幂指三幂指三”好积好积, , “反对反对”的导数比它自己简的导数比它自己简单单.).)9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分待定系数法待定系数法化有理真分式为化有理真分式为部分分式部分分式四种类型最简分式的不定积分四种类型最简分式的不定积分有递推公式有递推公式第四章 不定积分内容提要（2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分(万能代换万能代换)（3） 简单无理函数的积分（简单无理函数的
5、积分（根式代换根式代换）讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号第四章 不定积分典型例题二、典型例题二、典型例题例例解解第四章 不定积分典型例题例例 解解: :原式原式分析分析: : 第四章 不定积分典型例题例例. . 求求解解1 1 : :原式原式分部积分分部积分第四章 不定积分典型例题解解2 2 : :原式原式= =例例解解第四章 不定积分典型例题例例解一解一(倒代换倒代换)第四章 不定积分典型例题解二解二令令1第四章 不定积分典型例题例例解一解一分子分母同乘分子分母同乘解二解二令令第四章 不定积分典型例题而而令令第四章 不定积分典型例题1第四章 不定积分典型例题解解.
6、)1()1(d342 - -+ +xxx练习练习练习练习第四章 不定积分典型例题例例 求求解解: : 取取说明说明: : 此法特别适用于此法特别适用于如下类型的积分如下类型的积分: : 第四章 不定积分典型例题例例 求求解解: :设设则则因因连续连续 , , 得得记作记作得得利用利用 第四章 不定积分典型例题例例解一解一分子拆项分子拆项第四章 不定积分典型例题解二解二分子分母同乘以分子分母同乘以令令第四章 不定积分典型例题解三解三 倒代换倒代换令令第四章 不定积分典型例题例例第四章 不定积分典型例题解：解： 求求解解: 令比较同类项系数, 故 原式原式说明说明: 此技巧适用于形为此技巧适用于形
7、为的积分的积分.第四章 不定积分典型例题 求求解解: 令令则原式原式第四章 不定积分典型例题例例解一解一注意到注意到解二解二第四章 不定积分典型例题而而第四章 不定积分典型例题例例解一解一解二解二第四章 不定积分典型例题例例解解令令第四章 不定积分典型例题（或直接换元令（或直接换元令1+x=t）第四章 不定积分典型例题解解解解 分部积分分部积分 凑微分凑微分= = uuud2cosCxxx+ + += =cossin 2 uu sind2= =原式原式uuud42 - - -= =原式原式第四章 不定积分典型例题解解第四章 不定积分 习题课解解第四章 不定积分典型例题解解 分部积分分部积分第四章 不定积分典型例题
