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1、第四章第四章 前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而描述了随机变量的概率性质，而数字特征数字特征则是由则是由概率分布所决定的概率分布所决定的常数常数，它刻划了随机变量的某，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过而数字特征往往容易通过数理统计数理统计的方法得到。的方法得到。 这一节先介绍随机变量的数学期望这一节先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的
2、是在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差数学期望和方差 11 数学期望数学期望 (Mathematical Expectation)售价售价 581050150300件数件数 频率频率 1/10 3/10 3/5 设从其中任取一件产品，其售价为设从其中任取一件产品，其售价为 ，则，则 是一个随机变量，且是一个随机变量，且引例：引例： 某厂从所生产的产品中抽出一箱，共某厂从所生产的产品中抽出一箱，共500只产只产品，其中含有三级品，二极品和一级品，件数品，其中含有三级品，二极品和一级品，件数与售价如表所示。求这批产品的平均售价。与售价如表所示。求这批产品的平均售价。由此可见，售价的平均值等于
3、售价的各可能值与其由此可见，售价的平均值等于售价的各可能值与其概率之和。称这个平均值为随机变量概率之和。称这个平均值为随机变量 的数学期的数学期望或均值。望或均值。则该箱产品的平均售价则该箱产品的平均售价 为为定义定义 设离散型随机离散型随机变量量X的概率分布的概率分布为 若若级数数 绝对收收敛，则称之称之为X的的数学期望数学期望，记为E( (X) )，即即 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望例例1 1 甲、乙两个人进行射击,所得的分数分别为它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏.解解 甲乙两个人得分的数学期望分别为由于故甲的成绩强于乙的成绩. 例例2 2 设随机变量X服
4、从参数为p的0-1分布，试求 X 的数学期望.解解 由题意知X的分布律为故 例例3 3 设X服从参数为 的泊松分布,求 X 的数学期望.解解 由于X的分布律为故二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 定义定义 设连续型随机型随机变量量X的概率密度的概率密度为f( (x) ), ,如果如果积分分 绝对收收敛，则称之称之为X的的数学期望数学期望，记为E( (X) )，即即 例例4 4 设设求求解解 由于 X 的概率密度为故例例5 5、指数分布、指数分布例例6 6 设随机变量 ,求E(X). 解解令则练习练习 ( (一种验血新技术一种验血新技术) ) 在一个人数很多的单位中普在一个
5、人数很多的单位中普查某种疾病查某种疾病, ,N个人去验血个人去验血, ,有两种方法有两种方法: (1) : (1) 每个人每个人的血分别化验的血分别化验, ,共需共需N次；次；(2) (2) 把把k个人的血样混在一个人的血样混在一起化验起化验, ,如果结果是阴性如果结果是阴性, ,那么一次就够了；如果呈阳那么一次就够了；如果呈阳性性, ,那么对这那么对这k个人的血样再逐次化验个人的血样再逐次化验, ,共需共需k+1次次. . 假假定对所有人来说定对所有人来说, , 呈阳性的概率为呈阳性的概率为p, ,且相互独立且相互独立, ,下面下面说明当说明当p较小时较小时, ,方法方法(2)(2)能减少化
6、验的次数能减少化验的次数. .解解用方法用方法(2)(2)验血血时, ,每个人需化每个人需化验的次数的次数X的概率分布的概率分布为 用方法用方法(2)(2)验血血时, ,每个人需化每个人需化验的次数的次数X的概率分布的概率分布为 因此，因此，N个人需化个人需化验的次数的数学期望的次数的数学期望为 例如，例如，三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望(1)(1)若若X是离散型随机是离散型随机变量，且量，且X的的概率分布概率分布为 (2)(2)若若X是是连续型随机型随机变量，且其概率密度量，且其概率密度为为 f( (x) )， 则则则则例例7 7解解X- -2- -100.1P 1
7、0.20.30.4设随机变量设随机变量X的概率分布如下：的概率分布如下： 例例8 8解解设随机变量设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布的概率密度为拉普拉斯分布 上述上述结论可推广到可推广到两个随机变量两个随机变量的函数的情况。的函数的情况。 (1) (1) 若若( (X, ,Y) )是离散型随机是离散型随机变量，且其量，且其联合分布律合分布律为 则则(2) (2) 若若(X, ,Y)是是连续连续型随机型随机变量量，联合概率密度合概率密度为f(x, ,y)，则则 例例9 9 已知二维随机变量（已知二维随机变量（, ,）的联合分布律为：）的联合分布律为：010.20.1-1 2 0.40.3试求试
8、求解：解：-120.30.7P 010.60.4P ,的边缘分布律可以先求出来，然后再的边缘分布律可以先求出来，然后再求E,E010.20.1-1 2 0.40.3或者先求出 的分布律，再求 的所有可能取值为0，-1，2-120.10.3P 0.60010.20.1-1 2 0.40.31 1xy例例1010解解设随机随机变量量( (X, ,Y) )的的联合概率密度合概率密度为 1 1xy例例1010解解设随机随机变量量( (X, ,Y) )的的联合概率密度合概率密度为 例例1111 一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的
9、均匀分布.商品每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其它商店调剂供应,这时每单位商品获利润为200元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值. 解解 设Z表示每周的利润，则因此(元)练习练习解解易见易见X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 11xyO练习练习解解易见易见X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为 11xyO数学期望的性质数学期望的性质性性质1 1 E( (C)=)=C，其中其中C是常数。是常数。 性质性质4 4 设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);性质性质2 2 若若k是常数，则是常数，则 E(kX)=kE(X);性质性
10、质3 3 E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);(诸诸Xi 独立时独立时)注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出不能推出X,Y 独立独立推广：推广：推广：推广：例例1212 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 解解 引入随机变量则有又由题意，有所以由数学期望的性质，得 定理定理:设随机变量 相互独立且均服从参数为 的0-1分布：则 证明证明 设有一个n重伯努利试验,每次试验中成功的概率为p,引进随机变量则Xi服从参
11、数为p的0-1分布:令 则它表示在这个伯努利试验中成功的次数,故有22 方差方差 (Variance) 随机随机变量量X的数学期望，描述了随机的数学期望，描述了随机变量量X取取值的集中的集中趋势或平均水平，但是或平均水平，但是仅仅知道知道X的数学期望的数学期望有有时还不能完全刻划随机不能完全刻划随机变量量X的的统计特征。比如，特征。比如，某厂生某厂生产一批元件，平均使用寿命一批元件，平均使用寿命E( (X)=)=1000小小时，仅由此我由此我们还很很难了解了解这批元件批元件质量的好坏，因量的好坏，因为有可能有一半的元件有可能有一半的元件质量很高，寿命在量很高，寿命在1500小小时以以上，而另一
12、半却上，而另一半却质量很差，寿命不足量很差，寿命不足500小小时，从而，从而反映出反映出质量不量不稳定。可定。可见应进一步考察元件寿命一步考察元件寿命X对期望期望E( (X) )的偏离程度。下面介的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描的方差就是用来描述随机述随机变量的可能取量的可能取值与其期望之与其期望之间的差异程度的的差异程度的数量特征。数量特征。 一、方差的定义一、方差的定义 定义定义即即 如果随机如果随机变量量X的数学期望存在，称的数学期望存在，称X- -E(X)为随机随机变量量X的的离差离差。 均方差均方差根方差根方差计算公式：计算公式：1 1、若若X是是离散型离散型随机随机变量，其概率
13、分布量，其概率分布为 则则具体计算公式：具体计算公式：2 2、若若X为连续型连续型随机随机变量，其概率密度量，其概率密度为 f( (x) )，则则 设设X表示机床表示机床A一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表表示机床示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：如下： X0120.5P 30.30.10.1例例1 1解解Y0120.6P 30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。 均值相等均值相等, , 据此不能判断优劣据此不能判断优劣, ,再求方差再求方差. .X0120
14、.5P 30.30.10.1Y0120.6P 30.10.20.1均值相等均值相等, , 据此不能据此不能判断优劣判断优劣, ,再求方差再求方差. . 由于由于D( (X) ) D( (Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较机床B的波动小的波动小, ,质量较稳定质量较稳定. . 解解例例2 2 设随机随机变量量X的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX, , DX. . 例例3 3 设X服从参数为p的0-1分布,则E(X)=p又故有 因此若X服从参数为p的0-1分布,则例例4 若 ,则又所以 例例5 5 设 则 ，又故所以例例6 6、指数分布、指数分布方差的性质方差的性质 (1) 若
15、C为常数,则(2)注：注：其中其中C是常数。是常数。 证证(3) 若X与Y相互独立,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)(因为 相互独立,所以一般的，若 相互独立，则有并且其中 为常数 于是，若 与 独立，则注意：以下两个式子是等价的,即(4) 的充分必要条件为,存在常数C,使事实上, 例例7 7 若,则由于E(X)=0,所以从而结论结论: 若则例例8 8 二项分布的数字特征设相互独立且均服从参数为 的0-1分布,则由前面的讨论知则由数学期望与方差的性质,有结论结论: 若则例例9 9 设随机变量 相互独立且均服从正态分布，试求解 令，则Z服从正态分布，由于所以故而故分布分布概率分布或概率密度概
16、率分布或概率密度 数学期望数学期望 方差方差 0-10-1分布分布二项二项分布分布均匀均匀分布分布指数指数分布分布正态正态分布分布泊松泊松分布分布几几种种常常见见分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差三、切比雪夫不等式三、切比雪夫不等式 随机随机变量的方差是刻画它量的方差是刻画它围绕其期望其期望值的离散的离散程度的，因此我程度的，因此我们希望用方差来估希望用方差来估计随机随机变量与其量与其期望期望值之之间的偏差大于某一的偏差大于某一给定正数的概率的上界。定正数的概率的上界。 定理定理成立成立. .证证设X是是连续型随机型随机变量，其概率密度量，其概率密度为f( (x) ), ,则 定理定理成
17、立成立. .上式可改写为上式可改写为 切切比雪夫不等式具体地估算了随机变量比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值取值时，以数学期望时，以数学期望E( (X) )为中心的分散程度。不难看出，为中心的分散程度。不难看出，方差方差D( (X) )越小，则随机变量越小，则随机变量X的取值越集中在数学的取值越集中在数学期望期望E( (X) )的附近，由此可以进一步体会到方差的概的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。率意义，它刻划了随机变量的分散程度。 如取如取例例3 3 根据过去统计资料，某产品的次品率为根据过去统计资料，某产品的次品率为p= =0.05，试用切比雪夫不
18、等式估计试用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数在件产品中，次品数在4060之间的概率之间的概率.解解设设X表示表示1000件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则 由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数一、协方差一、协方差(Covariance) 为了刻划两个随机变量之间的关系,本节讨论两个重要的数字特征:协方差与相关系数因此,若上式不成立,则X与Y 必不相互独立,也就是说,当上式的左端不等于零时,两个随机变量之间就存在着某种关系.因此量E(XY)E(X)E(Y)在某种程度上刻划了两个随机变量之间的关系.我们将其称之为协方差.具体定义如下.
19、由前面的讨论知,若 与 相互独立,则有定义定义 设 是二维随机变量，若 则EX-E(X)Y-E(Y)称为X与Y的协方差协方差,并记作Cov(X,Y),即有协方差也可以由下式计算注：若两个随机变量相互独立,则它们的协方差等于0.对于任何的两个随机变量 ,有类似地有类似地有协方差的性质协方差的性质(1) 对称性(2) 若为常数,则(3)由性质(2),有 因此,协方差的大小依赖于度量单位,这是它的一个明显缺陷.为了克服这个缺陷,我们引入相关系数的概念.由定义可知二二.相关系相关系数数定义定义 假设 X,Y 的方差均存在，则称为X与Y的相关系数相关系数相关系数消除了量纲的影响相关系数消除了量纲的影响标
20、准化随机准化随机变量消除了量量消除了量纲的影响的影响。 可以可以验证， 相关系数就是标准化随机变量的协方差。相关系数的性质相关系数的性质(1)证明 令则 (2) 的充分必要条件是,存在常数a, b使得即X与Y以概率1线性相关.证明证明 若,则,从而取即可.时可类似的证明. 注意注意: : 相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图). 定义定义 若X与Y的相关系数 ,则称X与Y不相关不相关. 注注:若两个随机变量相互独立若两个随机变量相互独立,则它们一定不则它们一定不相关相关;反之不然反之不然!即两个不相关的随机变量不一即两个不相关的随机变量不一定相互独立定相互独立
21、.下列事下列事实彼此等价：彼此等价： 同理 例例1 1 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布,则由前面的讨论知, X与Y不相互独立.下面我们求其相关系数.所以即 与 不相关注注: :若则X与Y相互独立的充分必要条件为它们不相关相互独立的充分必要条件为它们不相关 . 事实上,此时 因此因此, ,对于服从二维正对于服从二维正态分布的随机变量而言态分布的随机变量而言, ,说它们相互独立与说它们说它们相互独立与说它们不相关是等价的不相关是等价的. .例例2 2解解 设设( (X, ,Y ) )的联合分布律为的联合分布律为 例例3 3解解先求出边缘分布，先求出边缘分布，PPT20例例4 4 设设( X,
22、Y )的分布律为的分布律为所以所以这表示这表示X, ,Y 不存在线性关系不存在线性关系. .但但, ,知知X, ,Y 不独立不独立. .事实上事实上, , X, ,Y 具有非线性关系具有非线性关系: :思考思考 设A,B是二随机事件,试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立.证明证明 记则的可能取值为-1,1,并且所以因此即 与 不相关的充分必要条件为 与 独立.矩矩 协方差矩阵协方差矩阵 定义1 设X为随机变量,k为正整数,若 存在.则称 为X 的k阶原点矩原点矩;若 存在,则称 为X的k阶中心矩中心矩.注：注：1）在）在 k 阶原点矩中，当阶原点矩中，当 k=1时，即为数时，即为数学期
23、望学期望2）在）在k 阶中心矩中，一阶中心矩为阶中心矩中，一阶中心矩为0，二阶中，二阶中心矩为方差。心矩为方差。协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1, X2）的的协方差矩阵协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵类似定义类似定义n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1, X2, , Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵。称矩阵称矩阵都存在都存在,若若已知随机向量已知随机向量( (X, ,Y ) )的协方差矩阵为的协方差矩阵为 求随机向量求随机向量( (X+ Y, ,X- -Y ) )的协方差矩阵的协方差矩阵. 解解由题意知由题意知, ,所以所以( (X+ Y, ,X- -Y ) )的协方差矩阵为的协方差矩阵为例例
