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1、第十一章第十一章结构动力分析、特征对求解结构动力分析、特征对求解第二节第二节第二节第二节结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程 第一节第一节第一节第一节结构动力学问题主要功能结构动力学问题主要功能结构动力学问题主要功能结构动力学问题主要功能返回返回返回返回第三节第三节第三节第三节特征方程的求解特征方程的求解特征方程的求解特征方程的求解 第四节第四节第四节第四节行列式搜索法行列式搜索法行列式搜索法行列式搜索法 第五节第五节第五节第五节子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法 第一节第一节第一节第一节结构动力学问题主要功能结构动力学问题主要功能结构动力学问
2、题主要功能结构动力学问题主要功能 在工程实际中，结构受到的载荷常常是随时间变化的动载荷，只有当结构由此载荷而产生的运动非常缓慢，以致其惯性力小到可以忽略不计时，才可以按静力计算，因此，静力问题可以看为是动力问题的一种特例。一般工程中为了简化计算常把许多动力问题简化为静力问题处理。随着科技的发展，工程中对动态设计要求越来越多。工程结构所受的常见动载荷有谐激振力、周期载荷、脉冲或冲击载荷、地震力载荷、路面谱和移动式动载荷等。由于受这些随时间变化的动载荷的作用，由此而引起结构的位移、应变和应力等响应也是随时间变化的。有些结构虽受的动载荷幅值并不明显，但当动载荷的频率接近于结构的某一阶固有频率时，结构
3、就要产生共振，将引起很大的振幅和产生很大的动应力。以致使结构发生破坏或产生大变形而不能正常工作。因此对某些工程问题，必须进行动力分析。返回返回返回返回 求解特征方程，计算结构的固有频率和振型，为进一步计算动力响应（振型叠加法等）作好准备，也可以直接用于确定结构可 能发生的共振频率和轴系的临界转速，还可以考虑梁、板单元的几何非线性对结构振动的影响。 目前，国内外著名程序Nastran、ANSYS、ABAQUS、Radioss 、LSDYNA等主要动力分析功能有以下五种：1.特征值问题的求解（模态分析）2.历程响应分析用振型叠加法计算结构在强迫力和强迫位移（包括基础运动）下瞬态响应。返回返回返回返
4、回3.响应谱分析与随机振动分析4.用逐步积分法求历程响应5.频率响应分析 根据给定的反应谱曲线，采用振型叠加法对基础的随机的强迫位移进行结构的最大位移和最大应力分析，可用于求解冲击载荷条件下的结构响应。不用求解特征方程的特征值和特征向量，而用Wi1son 法直接对动力方程进行数值积分，求解结构在强迫力和强迫位移下的瞬态响应。计算由于基础作谐运动引起的结构稳态响应，确定结构的幅频特性与相频特性，也可以模拟结构在振动台上的振动试验返回返回返回返回第二节第二节第二节第二节结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程结构动力学平衡方程在静力分析中结构的平衡方程为：（11-1） 当 这样一组力
5、时，结构的动力方程就很容易写出：（11-2）式中，M结构的总质量矩阵； C为阻尼矩阵； K结构的总刚度矩阵； u结构的位移向量； R（t）强迫力列阵。如果结构承受基础加速度 而产生的惯性载荷，则动力平衡方程为：式中， 是结构相对于基础的位移向量； 是结构的牵连加速度向量。返回返回返回返回第第第第三节三节三节三节特征方程的求解特征方程的求解特征方程的求解特征方程的求解一般程序是采用两种方法来求解特征方程的，当结构的自由度较少，其总刚的上三角元素可一次放入内存时，可采用行列式搜索法，若结构的自由度较多时，总刚的上三角元素一次不能全放入内存，则需分块存宁，程序自动转入采用子空间迭代法求解特征方程。考
6、虑在无阻尼的自由振动系统中，结构的动力方程为：（11-4）设： 代入上式得：令 为特征值， 为特征向量，则返回返回返回返回若 存在非零解，必有：求解（11-6）式可得出特征值 ，再将求得的 依次代入下式：可解得特征向量（振型） ，其中 为特征值 所对应的特征向量。特征向量 可取 和 ，使之正交归一化。当考虑几何非线性影响时，结构的特征方程（11-5）式可改写为：式中，KG为结构的几何刚度矩阵。方程（11-8）式与方程（11-5）式在解法上没有什么不同，因而无需另作讨论。需要注意的是由方程（11-8）式解得的特征值 时，表示结构已经失稳。（11-6）（11-7）（11-8）返回返回返回返回第四节
7、第四节第四节第四节行列式搜索法行列式搜索法行列式搜索法行列式搜索法求解（11-5）特征方程行列式搜索法的基本思想是：利用Sturm序列的性质，通过对称矩阵的三角分解计算矩阵的行列式值，用加速割线法求出靠近下一个未知特征值的位移，然后用移位逆迭代求特征向量，同时使特征值精化，遇到重根的情况，对特征向量施行格雷姆-施密特征正交化，以保证不发生丢根。一、一、Sturm序列的性质序列的性质关于Sturm序列以及它的性质，这里不做详细叙述，只提一下我们将要用的结论。 记（11-9）为特征方程（11-5）的特征多项式，一般地，返回返回返回返回是一n次多项式，它的n个另点，即为特征方程（11-5）的n个特征
8、值。 将矩阵 进行三角分解（ 为某一给定的实数），并由此计算该矩阵的行列式值：（11-10）（11-11）其中dii为对角矩阵D的各对角元素。根据Strum序列的性质，可以推断， 的三角分解的矩阵因子D中的负元素的个数恰等于特征方程（11-5）的比 小的特征值的个数，反之若 ，则对角阵D中心有i个负元素。返回返回返回返回二、二、割线法求特征多项式的根割线法求特征多项式的根是 的n次多项式，若以变量 为横坐标轴，则 在平面上是一n曲线，与横坐标轴n次相交，有n个另点（重根按重数计），如图11-1。 图 11-1 特征多项式 返回返回返回返回设正数 是多项式 全部根的下界，即 中没有比 小的根，取
9、 ， ，则按割线公式（11-12）可得到 的更接近的近似值，一般地，若 ， 是 的两个近似值， ，用加速割线迭代计算下一个近似值 的公式为：这里 是常数，当 时，就是标准的割线迭代，当 时，（11-13）返回返回返回返回 ，但是收敛可能较慢。由于我们的目的是求一个接近 的移位，并不是由此完全确定 的值，因此算法中使用 ,达到加速收敛的效果，称为加速割线法。在程序中，当迭代得到的近似值与前一个值很接近时，（即校正现在的移位已相当小）， 被加倍。由于 ，迭代可能跳过一个根或多个根，但是由于利用了Strum序列的特性，通过对三角分解的负对角元的个数的检查可以发觉。当 或 时，迭代停止。返回返回返回返
10、回三、三、逆迭代（反幂法）求最小特征对逆迭代（反幂法）求最小特征对我们知道对标准的特征方程 施行幂法，迭代的结果将收敛到最大的特征值所对应的特征向量。但是在工程实践中，感兴趣的是与低频相对应的特征向量，即要求最小的特征对，所以运用反幂法。对特征方程 ，施行反幂法，相当于对 ,运用幂法求解最大特征对,该特征对即为我们要求的 的最小特征对。在实际运算中，当然并不用矩阵求逆，而是在求解中，给定初始逆代向量 ，在每个迭代步 ，进行以下计算 ：返回返回返回返回只要 不与 关于M正交，即 ，则当 时，且满足在实际的计算程序中，其具体运算步骤如下：取 作为初始迭代向量令（11-14）设第K次迭代时有方程（1
11、1-15）求解方程（11-15），得 。返回返回返回返回取若初始迭代向量 ，则当 时，设第l次迭代达到精度，即（11-16）（11-17）（11-18）则取返回返回返回返回逆迭代法收敛于第一阶振型，在求出第一阶振型后，必须从 中把第一阶振型的影响清除掉,经过迭代,才会向第二阶振型收敛，在求出第二阶振型后，再从 中清除第一、二阶振型的影响，迭代才会向第3阶振型收敛，一般地说，在求出第r阶振型后，必须从 中把第一到r阶振型的影响全部清除掉，迭代计算才向第r+1阶振型收敛。 不难验证由此得到的特征向量 ，满足（11-19）返回返回返回返回四、四、格雷姆格雷姆施密特（施密特（GramSchmidt）正
12、交化正交化若特征方程（11-5）的两个特征值互异，即 ，那么它们对应的特征向量必关于M正交，即 。对于特征值施重根的情况，例如 ，则 为r重根，对应于它的特征向量有且仅有r个是线性无关的，为了在重根处用逆迭代计算处r个M正交的特征向量，不发生遗漏，采用格雷姆施密特正交化。假定在逆迭代中已得到S个特征向量 ，现在要扩充产生一个向量 ，它与 全部M正交，可任给 与 线性无关，令返回返回返回返回式中常数ai可利用正交条件 ， 定出，也就是在（11-20）式的两边左乘 ，并注意到：即得（11-21）这样，在遇到重根时，用 代替 作为逆迭代的初始迭代向量，对于第K次逆迭代类似地用 代替 作为迭代向量作逆
13、迭代，由于 满足与 正交的条件， 将收敛到特征向量 。 返回返回返回返回第五节第五节第五节第五节子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶部分特征对的有效方法。它实质上是李兹法（Rayleigh-Ritz）和同时逆迭代法联合应用的结果。1）取q个初始迭代向量，qNF。（NF-为所求低阶特征对）2）用q个向量同时逆迭代和Ritz分析得到特征值和 特征向量的“最好”的近似值。3）在迭代收敛后，用Sturm序列检查去验证要求的 特征值和特征向量。这方法相当于在q维子空 间进行迭代因此称为子空间迭代法。返回返回返回返回一、一、子空间迭代的基本思想子空间迭代的基
14、本思想假定特征方程（11-5）的q个较小的特征值为 以及对应的特征向量为 ，用矩阵的形式表示则有其中（11-22）并且它们满足正交条件：如果用q个线性无关的向量作为列构成初始迭代矩阵 ，即q个向量同时进行逆迭代，第K次迭代的公式为：返回返回返回返回利用李兹（Ritz）法进行正交化具有收敛快的特点。如果已选取q个线性无关的向量（称为李兹基向量），以它们为列构成矩阵 ，令：（11-23）两边左乘 得：（11-24）（11-25）（11-26）则有记其中 是李兹坐标组成的q阶方阵，将 作为方程（11-22）的特征矩阵 的近似值，以（11-23）代入（11-22），则有：返回返回返回返回这是一个q 阶
15、的方程组， ， 是K、M的投影矩阵。这样求解n阶特征方程的前q个特征值的问题就化为求解q阶特征方程（11-26）的全部特征值得问题了。当求出方程（11-26）的特征值和相应的特征向量 和 以后，方程22的前q个特征值的近似值为 ，相应得特征向量的近似值为：根据方程（11-26）的特征向量 的正交性，即则有 即由李兹法得到的 的各列是M正交的。把同时逆迭代与李兹法结合起来，重复交叉进行，直至达到预定的精度。返回返回返回返回二、迭代步骤二、迭代步骤 第k次迭代的公式为形成投影矩阵（11-27）（11-28）（11-29）（11-30）（11-31）程序用广义雅可比法解q阶特征方程（11-31）得
16、，然后取（11-32）只要初始矩阵 的所有各列不同时与 的任何一个正交，则当 时， ， 。返回返回返回返回设第l次迭代达到精度，即则取（11-33）式中 ， ， 分别时矩阵 ， ， 的第i个列向量。求n阶特征方程的前NF个特征值和特征向量时，需选取q个初始迭代向量，qNF。q必须大于NF是出于迭代收敛速度的考虑，因为 第j个列向量收敛到 的收敛率为 ，如果q大，则收敛得越快，即迭代次数减少，但是q越大，子空间的维数就越大，每次迭代的运算次数就要增加，因此需要综合考虑。经验认为取q=min（2NF，NF+8）比较好，因此它一般为程序中隐含值。q也可以由用户输入。返回返回返回返回三、用三、用Sturm序列检查是否发生丢根序列检查是否发生丢根设第l次迭代达到精度，那么我们就已计算到NF个特征值的近似值 ，其相应的精确值可以认为在下式给出的邻域内：由此关系式可以确定所有特征值的精确值的上界 ，然后应用Sturm序列的特性进行检查，即对K- M作三角分解 D的负元素的个数等于NF，则说明没有漏根，已计算的特征值和特征向量为我们所要求的。当需要求的特征对的数目相当多，（例如大于50），经验表明用基本的子空间迭代法随着特征对数目的增加，求解收敛非常慢，需要大量的子空间迭代。此时建议利用移位和超松弛技术来改进子空间迭代法，这里不再多述。返回返回返回返回
