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1、4.1.2 4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程石家庄第十五中学石家庄第十五中学姚素月姚素月一复习巩固，引出新知一复习巩固，引出新知下列方程表示什么图形下列方程表示什么图形1、（、（x-1）2+（y+2）2=4以以(1, -2)为圆心为圆心 ，以，以 2为半径的圆为半径的圆（x-2）2+（y+3）2=0以以(1, -2)为圆心为圆心 ，以，以 2为半径的圆为半径的圆X=2 ，Y=-3. 表示点（表示点（2，-3）不存在满足方程的解，既不存在这样的点不存在满足方程的解，既不存在这样的点2、x2+y2-2x+4y+1=03、x2+y2+4x+6y+13=04、x2+y2-2x+2y+3=0（x-1
2、）2+（y+1）2=-1配方配方（x-1）2+（y+2）2=4（1）当）当 时，时，表示表示圆圆，（2）当）当 时，时，表示表示点点（3）当）当 时，时，不不表示任何图形表示任何图形二新课探究，总结规律二新课探究，总结规律方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？在什么条件下表示圆？ 练习练习v1、判断下列方程是否表示圆？、判断下列方程是否表示圆？表示点（表示点（2，3）不表示任何图形不表示任何图形以（以（0，-b）为圆心，以）为圆心，以 为半径的圆为半径的圆 2 2、方程、方程表示的图形是一个圆，求表示的图形是一个圆，求a的取值范围的取值范围. .解：（）整理得344解得三三
3、 知识迁移，学以致用知识迁移，学以致用v请同学们思考求圆的方程的方法，请同学们思考求圆的方程的方法，然后在练习本上规范写出然后在练习本上规范写出 本题的解题步骤本题的解题步骤例例4 4 求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标标. .解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：几何方法几何方法方法一：yxA( (1, ,1) )A( (4, ,2) )0例例4 4 求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4
4、，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标标. .解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法二：F=0D=-8E=6解得解得例例4 4 求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐）的圆的方程，并求出这个圆
5、的半径长和圆心坐标标. .因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法三：所求圆的方程为：所求圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或若知道或涉及圆心和半径涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的圆的标准标准方程方程较简单较简单.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程
6、,我们常常采用我们常常采用圆圆 的的一般一般方程方程用待定系数法求解用待定系数法求解. 小结:( (特殊情况时特殊情况时, ,可可借助图象求解更简单借助图象求解更简单) ) 例例5 5 已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）, ,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . yABMxo解：设点解：设点M的坐标是（的坐标是（x,y）,点点A的坐标为（的坐标为（x0,y0）由于由于B点坐标为（点坐标为（4，3），），M为为AB的中点，的中点，所以所以整
7、理得整理得 又因为点又因为点A在圆上运动，所以在圆上运动，所以A点坐标满足点坐标满足方程，又有方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得所以，点的轨迹是以（所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆）为圆心，为半径的圆1.1.任一圆的方程可写成任一圆的方程可写成 的形式，但方程的形式，但方程 表示的表示的曲线不一定是圆，当曲线不一定是圆，当 时，方时，方程表示圆心为程表示圆心为 ， 半径半径为为 的圆的圆. .课堂小结课堂小结: :2.2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1 1）设圆方程）设圆方程 ；（；（
8、2 2）列方程组；）列方程组；（3 3）求系数；）求系数； （4 4）小结）小结. . 3.3.求轨迹方程的基本思想：求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标求出动点坐标x x，y y所满足的关系所满足的关系. .解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为练习：求过三点练习：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程1、一个圆过、一个圆过A(4,2)、B(1，3)两点，且在坐两点，且在坐标轴上的四个截距之和为标轴上的四个截距之和为14，求此圆的方程。，求此圆的方程。2、如图，等腰梯形、如图，等腰梯形ABCD底边长分别为底边长分别为6和和4，高为，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长并求这个圆的圆心坐标和半径长知识沿深，能力突破知识沿深，能力突破CADB
