42根轨迹的基本规律及绘制

第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法第二节第二节 根轨迹的基本规律及绘制根轨迹的基本规律及绘制8/31/20241项 目内 容教 学 目 的掌握根轨迹的八个规律，并在此基础上绘制根轨迹（手工和MATLAB）教 学 重 点根轨迹八个规律的内容教 学 难 点八个规律的证明，根轨迹的手工绘制讲授技巧及注意事项运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析4-2 根轨迹的基本规律及绘制根轨迹的基本规律及绘制8/31/20242一、根轨迹的基本规律一、根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律从以下根轨迹的基本规律从以下8 8个方面进行讨论：个方面进行讨论：1 1、根轨迹的起始点与终止点；、根轨迹的起始点与终止点；4 4、根轨迹的渐近线；、根轨迹的渐近线；2 2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3 3、实轴上的根轨迹；、实轴上的根轨迹；5 5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；6 6、根轨迹的起始角和终止角、根轨迹的起始角和终止角( (复数零极点复数零极点) )；；7 7、根轨迹与虚轴的交点；、根轨迹与虚轴的交点；8 8、根之和。

根之和8/31/20243特征方程可写为：特征方程可写为：规律一一 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点根轨迹终止于开环零点根轨迹终止于开环零点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点8/31/202441 1．．当当m=nm=n时时，，即即开开环环零零点点数数与与极极点点数数相相同同时时，，根根轨轨迹迹的的起点与终点均为有限的值起点与终点均为有限的值讨论：讨论：2 2．．当当mnm>n时时，，即即开开环环零零点点数数大大于于开开环环极极点点数数时时，，除除有有n n条条根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点( (称称为为有有限限极极点点) )外外，，还还有有m-nm-n条根轨迹条根轨迹起始于无穷远点起始于无穷远点( (称为无限极点称为无限极点) )。

参数根轨迹参数根轨迹8/31/20245 根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点( (K*→0)0)，，终终止止于于开开环环零零点点( (K*→∞)→∞)；；如如果果开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m，，则则有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处，，如如果果开开环环零零点点数数m m大大于于开开环环极极点点数数n n，，则则有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于s s平平面面的无穷远处的无穷远处结论：结论：8/31/20246规律二规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数根轨迹的连续性、对称性和分支数 根根轨轨迹迹的的分分支支数数( (条条数数) )等等于于系系统统特特征征方方程程的的次次数数n n (根轨迹描述特征根的变化规律根轨迹描述特征根的变化规律) ) 根轨迹是连续的曲线根轨迹是连续的曲线 (K*是连续变化的是连续变化的) ) 根根轨轨迹迹总总是是对对称称于于实实轴轴 (实实际际的的物物理理系系统统的的参参数数都都是是实实数数→→数数学学模模型型的的系系数数是是实实数数→→特特征征根根不不是是实实数就是共轭复数数就是共轭复数) ) 结结论论：：根根轨轨迹迹是是连连续续且且对对称称于于实实轴轴的的曲曲线线，，其其分分支数等于系统特征方程的次数。

支数等于系统特征方程的次数8/31/20247规律三规律三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数其其中中p p1 1、、p p2 2、、p p3 3、、z z1 1、、z z2 2为为实实极极点点和和实实零零点点，，p p3 3、、p p4 4、、z z3 3、、z z4 4为共轭复数零、极点为共轭复数零、极点若若实实轴轴上上某某点点右右侧侧的的开开环环零零、、极极点点的的个个数数之之和和为为奇数，则奇数，则该点该点在实轴的根轨迹上在实轴的根轨迹上8/31/20248只有只有s s0 0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件和为奇数时，才满足相角条件 p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ5φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3σS0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2π；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和π两种情况8/31/20249规律四规律四 渐近线渐近线 当当开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m时时，，系系统统有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处，，反反应应n-mn-m条条根根轨轨迹迹变变化化趋趋向向的的直直线线叫叫做做根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线，，因因此此，，渐渐近近线也有线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点条，且它们交于实轴上的一点( (对称性对称性) )。

渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 8/31/202410证明：思路：研究思路：研究s s值很大时值很大时根轨迹（近似直线）的表达方根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）式（通过列写直线的方程）8/31/202411多项式除法多项式除法8/31/202412证明：研究研究s s值很大时值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通根轨迹（近似直线）的表达方式（通过过列写直线的方程列写直线的方程）8/31/202413当当s s值非常大值非常大时，开环传递函数可以近似为：时，开环传递函数可以近似为：由特征方程由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：得渐进线方程为：8/31/202414由二项式定理由二项式定理当当s值非常大值非常大时，近似有时，近似有8/31/2024158/31/202416令实部和虚部分别相等②÷①得：点点斜斜式式方方程程8/31/202417渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：渐近线与实轴正方向的夹角： 8/31/202418 例例 已知系统的开环传递函数如下，试画出该系已知系统的开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。

统根轨迹的渐近线 解解 该该 系系 统统 n=4n=4，， m=1m=1，， n-m=3n-m=3；； 三三 条条 渐渐 近近 线线 与与 实实 轴轴 交交 点点 为为它们与实轴正方向的夹角分别是它们与实轴正方向的夹角分别是8/31/202419 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线sj-4-3-2-10BCAas°60°-60°300as°1808/31/202420四种情况下的渐近线四种情况下的渐近线8/31/202421规律五规律五 根轨迹的分离点和分离角根轨迹的分离点和分离角 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在s s平面上相遇又立平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点即分开的点，称为根轨迹的分离点 常常见见的的根根轨轨迹迹分分离离点点位位于于实实轴轴上上实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间或或两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间，，至至少少有有一一个个分分离离点点分分离离点点也也可可能能以以共共轭轭形形式式成成对对出出现现在在复平面上复平面上8/31/202422 实轴上的分离点 复平面上的分离点 sj-4-3-2-10分离点sj4p3p1p2pA AB B0[s]d1d2C C[s]分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。

的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）8/31/202423 分离点的坐标分离点的坐标d d是下列方程的解：是下列方程的解：证明：证明：闭环特征方程有重根的条件为：闭环特征方程有重根的条件为：变换形式变换形式②②÷①①8/31/2024248/31/2024251、当开环系统无有限零点时，应取、当开环系统无有限零点时，应取 分离分离点方程为点方程为 2、、只只有有那那些些在在根根轨轨迹迹上上的的解解才才是是根根轨轨迹迹的的分分离离点点分离点的确定需代入特征方程中验算分离点的确定需代入特征方程中验算3、、只只有有当当开开环环零零、、极极点点分分布布非非常常对对称称时时，，才才会会出出现现复平面上的分离点复平面上的分离点说明说明8/31/202426例例 已已知知系系统统的的开开环环传传函函如如下下，，试试求求出出系系统统根根轨轨迹迹的的分分离点 解解 本系统无有限开环零点，所以本系统无有限开环零点，所以 d2=-2.58 d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。

不在根轨迹上上，舍去 d1=-1.42d1=-1.42是是实实轴轴根根轨轨迹迹上上的的点点，，所所以以是是根根轨轨迹迹在实轴上的分离点在实轴上的分离点对比较复杂的方程对比较复杂的方程(次数大于次数大于2)，也可用试探法求解也可用试探法求解8/31/202427分离角：根轨迹进入分离点的切线方向切线方向和离开分离点的切线方向切线方向之间的夹角设设l为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角当当l=2=2时，分离角为时，分离角为8/31/202428⑴⑴起起始始角角θθpipi 根根轨轨迹迹离离开开开开环环复复数数极极点点处处的的切切线线方方向向与实轴正方向的夹角与实轴正方向的夹角 规律六规律六 起始角与终止角起始角与终止角 js3P2P1P0[s]1pq2pq⑵⑵终止角终止角θθzizi 根轨迹进入开根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角实轴正方向的夹角1z2z8/31/202429所以证明：证明： 设A为根轨迹上离极点pi很近的一点A离pi很近A点满足相角条件同理得：②②代入代入①①：：8/31/202430进一步具体分析起始角与终止角的表示进一步具体分析起始角与终止角的表示。

例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 其其中中p p1 1和和p p2 2为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点，，各各零零级级点点在在s s平平面面上上的的分分布布如如图图所所示示试试依依据据相相角角条条件件求求出出根根轨轨迹离开开环复数极点迹离开开环复数极点p p1 1的起始角的起始角θθp1p1 [s]sj1z1p2p08/31/202431解解 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p p1 1的点的点A A，由相角条件可得，由相角条件可得 由于由于A A点无限靠近点无限靠近p p1 1点点 [s]sj1z1p2p3p)(31pp -Ð)(21pp -Ð)(11zp -Ð01pqA角度替换后得：角度替换后得：8/31/202432规律七规律七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为 根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯虚根（实部为零）用纯虚根（实部为零）用s=jωs=jω代入特征方程可得代入特征方程可得8/31/202433 解解虚虚部部方方程程可可得得角角频频率率ωωc c，，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；；用用ωωc c代代入入实实部部方方程程，，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。

对对如如何何选选择择合合适适的的系系统统参参数数、、使使系系统统处处于于稳稳定定的的工工作作状状态态有重要意义有重要意义8/31/202434例例 已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值及相应的开环根轨迹增益的临界值 令令s=jωs=jω并代入特征方程得并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为解解 系统特征方程是系统特征方程是解方程组得：解方程组得：8/31/202435 当当系系统统的的阶阶次次较较高高时时，，解解特特征征方方程程将将会会遇遇到到困困难难，，此此时时可可用用劳劳斯斯判判据据求求出出系系统统开开环环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点8/31/202436规律八规律八 根之和根之和 当当n-m≥2n-m≥2时时，，闭闭环环传传函函特特征征根根之之和和等等于于开开环环传传函所有极点之和函所有极点之和( (常数常数) )证明：证明：n-m≥2n-m≥2时，将开环传函表示的特征式展开后得：时，将开环传函表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：两式相等两式相等8/31/202437v当一些根随K*的增加而增加时，必有另一些根随K*的增加而减小。

v当K*变化时，随K*变化的n个闭环特征根的和具有常数性v在根轨迹图上表现为一些根轨迹分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸根轨迹的自平衡性)结论结论8/31/202438二、手工绘制根轨迹图示例二、手工绘制根轨迹图示例根轨迹的七条规律： 1 1 起起点点与与终终点点：：起起始始于于开开环环极极点点，，终终止止于于开开环零点；环零点； 2 2 连连续续性性、、对对称称性性和和分分支支数数：：根根轨轨迹迹连连续续且且对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数 3 3 实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹：：实实轴轴上上某某点点右右侧侧的的开开环环零零、、极极点点的的个个数数之之和和为为奇奇数数，，则则该该点点在在实实轴轴的的根根轨迹上；轨迹上；8/31/2024394 4 渐近线渐近线5 5 分离点分离点8/31/2024406 6 起始角和终止角起始角和终止角7 7 与虚轴的交点与虚轴的交点 将将 代代入入闭闭环环特特征征方方程程，，令令方方程程两两边边实部和虚部分别相等，求出实部和虚部分别相等，求出 。

8/31/202441⑵⑵根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益值值K* *的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向⑶⑶要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的K* *值值，，如如起起点点( (K* *→0)→0)，，终终点点( (K*→∞) )；；根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点d(d(K* *= =Kd d* *) )；；与与虚虚轴轴的的交交点点( (K* *= =Kr r* *) )还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点s s及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益K* *，，也也应应在在根根轨轨迹迹图图上上标标出出，，以便于进行系统的分析与综合以便于进行系统的分析与综合⑴⑴根根轨轨迹迹的的起起点点（（开开环环极极点点p pi i) )用用符符号号“×”“×”标标示示；；根根轨迹的终点轨迹的终点( (开环零点开环零点z zj j) )用符号用符号“o”“o”标示手工绘图时还需注意：手工绘图时还需注意：8/31/202442解解:(1)(1)根根轨轨迹迹起起始始于于P1=0,P2=-1,P3=-2P1=0,P2=-1,P3=-2三三个个极极点点, ,终止于无穷远处。

终止于无穷远处例例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图整的根轨迹图 8/31/202443系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K8/31/202444解解:(1)(1)根根轨轨迹迹起起始始于于P1=0,P2=-1,P3=-2P1=0,P2=-1,P3=-2三三个个极极点点, ,终止于无穷远处终止于无穷远处例例 已知系统的开环传递函数如下，试绘制该已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图系统完整的根轨迹图 (2)(2)该该系系统统有有三三条条根根轨轨迹迹在在s s平平面面上上三三条条根根轨轨迹连续且对称于实轴迹连续且对称于实轴 (3)(3)实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为实实轴轴上上0 0到到-1-1的的线线段段和和由由-2-2至实轴上负无穷远线段至实轴上负无穷远线段8/31/202445系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K8/31/202446当当k=0k=0时时⑷⑷渐渐近近线线：：求求出出根根轨轨迹迹三三条条渐渐近近线线的的交交点点位位置置和和它它们们与实轴正方向的交角。

与实轴正方向的交角当当k=1k=1时时当当k=2k=2时时8/31/202447系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]°+60°-60*K*K8/31/202448d d2 2=-1.58=-1.58不不在在实实轴轴的的根根轨轨迹迹上上，，舍舍去去；；实实际际的的分分离离点应为点应为d d1 1=-0.42=-0.425)(5)分离点：分离点：解方程：解方程：(6)(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角8/31/202449系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P-1-201d[s]°+60°-60*K*K8/31/202450其其中中 是是开开环环极极点点 对对应应的的坐坐标标值值，，它它是是根根轨轨迹的起点之一合理的交点应为迹的起点之一合理的交点应为 解虚部方程得解虚部方程得 (7)根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点：：用用s=jωs=jω代代入入特特征征方方程程并令方程两边实部和虚部分别相等：并令方程两边实部和虚部分别相等：8/31/202451系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P¬¥-1-201d¥®¥®[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*8/31/202452系统根轨迹图sj()01=*KP()03=P()02=P¬¥-1-201d¥®¥®[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*8/31/202453例例 已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下试试绘绘制制该该系系统统的的根根轨轨迹图。

迹图 解解 ⑴⑴根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点p p1 1=0=0、、p p2 2=-4=-4、、p p3 3=-2+4j=-2+4j、、p p4 4=-2-4j=-2-4j；终止于；终止于4 4个无限零点（没有有限零点个无限零点（没有有限零点) ) 8/31/2024540-48/31/202455例例 已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下试试绘绘制制该该系系统统的的根根轨轨迹图 ⑵⑵共有共有4 4个根轨迹分支，连续且对称于实轴个根轨迹分支，连续且对称于实轴 ⑶⑶实轴上的根轨迹是实轴上由实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-4-4的线段解解 ⑴⑴根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点p p1 1=0=0、、p p2 2=-4=-4、、p p3 3=-2+4j=-2+4j、、p p4 4=-2-4j=-2-4j；终止于；终止于4 4个无限零点（没有有限零点个无限零点（没有有限零点) ) 8/31/2024560-48/31/202457渐近线在横轴上的公共交点为渐近线在横轴上的公共交点为渐近线与横轴的夹角为渐近线与横轴的夹角为k k取取0 0、、l l、、2 2、、3 3时，分别为时，分别为45450 0、、1351350 0、、2252250 0、、3153150 0。

4)(4)渐近线渐近线: :8/31/2024580-2-48/31/202459(5)(5)分离点和分离角分离点和分离角经整理可得经整理可得求解上式可得三个分离点为求解上式可得三个分离点为 分离角分离角l=2时，8/31/2024600-2-48/31/202461(6)(6)起始角起始角复数极点复数极点p3和和p4的起始角的起始角0-48/31/2024620-2-48/31/202463(7)(7)与虚轴的交点与虚轴的交点用用s=jωs=jω代代入入特特征征方方程程并并令令方方程程两两边边实实部部和和虚虚部部分分别别相等：相等：8/31/2024640-2-48/31/2024650-2-48/31/2024661、函数命令调用格式： >> rlocus(num,den)三、三、MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹例 绘制如下开环传函的闭环系统的根轨迹8/31/202467解：MATLAB命令如下：>> num=conv([1 1.5],conv([1,2+j],[1 2-j]))>> den=conv([1 0],conv([1 2.5],conv([1 0.5+1.5*j],[1 0.5-1.5*j])))>> rlocus(num,den)8/31/202468ωn是是闭闭环环极极点点到到坐坐标标原原点点之之间间的的距距离离；；ωn与与负负实实轴轴夹角的余弦等于阻尼比夹角的余弦等于阻尼比ζ。

等等ωn线线是是以以原原点点为为圆圆心心的的一一系系列列圆圆；；等等ζ线线是是从从原原点出发的一系列射线点出发的一系列射线8/31/202469使用使用grid命令后的效果命令后的效果8/31/202470作业： 4-3 4-108/31/202471传函的MATLAB定义v传递函数以多项式和的形式给出 >> num=[b0,b1,b2,…bm]>> den=[a0,a1,a2,…an]>> g=tf(num,den)或>> g=tf([b0,b1,b2,…bm],[a0,a1,a2,…an])8/31/202472例 用MATLAB指令定义函数>> num=[1 2]>> den=[1 5 4 3]>> g=tf(num,den)或>> g=tf([1 2],[1 5 4 3])8/31/202473v传递函数以典型环节形式给出>> num=conv(conv(K,[t1 1]),[t2 t3 1])>> den=conv(conv([1 0],[T1 1]) ,[T2 T3 1])>> g=tf(num,den)或>> g=tf(conv(conv(K,[t1 1]),[t2 t3 1]), conv(conv([1 0],[T1 1]) ,[T2 T3 1]))8/31/202474例 用MATLAB指令定义函数>> num=conv(5,[5 1])>> den=conv( conv([1 0],[4 1]) ,[2 3 1])>> g=tf(num,den)或>> g=tf(conv(5,[5 1]),conv(conv([1 0],[4 1]),[2 3 1]))8/31/202475v传递函数分子和分母以零极点增益(zpk)形式给出 >> z=[z1,z2…zm]>> p=[p1,p2…pm]>> k=a>> g=zpk(z p k)8/31/202476例 用MATLAB指令定义函数>> z=[-2 -5]>> p=[0 -3 -6 -8 -4]>> k=5>> g=zpk(z,p,k)8/31/202477传递函数的zpk形式和多项式形式的相互转换vzpk形式转换为多项式形式 >> [num,den] = zp2tf([z],[p],k)8/31/202478转化为多项式的形式转化为多项式的形式例例 将将>> z=[25]>> p=[3684] >> k=5 >> [num,den] = zp2tf(z,p,k)8/31/202479v多项式形式转换为zpk形式 >> zpk=tf2zp(num,den)转化为多项式的形式转化为多项式的形式例例 将将>> [z p k]=tf2zp([1 2],[1 5 4 3])8/31/202480。