空气动力学基础第2章

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1、EXIT1/175EXIT2/175 2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法 根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。1 1、LagrangeLagrange方法（方法（拉格朗日方法，拉格朗日方法，质点法）质点法） 在该方法中

2、，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）律。（引出迹线的概念）2.1 2.1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体运动的方法EXIT3/1752.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT4/175因为质点的坐标位置是时间因为质点的坐标位置是时间 t 的函数，对于给定的流体质点的函数，对于给定的流体质点（a，b，c） ，速度表达式是：，速度表达式是：流体质点的加速度为：流体质点的加

3、速度为：2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。固定不变，即求导是针对同一流体质点的。EXIT5/1752.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT6/175其中，其中，x,y,z 为空间点的坐标。为空间点的坐标。t t 表示时间。表示时间。x.y.z.t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。x.y.z 给定，给定，t t 变化，表示不同时刻不同流体质点通

4、过同一空变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。间点的速度。t t 给定，给定， x.y.z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。空间点的速度，给定速度场。 ( (守株待兔，看门房式的工作方法守株待兔，看门房式的工作方法守株待兔，看门房式的工作方法守株待兔，看门房式的工作方法) )2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT7/175上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为间的流动参数在各点

5、的分布情况。这种描述法称为欧拉法。欧拉法。 请注意，注意，x,y,z,t 是四个独立是四个独立变数。如果不另外数。如果不另外赋以意以意义，则不能有不能有 这类的表达式。的表达式。 应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度该空间点的流体微团所具有的速度 。2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT8/175一个速度场 即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分以描绘出流场，例如下图就是用某时刻

6、下速度的空间分布描绘的一个速度场布描绘的一个速度场: 一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。念之内。 2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT9/175 如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定定常场常场，否则为，否则为非定常场非定常场，例如，定常速度场的

7、表达为：，例如，定常速度场的表达为：2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法拉格朗日方法与欧拉方法EXIT10/175 欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下欧拉观点下如何表达加速度？我们用如下4图来定性描述图来定性描述引起各处速度变化的原因：第引起各处速度变化的原因：第1图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B速速度不变；第度不变；第2图表示图表示A点与点与B点因水位下降引起速度同时减小；点因水位下降引起速度同时减小；第第3图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因管道收缩引起速度增加；点，因管道收缩引起速度增加；第第4图表示流体质点从图表示流体质点从A流到流到B点，因水位下降和管道收缩

8、引点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。起速度的变化。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT11/175 用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要用欧拉法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。第一，强调两点。第一，A（x，y，z）点上）点上 t 瞬时的流体微团的瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。第二，原在在 A 点的微团经点的微团经t 后到了后到了 B 点，若点，若 B 点的速度与点的速度与 A点的点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化

9、。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT12/175 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 设在设在 t 瞬时，位于瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速）点的一个微团具有速度度u，v，w。经。经t 时间后，该微团移到时间后，该微团移到令：令：经经t 之后，之后，u 变成变成 u+u:EXIT13/175将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得得此式右侧第一项是微团在此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变处其速度随时间的变化率，即化率，即当地加速度当地加速度。后三项是

10、由于微团流向速度不相同的。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度迁移加速度 。 注意上式并非全导数的表达（在注意上式并非全导数的表达（在高数高数中当复合函数中当复合函数只是一个自变量只是一个自变量 t 的函数时才有全导数），因为在欧拉观点的函数时才有全导数），因为在欧拉观点下下 x、y、z 等与时间等与时间 t 无关，不能写出无关，不能写出 dx/dt 的表达。的表达。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT14/175算子：算子： 往往用往往用 这样一个符号来表示。一个符号来表示。这个个导数称数称为随流随流体运体运

11、动的的导数，或称数，或称随体随体导数数、实质导数数或或物物质导数数。同理：同理： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT15/175 需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（个独立变量（x,y,z,t）的函数：）的函数： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式将上三式分别乘将上三式分别乘 再相加可得加速度表达的向量式：再相加可得加速度表达的向量式：其中，哈密顿算子：其中，哈密顿算子：EXIT16/175虽然，由于在欧拉观点下，虽然，由于在欧拉观点下，x,y,z,t 是四个独立变量，一般不能是四个

12、独立变量，一般不能写出写出 dx/dt 的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在物理上上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只物理上上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率称是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率称为随体导数。为随体导数。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT17/175因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，因此欧拉法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得据

13、此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得到质点的加速度后，再转化为欧拉法的加速度表达。到质点的加速度后，再转化为欧拉法的加速度表达。例如在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体例如在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体质点的加速度为：质点的加速度为： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式 欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时欧拉法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：EXIT18/175代入即得欧拉法下的加速度表达代入即得欧拉法下的加速度表达由于拉

14、格朗日法与欧拉法下的速度关系为：由于拉格朗日法与欧拉法下的速度关系为： 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT19/175 譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。当地加速度和迁移加速度都是零。 迁移加速度中的任何一项都是迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导速度分量与同一方向的导数之乘积数之乘积， 或称或称沿速度方向的导数。沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也将为零才可能存在迁移加速度，因此也将 称为

15、对流导数。称为对流导数。 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT20/175根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。根据上述分析可得出以下各图中欧拉法的加速度表达式。 2.1.2 2.1.2 欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式欧拉法的加速度表达式EXIT21/175 人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向一个微小的距离到达

16、邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线称为的空间曲线称为流线流线，这样的线可以画无数条。，这样的线可以画无数条。 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量时间时间 t 固定固定EXIT22/175或流线上的切线切线方向数与速度方向数对应成比例，表或流线上的切线切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微分的关系则有为微分的关系则有此式称为此式称为流线微分方程。流线微分方程

17、。设流线上位移向量：设流线上位移向量：又设速度向量：又设速度向量：流线与速度方向相切即：流线与速度方向相切即：2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT23/175 流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：以下性质：（1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。在非定常流动中

18、，流线和迹线一般是不重合的。非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。EXIT24/1752.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT25/1752.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT26/1752.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT27/175例例. 设有一个二维非定常流场其速度分布是设有一个二维非定常流场其速度分布是 ：求求t=0时过（时过（1，1）的流线和迹线。问定常时）的流线和迹线。问定常时 结果如何？结果如何？ 解：解：1. 求

19、流线，由流线方程（其中求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看）固定当常数看） ：积分得任一时刻积分得任一时刻 t 流线族为：流线族为：t=0时刻流线族为：时刻流线族为： （这也是定常流流线族）（这也是定常流流线族）2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT28/1752.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT29/1752.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT30/175 与流线密切相关的，还有与流线密切相关的，还有流管流管和和流流面面这样两个概念。这样两个概念。 流管是由一系列相邻的流线围成的。流管是由一系列相邻的流线围

20、成的。经过一条有经过一条有流量流量穿过的封闭围线的所有穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线流线，如图，经过围线ABCDA（非流线）的各条流线便围成一（非流线）的各条流线便围成一条流管。条流管。 图2-6 流管（a）流线组成流管侧壁； （b）没有流量由流管侧壁流出 由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。会越过管壁流进去。 2.1.3 流线、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT31/175 流面流面是由许多

21、相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面 。 流量流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面述流管中任意截面S的体积流量的体积流量 、质量流量、质量流量 和重量流和重量流量量 可分别表为可分别表为:其中，其中， 是速度向量，是速度向量， 是密度，是密度， 是微面积法线向量是微面积法线向量2.1.3 流线、

22、流管、流面与流量流线、流管、流面与流量EXIT32/175 2.2 2.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团运动的分析流体微团运动的分析 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式 在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体）在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：，它们的基本运动形式可表示为： 质点（无体积大小的空间点）质点（无体积大小的空间点）: 只有平移运动只有平移运动 （平（平动）；动）； 刚体（具有一定体积大小，但无变形）刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；外，还有整体

23、的旋转运动（转动）；EXIT33/175 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT34/175 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT35/175 为便于分析，在流场中任取一平面微团为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。分析。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。根据台劳级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT36/175 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT37/175同理，在同理，在y方向的线变形速率为：方向的线变形速率为：

24、平面微团的面积变化率为：平面微团的面积变化率为： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT38/175（3）角变形速率与旋转角速度）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，在微分时段内，AB与与AC两两正交边夹角的变化与微分平面的正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为边的偏转角度为（逆时针为正）：（逆时针为正）： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT39/175解出可得：解出可得： 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT40/175 2.2.1 流体

25、微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT41/175 对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。式。此处不再推导，以下直接给出。 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT42/175 2.2.1 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式EXIT43/175 德国物理学家德国物理学家 HelmholtzHelmholtz（1821-18941821-1894）18581858年提出

26、年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，考虑相距微量的任意两点设在流场中，考虑相距微量的任意两点 M0 和和 M1，在，在 速度为速度为 ： 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理EXIT44/175右侧可按变形率及角速度的形式改写为：右侧可按变形率及角速度的形式改写为：将相邻点速度分量台劳展开：将相邻点速度分量台劳展开： 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理EXIT45/175同理：同理： 各式第一项和各式第一项和M0点速度相同是微团的整体移动速度。第二点速度相同是微团的整体移动速

27、度。第二项是线变形率，第三、四项是角变形率；第五、六项是角项是线变形率，第三、四项是角变形率；第五、六项是角速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形 。 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理EXIT46/175 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理微团运动平动线变形（拉伸）角变形角速度（转动）EXIT47/175 还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速还应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整

28、个刚体都成立，因此它是度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理整体性定理；而；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。旋转角速度不同。 2.2.2 流体微团速度分解定理流体微团速度分解定理EXIT

29、48/175 2.2.3 散度及其意义散度及其意义 三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量 的散度，符号为的散度，符号为 ，即，即 散度在流动问题中的意义是微团的散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。（单位体积在单位时间内的增长量）。为说明此点可取一简单的矩形微元六为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别面体来看，设六面体的三边原长分别是是x, y, z，原来体积是原来体积是（xyz），经过），经过t 时间后三个边时间后三个边长分别变为：长分别变为：EXIT49/

30、175则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为： 2.2.3 散度及其意义散度及其意义EXIT50/175可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。如果是密度有变

31、化的流动，那么散度一般地不等于零。 2.2.3 散度及其意义散度及其意义EXIT51/175 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数 微团的瞬时角速度微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之是上述三个方向角速度分量之和，和，这个值在向量分析里记为这个值在向量分析里记为 ，或，或 ，称，称为为 的旋度：的旋度：一个流场，如果各处的一个流场，如果各处的 基本上不等于零，这种流场基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各处的处的 都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流。称无旋

32、流。EXIT52/175在数学分析里，上式是在数学分析里，上式是式式成为全微分的必要和充分条件成为全微分的必要和充分条件 这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个个 的条件。这个条件就是的条件。这个条件就是 ： 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数EXIT53/175现在既是无旋流，我们可令现在既是无旋流，我们可令代表这个全微分：代表这个全微分：名为速度位或称位函数，为标量名为速度位或称位函数，为标量。；这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如个方向的分量，例

33、如 ： 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数SxyzuVvwvsEXIT54/175 位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位无旋流存在速度位，则沿一条连接，则沿一条连接A、B两点的曲线进行两点的曲线进行速度的线积分结果只与二端点的速度的线积分结果只与二端点的 值之差有关而与积分路值之差有关而与积分路径无关：径无关： 一个无旋流一个无旋流场一旦知道了它的位函数一旦知道了它的位函数 的具的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。来。 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函

34、数EXIT55/175例例. 设有一个二维流场其速度分布是设有一个二维流场其速度分布是 , 问问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？微元如何变形？方程是什么？微元如何变形？可见流动是无旋的，应该有速度位函数可见流动是无旋的，应该有速度位函数存在。存在。 解解: 1. 计算计算z： 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数EXIT56/175积分得：积分得： （此处积分常数取为零（此处积分常数取为零 ）3. 求流线：由流线方程求流线：由流线方程2. 求求： 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数EXIT57/175积分得积分得

35、常数常数C取一系列的值，得流线是一系列双曲线。取一系列的值，得流线是一系列双曲线。 4. 线变形率：由形率：由 及及，得：，得： 5. 角变形率：角变形率： 6. 散度：散度： 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数EXIT58/175ABCDABCDDCABxy0 考察矩形微团考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；右下方，由于流动无旋微团不转动；x方向线段有拉伸，方向线段有拉伸，y方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变

36、。外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。 需要指出，一般并不是先有了速度后求需要指出，一般并不是先有了速度后求，而是恰恰，而是恰恰相反，先求出相反，先求出，然后再确定速度分布的，然后再确定速度分布的 。 2.2.4 旋度和位函数旋度和位函数EXIT59/175连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。理想流体和粘性流体。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。现

37、在流场中划定一个边长分别为现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz 的矩形六面体，的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过，如下图被流体所通过，如下图: 2.3 理想流体运动微分方程组理想流体运动微分方程组EXIT60/175假设六面体假设六面体:中心点坐标为：中心点坐标为：x，y，z中心点三个分速：中心点三个分速：u，v，w中心点密度：中心点密度：t 瞬时通过垂直于瞬时通过垂直于x 轴单位面积的流体轴单位面积的流体流量为流量为u ,称称密流密流;xzy 2.3.1 连续方程连续方程EXIT61/17

38、5在在dt 时段内，从时段内，从ABCD面流出的流体质量为：面流出的流体质量为： 2.3.1 连续方程连续方程EXIT62/175 2.3.1 连续方程连续方程EXIT63/175根据质量守恒定律，在根据质量守恒定律，在 dt 时段内从侧面净流入微分六面时段内从侧面净流入微分六面体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量：的引起增量： 2.3.1 连续方程连续方程EXIT64/175上式两边同除以上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，整理得到微分形式的连续方程，即：即： 2.3.1 连续方程连续方程EXI

39、T65/175 等于微元控制体上单位体积流出的质量流量等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，因为有高斯公式：的原因在于，因为有高斯公式：（显然当密度不变时，可将散度（显然当密度不变时，可将散度 看成单位体看成单位体积流出的体积流量）积流出的体积流量） 连续方程连续方程 的物理意义是：的物理意义是：流体微元控制流体微元控制体密度的局部增长率体密度的局部增长率 与微元控制体单位体积流出的质与微元控制体单位体积流出的质量流量量流量 之和等于零。之和等于零。 2.3.1 连续方程连续方程EXIT66/175连续方程连续方程 的物理意义是：的物理意义是：流体流体微元的相对密度微元的相对密度增

40、加率与相对体积膨胀率之和为零。增加率与相对体积膨胀率之和为零。 2.3.1 连续方程连续方程EXIT67/175连续方程是流动首先应该满足的基本关系。连续方程是流动首先应该满足的基本关系。例如，速度场：例如，速度场：满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。则不能够代表一个三维不可压缩流动。则不能够代表一个三维不可压缩流动。而速度场：而速度场： 2.3.1 连续方程连续方程EXIT68/175例：设不可压缩流体在例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿平面内流动，速度沿 x 轴方向轴方向的分量的分量 u=Ax (A 为常数为常数

41、)，求速度在，求速度在 y 轴方向的分量轴方向的分量 v。解：对于不可压缩流动，密度的随体导数解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 由微分由微分形式连续方程：形式连续方程： 2.3.1 连续方程连续方程EXIT69/175 2.3.1 连续方程连续方程EXIT70/175而均值的定义是0，即密度在空间上处处均匀，但不能保证随时间不变化，是哈密顿算子：不可压、均值与密度为常数的关系不可压、均值与密度为常数的关系*这几个概念之间是有差别的不可压 指的是每个质点的密度在流动过程中不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如

42、定常变密度平行流动：只有既为不可压缩流体，同时又是均值时密度才处处都是同一常数：由不可压： ，均值： 0，从而有 ，于是 c，即密度既不随时间变化也没有迁移变化。 2.3.1 连续方程连续方程EXIT71/175 在流场中划出一块三边分别在流场中划出一块三边分别的为的为dx，dy，dz的微元矩形六面的微元矩形六面体的流体来看，不计粘性力，表体的流体来看，不计粘性力，表面力就没有切向力，仅只法向力面力就没有切向力，仅只法向力（压力）一种，而彻体力是可以（压力）一种，而彻体力是可以有的有的 。xyzPdxdydz 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘

43、性前提下推欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。EXIT72/175假设：假设：六面体体积：六面体体积：d=dxdydz中心点坐标：中心点坐标： x ,y ,z中心点速度：中心点速度：u ,v, w中心点加速度：中心点加速度：中心点压强：中心点压强：p中心点密度：中心点密度：中心点中心点处沿三个方向的沿三个方向的单位位质量量彻体力：体力： fx, fy, fzxyzPdxdydz微元六面体的表面力可以用中心点微元六面体的表面力可以用中心点处压强强的一的一阶台台劳展开表示展开表示, 如如图为 x 方向方向

44、彻体力，其他方向同理可体力，其他方向同理可得。得。 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT73/175由于没有剪应力，并且其他面上的压力在由于没有剪应力，并且其他面上的压力在 x 方方向均无投影，从而向均无投影，从而x方向的表面力为：方向的表面力为：x 方向的彻体力为：方向的彻体力为：根据牛顿定律：根据牛顿定律：x 方向合外力等于质量乘以方向合外力等于质量乘以x方向方向加速度，得加速度，得 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT74/175两边同除以微元体积两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代，令其趋于零，并代入加速度的表达，得入加速度的表

45、达，得同理可以写出同理可以写出 y 和和 z方向的表达：方向的表达： 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT75/175 欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。我们不妨把速度的变化和彻和彻体力之间的关系。我们不妨把速度的变化和彻体力的存在看作是压强之所以有变化的原因体力的存在看作是压强之所以有变化的原因 ，这两，这两个使压强起变化的因素是彼此独立的，对于压强的个使压强起变化的因素是彼此独立的，对于压强的作用是分开来计算的作用是分开来计算的 。 对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很对于如图的一维理想流动，利用牛顿

46、定律很容易证明欧拉方程为：容易证明欧拉方程为：s 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT76/175理想流欧拉方程理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加还可以有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式：速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式： 式中式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：的式子： 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT77/175得到如下形式的理想流欧拉方程称为得到如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯格罗米柯兰姆方程兰姆方程”：该方程的向量形式为该方程的向量

47、形式为 ，其，其中微团旋转角速度的中微团旋转角速度的2倍倍 也称为也称为涡量涡量 。 这个方程本质上这个方程本质上仍是理想流体运动方程。其好处是在仍是理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。 2.3.2 Euler运动微分方程组运动微分方程组EXIT78/175对于理想对于理想正压正压流体，在质量力流体，在质量力有势有势条件下，假设条件下，假设为为定常定常流动，有：流动，有： 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义这样格罗米柯方程变为：这样格罗米柯方程变为：现在流场中，任取一条光滑曲线现在流

48、场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投，并将上式投影到曲线上，有：影到曲线上，有：EXIT79/175如果上式右边项为零，有如果上式右边项为零，有:这样在曲线上，下式成立这样在曲线上，下式成立:这就是这就是Bernoulli积分积分（1738年），或年），或伯努利方程伯努利方程。上。上式表明，式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物

49、理意义积分方程及其物理意义EXIT80/175 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT81/175 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT82/175 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT83/175 事实上沿流线的伯努利方程也可由一维流欧拉事实上沿流线的伯努利方程也可由一维流欧拉方程：方程： 在定常在定常 和重力场条和重力场条件下件下 （其中（其中 是是 g 与与 s 夹角的余弦）夹角的余弦），沿一维流线，沿一维流线 s 方向积分得到。（补充习题）方向积分得到。（补充习题

50、） 伯努利方程各项具有能量的量纲，例如伯努利方程各项具有能量的量纲，例如 代表单位质量流体的动能，代表单位质量流体的动能， 代表单位质量流体代表单位质量流体的势能，的势能， 代表单位质量流体的压力势能或流动代表单位质量流体的压力势能或流动功。功。 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT84/175如果将一维流的伯努利方程写成高度的量纲，并如果将一维流的伯努利方程写成高度的量纲，并且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示一且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示一维流伯努利方程的几何意义：维流伯努利方程的几何意义：y：代表所论流体质点的高度称为高度水头代表

51、所论流体质点的高度称为高度水头p/: 代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上2项合项合称静力水头称静力水头V2/2g : 代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头H : 代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT85/175y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一维流管表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一

52、维流管的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线）水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线） 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义积分方程及其物理意义EXIT86/175伯努利方程的实际例子：伯努利方程的实际例子：收缩渠道及其测压管结构收缩渠道及其测压管结构收缩使流速增加，而流速增加处压收缩使流速增加，而流速增加处压强降低强降低(由于渠道上下游高度相同，故静由于渠道上下游高度相同，故静压管的高度直接反映静压头压管的高度直接反映静压头) 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用E

53、XIT87/175例例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度求如图光滑容器中小孔的出流速度 V，假设，假设小孔中心距自由面深为小孔中心距自由面深为 h。Vhpapa解解. 由于是小孔出流，流动可以假由于是小孔出流，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。设是定常的。假设不计粘性损失。从而：从而：（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值 ， 其中其中 cv 叫做速度系数，实验表明叫做速度系数，实验表明 cv0.97） 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT88/175测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上

54、测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图：式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图： 总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0 ，而，而静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根一根U形测压计的两支上，看二者的差（形测压计的两支上，看二者的差（p0- p）就行了。速度）就行了。速度V用伯努利方程用伯努利方程计算：计算：（在实际流动中由于有损失故左式还要乘上一

55、个修正系数）风速管的结构风速管的结构氢气泡显示的来流在风速管头部滞止情况氢气泡显示的来流在风速管头部滞止情况 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT89/175直匀流对机翼的绕流 例例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压直匀流的静压 pp101200牛牛/米米2，流速，流速=100米米/秒。已知秒。已知A，B，C三点的速度分别是三点的速度分别是VA=0，VB =150米米/秒，秒，VC=50米米/秒，空气在海平面的秒，空气在海平面的=1.255千克千克/米米3 。假设流动无旋，求假设流动无旋，求A、B、C三点的压强。三点的

56、压强。解解: 流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据远前方的条件得：远前方的条件得： 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT90/175这就是通用于全流场的常数。这就是通用于全流场的常数。于是：于是： 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT91/175例例: 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其其V 正比于半径正比于半径 r，即，即V=kr，如图。试证伯努，如图。试证伯努利常数利常数 C 是是 r 的函数。的函数。证证: 先沿着流线写出伯努利方程先沿着流线写出伯努利方程 一种旋转流动

57、 对半径取导数：对半径取导数： 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT92/175由于法向压力差必须平衡微团的离心力，故有由于法向压力差必须平衡微团的离心力，故有 左侧的第二项是左侧的第二项是AD面和面和BC面上的面上的压力在压力在 r向的投影。略去微量的高向的投影。略去微量的高次项，得次项，得代入代入的式子，并将的式子，并将代入，得：代入，得：一种旋转流动 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT93/175V=kr 的的速度分布就像刚体转动一样，可以证明速度分布就像刚体转动一样，可以证明这个流动是有旋流（这个流动是有旋流（=k） ，这个结果说明在有，这个结果说

58、明在有旋流场上，伯努利常数跨流线是要变的。旋流场上，伯努利常数跨流线是要变的。等角速度旋转容器中的流动是有等角速度旋转容器中的流动是有旋的，跨流线总能量改变旋的，跨流线总能量改变涡量表显示等角速度旋转容器中涡量表显示等角速度旋转容器中的流动是有旋的的流动是有旋的 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT94/175如果速度场是：如果速度场是：容易证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变容易证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的：的：该流场实际上是一个无涡流场，能量方程积分常数该流场实际上是一个无涡流场，能量方程积分常数不变。因为：不变。因为： 2.3.4 Bernoulli方

59、程应用方程应用EXIT95/175旋涡的速度分布与压力分布的关系：旋涡的速度分布与压力分布的关系：旋涡可以分为像刚体一样转动的涡核和被涡旋涡可以分为像刚体一样转动的涡核和被涡核诱导的速度场，从旋涡外至涡核中心，压核诱导的速度场，从旋涡外至涡核中心，压强是一路降低的，其压强分布如图所示强是一路降低的，其压强分布如图所示rV rVk / rr0p涡核内为有旋流，跨流线不满足伯努利方程，沿径向速度越大压力越大涡核外为无旋流，跨流线也满足伯努利方程，从而沿径向速度越小压力越大右边的例子同时还说明了，转弯的流体不一定必然是有旋流转弯的流体不一定必然是有旋流 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用

60、EXIT96/175平行渠道中两股速度不同的流动是有旋有旋的，跨流线总能量改变跨流线总能量改变平行渠道中的流动由于在法向存在速度梯度因而是有旋的，说明有旋流不一定要转弯说明有旋流不一定要转弯有旋流时跨流线伯努利常数（总能量）发生改有旋流时跨流线伯努利常数（总能量）发生改变的其他例子：变的其他例子：p0p上右图中，总静压管的结构及其总压、静压和动压之间的关系如右图所示：静压管的高度表示静力水头 p/+y , 总压管的高度表示总水头 p0 /, 二者之差为动压头V2/2g 2.3.4 Bernoulli方程应用方程应用EXIT97/175 2.4 2.4 流体运动的积分方程流体运动的积分方程流体运

61、动的积分方程流体运动的积分方程 2.4.1 基本概念基本概念 流流体体动动力力学学是是研研究究产产生生流流体体运运动动的的原原因因。为为此此，我们必须解决三个方面的问题：我们必须解决三个方面的问题： （1）流流体体的的运运动动学学问问题题；（2）作作用用于于流流体体上上各各种种力力的的特特征征（如如前前述述）；（3）控控制制流流体体运运动动的的普普遍遍规规律律（质质量量守守恒恒、牛牛顿顿第第二二定定律律（动动量量守守恒恒）、动动量量矩矩守守恒恒、能能量量守守恒恒等等）；流流体体动动力力学学方方程程是是将将这这些些描描述述物物质质运运动动的的普普遍遍规规律律，应应用用于于流流体体运运动动的的物物

62、理理现现象象中中，从从而而得得到到联联系系流流体体运运动动各各物物理理量量之之间间的的关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程。关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程。EXIT98/1751、系统、系统(System)定定义义：系系统统是是指指包包含含着着确确定定不不变变物物质质的的任任何何集集合合体体，称称为为系系统统。在在流流体体力力学学中中，系系统统是是指指由由任任何何确定流体质点组成的团体。确定流体质点组成的团体。 2.4.1 基本概念基本概念EXIT99/175ttxyz 2.4.1 基本概念基本概念EXIT100/1752、控制体（、控制体（Control Volume）定定

63、义义：被被流流体体所所流流过过，相相对对于于某某个个坐坐标标系系而而言言，固固定定不不变变的的任任何何体体积积称称为为控控制制体体。控控制制体体的的边边界界，称称为为控控制制面面。控控制制体体是是不不变变的的，但但占占据据控控制制体体的的流流体体质质点点随随时时间间是是变变化化的的。控控制制体体的的形形状状可可根根据据需需要要而而定。定。 2.4.1 基本概念基本概念xzyxyzs1s2nEXIT101/175 2.4.1 基本概念基本概念EXIT102/175 针针对对质质量量 m 确确定定的的封封闭闭系系统统，上上述述基基本本物物理理定律可以分别表述为：定律可以分别表述为：（1 1）质量方

64、程：）质量方程： 表示：系统表示：系统 中的质量中的质量 m 不随时间变化。不随时间变化。（2）动量方程：动量方程： 表示：系统受外界作用的合外力等于系统的动量表示：系统受外界作用的合外力等于系统的动量对时间的变化率。对时间的变化率。 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程EXIT103/175 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程EXIT104/175 有许多流体力学问题往往只关心物体附近确定有许多流体力学问题往往只关心物体附近确定区域内的速度、作用力等，并不关心具体流体系统区域内的速度、作用力等，并不关心具体流体系统的时间历程，拉格朗日型方程对于分析、研究流场的时间历

65、程，拉格朗日型方程对于分析、研究流场来说并不方便，因此实用的是以来说并不方便，因此实用的是以控制体控制体为研究对象为研究对象的的 Euler型积分方程型积分方程。 2.4.1 Lagrange型积分方程型积分方程EXIT105/175 下面我们考察如何将系统中的物理量下面我们考察如何将系统中的物理量 N （可（可以是质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随以是质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随时间的变化率时间的变化率 ，用关于控制体的描述方法表，用关于控制体的描述方法表达出来。达出来。EXIT106/175则系统则系统中的物理量中的物理量N可以用下述体积分（三重可以用下述体积分（三重积分）表

66、示，其中积分）表示，其中是系是系统占据的空占据的空间： 对于系统对于系统中的物理量中的物理量N，假设每单位质量，假设每单位质量中含有物理量为中含有物理量为：EXIT107/175设设 t 时刻系统位于如图位置（虚线）时刻系统位于如图位置（虚线） ，t+t 时刻刻系系统运运动到了新位置（到了新位置（实线），在），在这过程中系程中系统中的物理量中的物理量 N 随随时间的的变化率可以写化率可以写为：txyzttA B C EXIT108/175注意到当注意到当 t 趋于趋于0时，系统将动而未动，刚好处于虚时，系统将动而未动，刚好处于虚线表示的空间中，将这个空间设为控制体线表示的空间中，将这个空间设为

67、控制体0 0 ，其外，其外表面积为表面积为s。从而上述表达的第一项可以写为：。从而上述表达的第一项可以写为：EXIT109/175从而第二项可以写为：从而第二项可以写为：xyzts1s2ntxyzttA B C 如图用虚线将控制体如图用虚线将控制体0 的外表面的外表面 S 划分为上游表面划分为上游表面 S1 和下游表面和下游表面 S2 。EXIT110/175(以下我们将外法向的下标略去，均指外法向以下我们将外法向的下标略去，均指外法向)从而：从而：EXIT111/175（以下将（以下将0 中的下标中的下标0去掉，用去掉，用表示控制体体积）表示控制体体积）这就是这就是雷诺输运方程雷诺输运方程。

68、它的意义是：。它的意义是：流体系统物理量流体系统物理量 N 随时间的增加率，等于控制体随时间的增加率，等于控制体 内的物理量随时内的物理量随时间的变化率加上净流出控制面间的变化率加上净流出控制面 S 的物理量流量的物理量流量。EXIT112/175 雷诺输运方程将针对系统的表达转化为针对雷诺输运方程将针对系统的表达转化为针对控制体的表达，这在研究流动问题时带来了极大控制体的表达，这在研究流动问题时带来了极大方便。后者的表达往往容易写出，尤其是在定常方便。后者的表达往往容易写出，尤其是在定常情况下，只需写出流过控制面上的情况下，只需写出流过控制面上的物理量流量物理量流量：EXIT113/175由

69、质量守恒：由质量守恒：这就是这就是积分形式的质量方程积分形式的质量方程。其意义为：。其意义为：控制体中控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。xyzts1s2n Euler型积分方程是对控制体建立的积分方程。型积分方程是对控制体建立的积分方程。利用利用Reynolds输运方程，可很容易获得。输运方程，可很容易获得。（1）质量方程）质量方程EXIT114/175由动量守恒原理得：由动量守恒原理得：意义为：意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量增加率加上净流出控制面的动量流量。积分形

70、式动量方程积分形式动量方程EXIT115/175由动量矩守恒原理得：由动量矩守恒原理得：积分形式动量矩方程积分形式动量矩方程意义是：意义是：控制体所受合外力矩等于控制体中动量矩的增控制体所受合外力矩等于控制体中动量矩的增加率加上净流出控制面的动量矩流量。加率加上净流出控制面的动量矩流量。选定控制体后，可用上式求物体受到的力矩或力的作用点等。选定控制体后，可用上式求物体受到的力矩或力的作用点等。EXIT116/175pdsn由能量守恒原理得：由能量守恒原理得：积分形式能量方程积分形式能量方程意义是：意义是：外界对控制体的传热率和净输入功率等于控制外界对控制体的传热率和净输入功率等于控制体中能量的

71、增加率加上净流出控制面的能量流量。体中能量的增加率加上净流出控制面的能量流量。EXIT117/175我们将系统在初始时刻占据的空间设我们将系统在初始时刻占据的空间设为控制体，因此在初始瞬间上述对系为控制体，因此在初始瞬间上述对系统输入的加热率和做的功率都可以看统输入的加热率和做的功率都可以看成是对控制体的加热率和功率。成是对控制体的加热率和功率。pdsn其中，外界对系统做功还可以细分为：流体机械其中，外界对系统做功还可以细分为：流体机械通过轴转动传递的功率称为轴功率（有正负），通过轴转动传递的功率称为轴功率（有正负），表面力对系统做功以及彻体力对系统做功。表面力对系统做功以及彻体力对系统做功。

72、 设输入功为正，输出功为负，则水泵、风机设输入功为正，输出功为负，则水泵、风机等输入正功，涡轮输入负功：等输入正功，涡轮输入负功：EXIT118/175表面力做功还可以分为法向应力做功和切向应表面力做功还可以分为法向应力做功和切向应力做功。法向应力做功（率）为：力做功。法向应力做功（率）为：切向应力做功（率）为：切向应力做功（率）为：S为控制体的外表面积为控制体的外表面积EXIT119/175（1）如果控制面的部分表面为旋转轴表面，则这）如果控制面的部分表面为旋转轴表面，则这部分表面上的剪应力做的功率已归入轴功率之中；部分表面上的剪应力做的功率已归入轴功率之中；（2）部分控制面可能为静止固体表

73、面，因为）部分控制面可能为静止固体表面，因为 V = 0，从而上述剪切应力做功为零；，从而上述剪切应力做功为零；（3）控制面表面是流体进出的通道，此时可以通）控制面表面是流体进出的通道，此时可以通过适当选择控制面方位和形状使控制面和流体速度过适当选择控制面方位和形状使控制面和流体速度相垂直，即剪应力与速度相垂直，从而上述剪切应相垂直，即剪应力与速度相垂直，从而上述剪切应力做功为零；力做功为零；总之，可以适当选择控制面使剪应力在控制面上做总之，可以适当选择控制面使剪应力在控制面上做的功（率）为零的功（率）为零：EXIT120/175彻体力做功（率）为：彻体力做功（率）为：为控制体的体积为控制体的

74、体积设彻体力有势：设彻体力有势： ，有：，有：对于定常流动，第二项由连续方程为零。第一项由对于定常流动，第二项由连续方程为零。第一项由高斯公式：高斯公式：EXIT121/175从而：从而：整理得：整理得：上式就是常用的上式就是常用的积分形式的能量方程积分形式的能量方程。代入：代入：EXIT122/175积分形式质量方程的应用积分形式质量方程的应用值得指出：值得指出：质量方程描述流体的质量守恒条件，与流体是质量方程描述流体的质量守恒条件，与流体是否受力无关，与流体属性是否有粘性也无关。否受力无关，与流体属性是否有粘性也无关。积分形式质量方程不描述单独点的细节，它用积分形式质量方程不描述单独点的细

75、节，它用在控制体上，甚至允许控制体包含流动不连续在控制体上，甚至允许控制体包含流动不连续的地方，例如以后要介绍的激波等处。的地方，例如以后要介绍的激波等处。EXIT123/175例：一段输气管道直径例：一段输气管道直径150mm，在相距，在相距8m的两个截的两个截面上同时量取数据，流入、流出的重量流量分别为面上同时量取数据，流入、流出的重量流量分别为2N/s和和1.8N/s，问这段管道内气体的平均密度随时间，问这段管道内气体的平均密度随时间的变化率有多大？的变化率有多大？解：这是一个非定常问题，流入与流出流量不相等解：这是一个非定常问题，流入与流出流量不相等必然造成控制体内质量增加。取这段管道

76、内空间为必然造成控制体内质量增加。取这段管道内空间为控制体，由积分形式质量方程：控制体，由积分形式质量方程：EXIT124/175例：一容积固定为例：一容积固定为 的容器装的容器装满盐水，初始水，初始时刻密刻密度度为 i i，纯水（水（设水密度水密度为w w ）流入容器并与）流入容器并与其中其中盐水充分混合，水充分混合，设流流动定常，容器内液位恒定常，容器内液位恒定，流入与流出的体定，流入与流出的体积流量不流量不变Q Q1 1Q Q2 2Q Q。求。求（1 1）容器内液体混合物的密度）容器内液体混合物的密度变化率；（化率；（2 2）密）密度度变为时（i i w w）所需的）所需的时间。解（解（

77、1）：划容器内部为控制区。由积分形式质）：划容器内部为控制区。由积分形式质量方程：量方程：EXIT125/175解（解（2）：由上式：）：由上式：EXIT126/175关于积分形式质量方程关于积分形式质量方程 的进一的进一步讨论：步讨论：（1） 当密度等于常数时，当密度等于常数时，c (必然必然为不可不可压)，由上式得：由上式得：Q1S1S2Q2上述积分可用流入与流出的体积流上述积分可用流入与流出的体积流量量Q表为：表为：或或说明：说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量当密度等于常数时，流入控制体的体积流量与流出的体积流量相等与流出的体积流量相等EXIT127/175（2） 当流动为定常

78、可压时，当流动为定常可压时，有：有：设质量流量用设质量流量用 表示，得到表示，得到或或说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流出的质量流量相等。出的质量流量相等。注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。EXIT128/175说明：说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将在密度不变的一维流动中，流管的粗细将反映流速小大反映流速小大。（3）对于一维流动，控制体如图）对于一维流动，控制体如图sV1V221A1A2 一维流动中，当密度等于常数一维流动中，当密度等于常数时，流入的体积流量等于流出时，流入的体

79、积流量等于流出的体积流量，可表为的体积流量，可表为EXIT129/175 一维流动中，当定常可压时，流入的质量流一维流动中，当定常可压时，流入的质量流量等于流出的质量流量，可表为：量等于流出的质量流量，可表为：说明：说明：在定常一维可压流动中，密度在定常一维可压流动中，密度、速度、速度 V 与截面积与截面积 A 的乘积为常数的乘积为常数。 对对 式取微分，可以得到定常一维流动质式取微分，可以得到定常一维流动质量方程的微分形式：量方程的微分形式：EXIT130/175积分形式动量方程与动量矩方程的应用积分形式动量方程与动量矩方程的应用 积分形式动量方程中的合外力指流体受到的积分形式动量方程中的合

80、外力指流体受到的所有形式的外力之和，可以包含彻体力、法向表所有形式的外力之和，可以包含彻体力、法向表面力和切向表面力，控制体中的物体对于流体的面力和切向表面力，控制体中的物体对于流体的作用力也可以单独考虑。作用力也可以单独考虑。 一般来说有两类控制体可供选择：一类是物一般来说有两类控制体可供选择：一类是物体不包括在所取控制体之内，而物体的部分壁面体不包括在所取控制体之内，而物体的部分壁面构成控制面的一部分，例如管道中的流动；另一构成控制面的一部分，例如管道中的流动；另一类是控制体将流过的物体也包括在内，例如绕机类是控制体将流过的物体也包括在内，例如绕机翼的流动。翼的流动。EXIT131/175

81、积分形式的动量方程用于定常、一积分形式的动量方程用于定常、一维管流控制体时（如图），可得：维管流控制体时（如图），可得：p1、1、V1A1A2xy12p2、2、V2方程左端是控制体内流体所受合力在相应坐标系的方程左端是控制体内流体所受合力在相应坐标系的投影。投影。EXIT132/175设两端的压强分别为设两端的压强分别为p1、p2，管壁对流体的作用力，管壁对流体的作用力为投影分别为为投影分别为Rx、 Ry ，不计彻体力，从而动量方程，不计彻体力，从而动量方程可写为（可写为（x方向）：方向）：即：即：管壁受力大小相等方向相反。当求管壁所受纯由流动管壁受力大小相等方向相反。当求管壁所受纯由流动引起

82、的反作用力例如固定管道的螺栓受力时，由于大引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力时，由于大气压无合力可不考虑，上式中压强用表压。气压无合力可不考虑，上式中压强用表压。EXIT133/175 将控制体外部取得离机翼足将控制体外部取得离机翼足够远，这样即使翼面附近有粘性够远，这样即使翼面附近有粘性力，到了力，到了S面上也没有粘性力了，面上也没有粘性力了，只有压力的作用，从而只有压力的作用，从而x方向表面方向表面力为：力为： 对于如图的第二类控制体（机翼被包含在控对于如图的第二类控制体（机翼被包含在控制体之内），主要目的是求物体（机翼）受力。我制体之内），主要目的是求物体（机翼）受力。我们将动量方程作

83、些变换和说明，得到更常用的形式。们将动量方程作些变换和说明，得到更常用的形式。设机翼受力在三个方向的分量为设机翼受力在三个方向的分量为Fx、Fy和和Fz。则控。则控制体受力的三个分量为制体受力的三个分量为 Fx、Fy和和Fz 。(n,x)npEXIT134/175控制体内的控制体内的 x 方向彻体力为：方向彻体力为：从而控制体内从而控制体内x 方向所受的合外力为：方向所受的合外力为：控制体内控制体内x 方向的动量随时间变化率及净流出控制方向的动量随时间变化率及净流出控制面的动量流量为：面的动量流量为：注：连接注：连接S和和S1双层面上的面积分为双层面上的面积分为0。EXIT135/175由动量

84、守恒，得：由动量守恒，得：同理：同理：上述方程常常用于定常流动的气体，此时式中的当上述方程常常用于定常流动的气体，此时式中的当地变化率一项等于零，且彻体力可以忽略。地变化率一项等于零，且彻体力可以忽略。积分形式动量方程的一个重要方面在于人们不需要知道控制体中的流动细节，只需要知道控制面边界处的流动特性来求作用力，这个作用力可以包含摩擦力的影响在内，例如用上述方程来求物体受到的阻力等。EXIT136/175例有一种尾迹例有一种尾迹详测法可以用来法可以用来测量一个二量一个二维物物体的型阻（体的型阻（型阻是由粘性直接和间接造成的物体型阻是由粘性直接和间接造成的物体动量法测型阻 p1 、u1p2 、u

85、2解：取控制面解：取控制面S 如图。在上游足够远处气体流基本如图。在上游足够远处气体流基本上还没有受到物体的影响还是直匀流。在下游一定上还没有受到物体的影响还是直匀流。在下游一定距离处气流的静压已经和来流的静压没有什么区别距离处气流的静压已经和来流的静压没有什么区别了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。EXIT137/175 上下两根流线取在远离物体的地方，那里流速上下两根流线取在远离物体的地方，那里流速和静压都和原来的来流值一样。在这个和静压都和原来的来流值一样。在这个S 面上作用面上作用的静压既然都是同一个值，那末压力做面积分的结的静压既然都是同一个值

86、，那末压力做面积分的结果必是零果必是零。上下两根流线处没有摩擦力。上下两根流线处没有摩擦力。 设定常，不计彻体力设定常，不计彻体力 ，则计算翼型受到的阻，则计算翼型受到的阻力力Fx只需计算越过控制面的动量流量：只需计算越过控制面的动量流量：测出尾迹区中速度分布即可求出阻力。EXIT138/175例：求宽度为例：求宽度为b的二维不可压定常射流对固定斜板的二维不可压定常射流对固定斜板（与水平成（与水平成角角）的）的（1）作用力）作用力（2）射流宽度比）射流宽度比 b1/b2（3）力的作用点）力的作用点设不计重力和流动损失。设不计重力和流动损失。b, Vb1, V1b2, V2解：由于是自由射流，射

87、流开始处及解：由于是自由射流，射流开始处及1、2截面处压截面处压强均为大气压。分别沿上下两根流线列不计重力的强均为大气压。分别沿上下两根流线列不计重力的伯努利方程可得：伯努利方程可得：V1=V2=V（或认为流动均匀无旋，（或认为流动均匀无旋，伯努利常数全场成立）伯努利常数全场成立）由质量方程可知：由质量方程可知：QQ1Q2 或或 b=b1+b2REXIT139/175（1）求作用力）求作用力如图建立坐标系，取控制体如图，假设控制体受如图建立坐标系，取控制体如图，假设控制体受力为力为R，由，由 y 向动量方程：向动量方程：（注意控制面上大气压无合力）（注意控制面上大气压无合力）b, Vb1, V

88、1b2, V2xyR可见可见90900 0时受力最大时受力最大斜板受力与此大小相等方向相反。斜板受力与此大小相等方向相反。EXIT140/175（2）求射流宽度比）求射流宽度比 b1/b2由由x向动量方程：向动量方程：考虑到：考虑到：V1=V2=V，有，有上式与上式与 b = b1+b2 联立得：联立得：故得射流宽度比：故得射流宽度比： 这也是流量比这也是流量比Q1/Q2b, Vb1, V1b2, V2xyREXIT141/175（3）求力的作用点）求力的作用点e设力的作用点距设力的作用点距y轴的距离为轴的距离为e，设顺时针方向为，设顺时针方向为矩的正方向，由动量矩方程矩的正方向，由动量矩方程

89、仅当仅当90900 0 时合力的作用点才通过射流中心时合力的作用点才通过射流中心b, Vb1, V1b2, V2xyReEXIT142/175积分形式的能量方程的应用积分形式的能量方程的应用将积分形式的能量方程应用在进将积分形式的能量方程应用在进出口处流动参数均匀分布且只有出口处流动参数均匀分布且只有一个进口和一个出口的控制体上，一个进口和一个出口的控制体上，流动定常：流动定常：1. 一维定常流能量方程一维定常流能量方程EXIT143/175注意到质量流量不变，上式除以质量流量化为单注意到质量流量不变，上式除以质量流量化为单位质量形式：位质量形式：该式意义为：该式意义为：对一维控制体加热和做功

90、，等于流对一维控制体加热和做功，等于流出与流入控制面的能量差。出与流入控制面的能量差。写成微分形式，有：写成微分形式，有：EXIT144/175与静止气体的热力学第一定律与静止气体的热力学第一定律 对比，上式可以称为运动流体在有加热和有输入对比，上式可以称为运动流体在有加热和有输入功时的热力学第一定律功时的热力学第一定律 ，它表明：，它表明：对流体微团对流体微团加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、动加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、动能增加、对外膨胀做功以及压强做功能增加、对外膨胀做功以及压强做功（二者合为（二者合为流动做功）。流动做功）。 注意到在重力场下：注意到在重力场下： EX

91、IT145/1752. 一维定常流能量方程在各种条件下的表现形式一维定常流能量方程在各种条件下的表现形式 （1） 对于对于理想理想、定常、不可压、一维、重力场、定常、不可压、一维、重力场、无机械功输入输出的流动无机械功输入输出的流动 由于加热不会使流体膨胀做功，也不会有摩擦由于加热不会使流体膨胀做功，也不会有摩擦使机械能转化为热能（内能），则内能的变化仅仅使机械能转化为热能（内能），则内能的变化仅仅是由于外部加热引起的是由于外部加热引起的 ，即，即 dq = du，从而，从而而这就是一维欧拉方程，可积分得伯努利方程：而这就是一维欧拉方程，可积分得伯努利方程：EXIT146/175因此伯努利方程

92、是能量方程在理想、不可压、定常、因此伯努利方程是能量方程在理想、不可压、定常、一维、重力场、无机械功输入输出条件下的特例。一维、重力场、无机械功输入输出条件下的特例。（2） 在理想、定常、不可压、一维、重力场、在理想、定常、不可压、一维、重力场、有机械功输入输出有机械功输入输出的条件下，则能量方程化为：的条件下，则能量方程化为：用这个方程可方便的初步估算风扇对流动做功的功率，用这个方程可方便的初步估算风扇对流动做功的功率，利用水库高差发电使涡轮机产生的功率等问题。利用水库高差发电使涡轮机产生的功率等问题。EXIT147/175（3） 在在绝热、有粘性损失、不可压绝热、有粘性损失、不可压、定常、

93、一维、定常、一维、重力场、无机械功输入输出条件下，机械能将由重力场、无机械功输入输出条件下，机械能将由于粘性损失转化为热能或内能，则能量方程化为：于粘性损失转化为热能或内能，则能量方程化为：其中其中E12u2-u1是从是从1流流动到到2每每单位位质量流体的量流体的能量能量损失（摩擦生失（摩擦生热）用这个方程可方便的初步估算一维管道的流动损失用这个方程可方便的初步估算一维管道的流动损失功率等问题。功率等问题。EXIT148/175（4） 在绝热、有摩擦（不等熵）、在绝热、有摩擦（不等熵）、可压缩可压缩 、定、定常、一维、不计重力势能、无机械功输入输出条常、一维、不计重力势能、无机械功输入输出条件

94、下，内能将参与机械能之间的可逆转换，则能件下，内能将参与机械能之间的可逆转换，则能量方程化为：量方程化为：即：即：其中，其中，h为焓：为焓：上述能量方程的微分形式为：上述能量方程的微分形式为：这个方程在一维定常可压流中有重要应用。这将是这个方程在一维定常可压流中有重要应用。这将是我们在第我们在第6章要重点介绍的内容。章要重点介绍的内容。EXIT149/175 2.4 2.4 环量与涡环量与涡环量与涡环量与涡 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫个叫环量环量，一个叫做，一个叫做涡涡。环量的定量的定义：在流

95、在流场中中任取任取一一条封闭条封闭曲曲线，速度沿速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。向的左侧。EXIT150/175(a)沿曲线AB作速度的线积分(b)沿闭曲线速度的线积分 于是环量表达式为：于是环量表达式为： 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念EXIT151/

96、175如果流动是无旋的，如果流动是无旋的， 存在位函数存在位函数， 那末上式中那末上式中的的 u ,v ,w 都可以用都可以用 的偏导数表达：的偏导数表达： 说明在说明在无旋无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念EXIT152/175在三在三维流里，流体微流里，流体微团可以有三个方向的角速度可以有三个方向的角速度 x ,y ,z ,三者合为一

97、个合角速度是：三者合为一个合角速度是：旋旋转轴线都按右手定都按右手定则确定。合角速度是个向量，确定。合角速度是个向量，它的三个方向余弦是它的三个方向余弦是x/,y/ ,z/。 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念EXIT153/175像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫曲线叫涡线涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，。涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：为参量）：涡线给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构

98、成的曲面称为的所有涡线构成的曲面称为涡面涡面。由封闭涡面组成的管状涡面称为由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管涡管。涡面涡管 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念EXIT154/175涡量在一个截面上的面积分称为涡量在一个截面上的面积分称为涡通量涡通量，在平面，在平面问题中，涡通量就是：问题中，涡通量就是：在三维空间问题中，在三维空间问题中，涡通量就是：涡通量就是：式中的式中的S 是任意形状空间曲面，是任意形状空间曲面，是曲面上微面积是曲面上微面积 dS 的法线和的法线和的轴线之间的夹角。的轴线之间的夹角。n空间问题的涡通量平面问题的涡通量涡线是截面积趋于零的涡管。涡线是截面积趋于零的涡管。涡

99、线和涡管的强度涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 2.4.1 环量与涡的概念环量与涡的概念EXIT155/175在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT156/175 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT157/175绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合部分做线积分时因正负号相反

100、而相消）块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）上式即为二维问题中的格林公式。上式即为二维问题中的格林公式。表明：表明：沿平面上一封闭围线沿平面上一封闭围线 l 做速度的线积分，所得做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘倍乘以微团面积之和，即等于通过面积以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量的涡通量。 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT158/175 如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，必是零。如果把围线放大一些，尽管面积

101、放大了，但只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值但只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，并不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就说明围线内无涡通量。就说明围线内无涡通量。 推广到三维空间中的封闭曲线推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面沿一块有限大的曲面 S 的围线的围线 L的环量仍等于的环量仍等于 S 面上各点的二倍角速度与面积面上各点的二倍

102、角速度与面积 点积：点积： 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT159/175 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT160/175三维流中环量与涡的关系 n表明：表明：沿空间封闭曲线沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在的环量，等于穿过张在L上任意曲面上任意曲面 S上的涡通量上的涡通量，涡通量的数值与所张，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关，的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封闭曲线的速度环量也无旋时涡通量为零从而沿封闭曲线的速度环量也为零。为零。对于无旋流动还有：对于无旋流动还有：说明位函数差的意义是沿线

103、段的速度线积分。说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT161/175一条强度为一条强度为 的涡线的一段的涡线的一段 dS 对线外的一点对线外的一点P会会产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是：一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是： 涡与诱导速度 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT162/175这个这个 dV 是一个垂直于线段是一个垂直于线段 dS 与受扰点与受扰点P所组成所组成的平面的速度（如图），其值正比于涡强的平面的速度（如图），其

104、值正比于涡强 和涡和涡段长度段长度dS，但反比于距离但反比于距离 r 的平方，另外还要乘的平方，另外还要乘上上 r 与与 ds 的夹角的的夹角的 的正弦。这个公式在形式的正弦。这个公式在形式上和电磁学的电磁感应的比奥上和电磁学的电磁感应的比奥萨瓦公式一样，萨瓦公式一样，仍叫仍叫比奥比奥萨瓦萨瓦公式。公式。或：或： 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT163/175现在把一条强度为现在把一条强度为的直涡线对线外一点所产生的直涡线对线外一点所产生的诱导速度写一下。参看下图。的诱导速度写一下。参看下图。AB是涡线，是涡线，P为为线外一点，线外一点，P到到AB的距离是的距离是h。令任意

105、微段。令任意微段 ds 与与P的连线和的连线和AB垂线垂线PN之间夹角为之间夹角为，则则 直线涡的诱导速度ds 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT164/175ds再令再令PA与与AB的夹角为的夹角为；PB与与BA的夹角为的夹角为。上。上式积分，式积分， 由由 到到 得：得：这个诱导速度是垂直于纸面的，按图示这个诱导速度是垂直于纸面的，按图示的方向，的方向，它向外指。如果涡线一头是无限长的，那就有：它向外指。如果涡线一头是无限长的，那就有： 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT165/175如果涡线是半无限长，且如果涡线是半无限长，且P点至涡线之垂直足点至涡线

106、之垂直足N与与涡线的一端重合，则：涡线的一端重合，则： 如果涡线两头都伸展到无限远，则：如果涡线两头都伸展到无限远，则：涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。凡是升力的问题都和涡及环量有关。是升力的问题都和涡及环量有关。 2.5.2 环量与涡量的关系环量与涡量的关系EXIT166/1752.5.3 理想流中的涡定理理想流中的涡定理描述理想流体中的涡线或涡管有三条定理：描述理想流体中的涡线或涡管有三条定理：定理定理1 沿涡线或涡管涡强不变沿涡线或涡管涡强不变。见图，在涡管上两条围线见图，在涡管上两条围线PQR和和PQR作两条重合的连线作两条重合的连线P

107、P和和RR,沿沿PPQRRQP 这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：得：得：这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同的。这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同的。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。EXIT167/175涡管强度守恒（左图）和涡管可能存在的形式（右图）定理定理1的推广：的推广： 一根涡管在流体里不可能中断，一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限远去，可

108、以自相连接成一个涡环可以伸展到无限远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也可以止于边界，固体的边（不一定是圆环），也可以止于边界，固体的边界或自由边界（如自由液面）界或自由边界（如自由液面）。 这条定理可以用第一定理的结论推这条定理可以用第一定理的结论推演而得到证明。第一定理说，涡强沿涡管演而得到证明。第一定理说，涡强沿涡管不变。如果涡管到某处突然中止了，那末不变。如果涡管到某处突然中止了，那末涡强也就应该随之变为零，而这是违反第涡强也就应该随之变为零，而这是违反第一定理的，所以是不可能的。一定理的，所以是不可能的。 2.5.3 理想流中的涡定理理想流中的涡定理EXIT168/175

109、上述涡管的三种存在形式，都有实际的例子。吸香烟上述涡管的三种存在形式，都有实际的例子。吸香烟的人会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。三维机翼的人会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。三维机翼上的涡线（与翼展同向的）在左右两端折转向后，成为尾涡，上的涡线（与翼展同向的）在左右两端折转向后，成为尾涡，向后伸展到无限远的后方去。在二维风洞中做机翼的实验时，向后伸展到无限远的后方去。在二维风洞中做机翼的实验时，机翼上的涡线（翼展方向的）止于两侧的洞壁。机翼上的涡线（翼展方向的）止于两侧的洞壁。定理定理2 在某时刻构成涡线和涡管的流体质点，在以在某时刻构成涡线和涡管的流体质点，在以后运动过程中仍将

110、构成涡线和涡管。（涡线保持定后运动过程中仍将构成涡线和涡管。（涡线保持定理）。理）。说明涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动。说明涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动。2.5.3 理想流中的涡定理理想流中的涡定理EXIT169/175定理定理3 在理想流中，涡的强度不随时间变化，既在理想流中，涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失。不会增强，也不会削弱或消失。 实际流体都是有粘性的，涡强是会随时间变化实际流体都是有粘性的，涡强是会随时间变化的。不过空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流的。不过空气的粘性很小，机翼上的涡随着气流流下去，离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了，下去，

111、离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了，而在离机翼不太远的范围内，粘性使涡强的衰减并而在离机翼不太远的范围内，粘性使涡强的衰减并不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰减去处理就行了。减去处理就行了。2.5.3 理想流中的涡定理理想流中的涡定理EXIT170/175EXIT171/175小测验（小测验（10分钟）分钟）1.写出欧拉法中三个方向加速度的表达，并说明各项的意写出欧拉法中三个方向加速度的表达，并说明各项的意义。义。2.分别写出积分形式的质量方程和动量

112、方程，并说明方程分别写出积分形式的质量方程和动量方程，并说明方程的物理意义和应用条件。的物理意义和应用条件。3.写出伯努利方程并说明其应用条件。写出伯努利方程并说明其应用条件。4.问下面的流动能否代表一平面定常不可压缩流动？问下面的流动能否代表一平面定常不可压缩流动？如能够代表，试求该流动的：变形率和角速度，该流动是如能够代表，试求该流动的：变形率和角速度，该流动是否有位函数？如有则求出。又流函数为何？否有位函数？如有则求出。又流函数为何？EXIT172/175解答：解答：1.右端第一项为当地加速度，由流场的不定常性引起，第二项为迁移加右端第一项为当地加速度，由流场的不定常性引起，第二项为迁移

113、加速度，由流场的空间不均匀性引起，速度，由流场的空间不均匀性引起，迁移加速度中的任何一项都是速迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导数之乘积，因此只有上述两项都不为零才可能度分量与同一方向的导数之乘积，因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度。存在迁移加速度。2. 积分形式的质量方程为：积分形式的质量方程为：其意义是：其意义是：控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。应用条件：应用条件：积分形式的质量方程描述流体应满足的运动学关系，与流体积分形式的质量方程描述流体应满足的运动学关系，与流体是否受力，是否有粘性，是否可压均无关

114、，它描述控制体中及其控制面是否受力，是否有粘性，是否可压均无关，它描述控制体中及其控制面上的关系，并且允许控制体包含流动不连续的区域。上的关系，并且允许控制体包含流动不连续的区域。EXIT173/175积分形式的动量方程为：积分形式的动量方程为：其意义为：其意义为：控制体中流体所受合外力等于控制体中流体动量的增加率加控制体中流体所受合外力等于控制体中流体动量的增加率加上净流出控制面的动量流量。上净流出控制面的动量流量。上述形式的动量方程常常运用于第一类控制体（即内流、管道中流动等）上述形式的动量方程常常运用于第一类控制体（即内流、管道中流动等）。当应用于第二类控制体时，积分形式动量方程常常写为

115、：。当应用于第二类控制体时，积分形式动量方程常常写为：该方程的意义同上不变，不过该方程将待求的内边界上受力该方程的意义同上不变，不过该方程将待求的内边界上受力Fx等，与等，与外边界上表面力和控制体中彻体力的作用分别表达，并且常常用于定常外边界上表面力和控制体中彻体力的作用分别表达，并且常常用于定常和不计彻体力的情况，从而只要知道控制面上的动量流量和表面力即可和不计彻体力的情况，从而只要知道控制面上的动量流量和表面力即可求出物体受力，物体的受力允许包含粘性力。求出物体受力，物体的受力允许包含粘性力。EXIT174/1753. 理想、定常、不可压、重力场下，沿流线或一维流管的伯努利方程为理想、定常

116、、不可压、重力场下，沿流线或一维流管的伯努利方程为上式各项分别代表单位质量流体的压力能、势能和动能，常数代表单位上式各项分别代表单位质量流体的压力能、势能和动能，常数代表单位质量流体的总能量。上式沿流线或一维流管成立，表明沿流线机械能守质量流体的总能量。上式沿流线或一维流管成立，表明沿流线机械能守恒。当流动无旋时，上述常数在全流场成立，表明理想、定常、不可压、恒。当流动无旋时，上述常数在全流场成立，表明理想、定常、不可压、无旋、重力场下全流场机械能守恒。无旋、重力场下全流场机械能守恒。4. 所给速度分布满足不可压连续方程：所给速度分布满足不可压连续方程：能够代表一个二维不可压流动。能够代表一个二维不可压流动。EXIT175/175因为无旋，所以有位函数。由：因为无旋，所以有位函数。由：积分得：积分得：由：由：求流函数：求流函数：