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1、激光原理与技术激光原理与技术原理部分原理部分第第10讲讲光学谐振腔：纵模、横模光学谐振腔：纵模、横模10.1 光学谐振腔的纵模光学谐振腔的纵模平平腔的驻波平平腔的驻波平平腔的驻波平平腔的驻波 均匀平面波近似均匀平面波近似均匀平面波近似均匀平面波近似一般的开放式光学谐振腔都满足条件：一般的开放式光学谐振腔都满足条件：一般的开放式光学谐振腔都满足条件：一般的开放式光学谐振腔都满足条件：在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在的稳定电磁场的本征态，为平行平面
2、腔内的电磁场提的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提的稳定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提供一个粗略但是形象的描述；供一个粗略但是形象的描述；供一个粗略但是形象的描述；供一个粗略但是形象的描述；严格的理论证明，只要满足条件严格的理论证明，只要满足条件严格的理论证明，只要满足条件严格的理论证明，只要满足条件 ，则腔，则腔，则腔，则腔内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而内损耗最低的模式仍可以近似为平面波，而是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。是光腔的
3、菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。是光腔的菲涅尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。10.1.1 自由空间中的驻波自由空间中的驻波沿沿沿沿z z方向传播的平面波可以表示为：方向传播的平面波可以表示为：方向传播的平面波可以表示为：方向传播的平面波可以表示为： 沿沿沿沿-z-z方向传播的平面波为：方向传播的平面波为：方向传播的平面波为：方向传播的平面波为：发生重叠时的电磁场分布为：发生重叠时的电磁场分布为：发生重叠时的电磁场分布为：发生重叠时的电磁场分布为：该叠加的场分布的振幅在沿该叠加的场分布的振幅在沿该叠加的场分布的振幅在沿该叠加的场分布的振幅在沿
4、z z方向上有一个余弦分布。方向上有一个余弦分布。方向上有一个余弦分布。方向上有一个余弦分布。 在在在在z z点处的振幅为点处的振幅为点处的振幅为点处的振幅为 当当当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位，称此位，称此位置为波腹；置为波腹；置为波腹；置为波腹； 当当当当 时，振幅有最大值时，振幅有最大值时，振幅有最大值时，振幅有最大值 ，称此位，称此位，称此位，称此位置为波节；置为波节；置为波节；置为波节； 驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。驻波频率为平面波频率
5、，而且可以为任意值。10.1.1平平腔的驻波平平腔的驻波 平行平面腔中的驻波平行平面腔中的驻波平行平面腔中的驻波平行平面腔中的驻波 当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干反射形成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干涉的条件为：波从某一
6、点出发，经腔内往返一次再回到原位时，涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，涉的条件为：波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，相位相位相位相位应与初始出发时相差应与初始出发时相差应与初始出发时相差应与初始出发时相差2 2的整数倍。的整数倍。的整数倍。的整数倍。 以以以以表示往返一周后的相位差：表示往返一周后的相位差：表示往返一周后的相位差：表示往返一周后的相位差：其中的其中的其中的其中的q q q q为为任意正整数，将任意正整数，将任意正整数，将任意正整数，将满满足上式的波足上式的波足上式的波足上式的波长长以以以以
7、来来来来标记标记，则则有：有：有：有：上式意味着一定上式意味着一定上式意味着一定上式意味着一定长长度的度的度的度的谐谐振腔只能振腔只能振腔只能振腔只能对对一定一定一定一定频频率的光波形成正反率的光波形成正反率的光波形成正反率的光波形成正反馈馈， 为为腔的腔的腔的腔的谐谐振振振振频频率，同率，同率，同率，同时时表明腔内的表明腔内的表明腔内的表明腔内的谐谐振振振振频频率是分立的。率是分立的。率是分立的。率是分立的。10.1.1平平腔的驻波平平腔的驻波 当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍
8、，当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，这是腔内驻波的特征。这是腔内驻波的特征。这是腔内驻波的特征。这是腔内驻波的特征。 当腔内为均匀的折射率为当腔内为均匀的折射率为当腔内为均匀的折射率为当腔内为均匀的折射率为 的物质时有：的物质时有：的物质时有：的物质时有：其中其中其中其中L L为腔的几何长度，则为腔的几何长度，则为腔的几何长度，则为腔的几何长度，则 ，其中的其中的其中的其中的 是物质中的谐振波长。是物质中的谐振波长。是物质中的谐振波长。是物质中的谐振波长。 当腔内物质为分段均匀，则有：当腔内物质为分段均匀，则有：当腔内物质为分段均匀，则有：当腔内物质为分段均匀，则有： 当物质沿
9、轴线分布不均匀时有：当物质沿轴线分布不均匀时有：当物质沿轴线分布不均匀时有：当物质沿轴线分布不均匀时有：10.1.2 光学谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模将腔内稳定存在的、由整数将腔内稳定存在的、由整数将腔内稳定存在的、由整数将腔内稳定存在的、由整数q q表征的光波纵向分布表征的光波纵向分布表征的光波纵向分布表征的光波纵向分布称为腔的称为腔的称为腔的称为腔的纵模纵模纵模纵模(Longitudinal mode)(Longitudinal mode)。在简化模型。在简化模型。在简化模型。在简化模型中，中，中，中，q q单值的决定模的谐振频率。单值的决定模的谐振频率。单值的决定模的谐振频率。单值的
10、决定模的谐振频率。腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：对于腔内是均匀介质的谐振腔对于腔内是均匀介质的谐振腔对于腔内是均匀介质的谐振腔对于腔内是均匀介质的谐振腔 则有：则有：则有：则有：10.1.2 光学谐振腔中的纵模光学谐振腔中的纵模 例：例：例：例： 对于对于对于对于L=10cmL=10cm的气体激光器，的气体激光器，的气体激光器，的气体激光器，=1=1=1=1，则有，则有，则有，则有 ；对于对于对于对于L=100cmL=100cmL=100cmL=100cm的气体激光器，的气
11、体激光器，的气体激光器，的气体激光器， ；对于对于对于对于L=10cmL=10cmL=10cmL=10cm，=1.76=1.76=1.76=1.76的固体激光器，的固体激光器，的固体激光器，的固体激光器， ； 当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小；当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小； 对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只
12、会激发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，发低阶本征模式，而在光学谐振腔中，它工作在，它工作在，它工作在，它工作在极高的谐波上，既极高的谐波上，既极高的谐波上，既极高的谐波上，既q q q q是一个很大的整数。是一个很大的整数。是一个很大的整数。是一个很大的整数。例如例如例如例如L=100cmL=100cmL=100cmL=100cm，=632.8nm=632.8nm=632.8nm=632.8nm的的的的He-NeHe-NeHe-NeHe-Ne激光器：激光器：激光器：激光器：10.1.3 腔内的多纵模振荡腔内的多纵模振荡某个纵模
13、某个纵模某个纵模某个纵模q q q q能够在腔内存在必须满足以下条件：能够在腔内存在必须满足以下条件：能够在腔内存在必须满足以下条件：能够在腔内存在必须满足以下条件：满足腔内谐振频率条件：满足腔内谐振频率条件：满足腔内谐振频率条件：满足腔内谐振频率条件：q q q q必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介质才能对该纵模提供增益；质才能对该纵模提供增益；质才能对该纵模提供增益；质才能对该纵模提供增益；满足振荡阈值条件满足振荡阈值条件满足振荡阈值条件满足振荡阈值
14、条件 ；在光学谐振腔中能够存在的在光学谐振腔中能够存在的在光学谐振腔中能够存在的在光学谐振腔中能够存在的纵模数最多只能有：纵模数最多只能有：纵模数最多只能有：纵模数最多只能有：10.1.3 腔内的多纵模振荡腔内的多纵模振荡频率漂移频率漂移频率漂移频率漂移 对某个腔内纵模对某个腔内纵模对某个腔内纵模对某个腔内纵模q q： 由此可知，当腔长由此可知，当腔长由此可知，当腔长由此可知，当腔长L L或者折射率或者折射率或者折射率或者折射率发生发生发生发生变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。这种振荡
15、频率随外界环境变化而发生缓这种振荡频率随外界环境变化而发生缓这种振荡频率随外界环境变化而发生缓这种振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象称为慢变化的现象称为慢变化的现象称为慢变化的现象称为频率漂移。频率漂移。频率漂移。频率漂移。假设腔内纵模频率会随温度发生变化，假设腔内纵模频率会随温度发生变化，假设腔内纵模频率会随温度发生变化，假设腔内纵模频率会随温度发生变化，如图所示，当温度为如图所示，当温度为如图所示，当温度为如图所示，当温度为T T T T0 0 0 0时，只有时，只有时，只有时，只有q q q q能能能能够振荡；当温度为够振荡；当温度为够振荡；当温度为够振荡；当温度为T T T T
16、2 2 2 2时，时，时，时，q q q q漂出漂出漂出漂出T T T T的范围，而的范围，而的范围，而的范围，而q+1q+1q+1q+1漂进漂进漂进漂进T T T T ，则腔内模，则腔内模，则腔内模，则腔内模式发生了变化，称为跳模现象式发生了变化，称为跳模现象式发生了变化，称为跳模现象式发生了变化，称为跳模现象频率漂移现象都是有害的吗？频率漂移现象都是有害的吗？频率漂移现象都是有害的吗？频率漂移现象都是有害的吗？10.2.0 10.2.0 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法我们关心的
17、问题：在由无侧面的共轴反射我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存镜构成的开放光学谐振腔区域中，是否存在不随时间变化的稳定的电磁场分布？在不随时间变化的稳定的电磁场分布？如何求出这个分布的具体形式？如何求出这个分布的具体形式？在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面们首先关心的是镜面上的分布，因为镜面一般作为激光输出窗口，而输出激光的场一般作为激光输出窗口，而输出激光的场分布就直接与镜面上的场分布有关。分布就直接与镜面上的场分布有关。10.2 开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念开腔中有多种损耗
18、：开腔中有多种损耗：由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模衍射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模式的横向分布；式的横向分布；式的横向分布；式的横向分布；反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损耗不影响模式的横向分布；耗不影响模式的横向分
19、布；耗不影响模式的横向分布；耗不影响模式的横向分布；开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀的各向同性介质中；的各向同性介质中；10.2 开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念 假设初始时在镜面假设初始时在镜面假设初始时在镜面假设初始时在镜面1 1上有分布为上有分布为上有分布为上有分布为u u1 1的电磁场从镜面的电磁场从镜面的电磁场从镜面的电磁场从镜面1 1向镜面向镜面向镜面向镜面2 2传输，经过一次渡越，在镜面传输，经过一次渡越，在镜面传输，经过一次渡越，在镜面传输，经过一次渡越，在镜面2 2上有分布为上有分布为上有分布为上有分布为u u2 2的场，在经的场，
20、在经的场，在经的场，在经过反射后再次渡越回到镜面过反射后再次渡越回到镜面过反射后再次渡越回到镜面过反射后再次渡越回到镜面1 1时场的分布为时场的分布为时场的分布为时场的分布为u u3 3，如此反复。，如此反复。，如此反复。，如此反复。 受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减，而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变；而且振幅横向分
21、布也会由于衍射损耗的存在而发生改变； 由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大，边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分过多
22、次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“ “再现再现再现再现” ”出出出出发时的振幅分布。发时的振幅分布。发时的振幅分布。发时的振幅分布。10.2 开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电磁场分布称为开腔的磁场分布称为开腔的自再现模自再现模；自再现模经一次往返所发生的能量损耗定自再现模经一次往返所发生的能量损耗定义为模的往返损耗，它等于衍射损耗；义为模的
23、往返损耗，它等于衍射损耗；自再现模经一次往返所产生的相位差定义自再现模经一次往返所产生的相位差定义为往返相移，往返相移应为为往返相移，往返相移应为2的整数倍，的整数倍，这是由腔内模的是由腔内模的谐振条件决定的。振条件决定的。10.2 开腔模式的物理概念开腔模式的物理概念孔阑传输线孔阑传输线孔阑传输线孔阑传输线 开腔物理模型中衍射的作用开腔物理模型中衍射的作用开腔物理模型中衍射的作用开腔物理模型中衍射的作用 腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自腔内会随机的产生各种不
24、同的模，而衍射效应将其中可以实现自再现的模式选择出来；再现的模式选择出来；再现的模式选择出来；再现的模式选择出来； 由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之间的关联就越来越紧密，即相干性越来越
25、好；间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析菲涅尔菲涅尔菲涅尔菲涅尔- -基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分基尔霍夫衍射积分惠更斯惠更斯惠更斯惠更斯- -菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一点的光场就是这
26、些子波在该点相干叠加的结果；点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果；该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必然是开腔模式的物理基础；然是开腔模式的物理基础；然是开腔模式的物理基础；然是开腔模式的物理基础；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；10.3 开腔衍射理论
27、分析开腔衍射理论分析 设已知空间某一曲面设已知空间某一曲面设已知空间某一曲面设已知空间某一曲面S S上光波长的振幅和相位分布函数为上光波长的振幅和相位分布函数为上光波长的振幅和相位分布函数为上光波长的振幅和相位分布函数为u(x,y)u(x,y)，则空间任一点，则空间任一点，则空间任一点，则空间任一点P P处的光场分布，可以看作曲面处的光场分布，可以看作曲面处的光场分布，可以看作曲面处的光场分布，可以看作曲面S S上每点作为次级上每点作为次级上每点作为次级上每点作为次级子波源发出的非均匀球面波在子波源发出的非均匀球面波在子波源发出的非均匀球面波在子波源发出的非均匀球面波在P P点的叠加，由菲涅尔
28、点的叠加，由菲涅尔点的叠加，由菲涅尔点的叠加，由菲涅尔- -基尔霍夫衍基尔霍夫衍基尔霍夫衍基尔霍夫衍射积分公式来描述：射积分公式来描述：射积分公式来描述：射积分公式来描述： 为什么用菲涅尔为什么用菲涅尔为什么用菲涅尔为什么用菲涅尔- -基尔霍夫衍射积分公式？基尔霍夫衍射积分公式？基尔霍夫衍射积分公式？基尔霍夫衍射积分公式？ 其中其中其中其中k=2k=2/为为波矢的模，也称波矢的模，也称波矢的模，也称波矢的模，也称为为波数；波数；波数；波数； dSdS是是是是S S面上的面面上的面面上的面面上的面积积元；元；元；元； 为为源点与源点与源点与源点与P P点之点之点之点之间连线间连线的的的的长长度；
29、度；度；度； 为为源点源点源点源点处处S S面法面法面法面法线线与与与与P P点点点点连线连线之之之之间间的的的的夹夹角；角；角；角； 表示球面波，表示球面波，表示球面波，表示球面波，(1+cos(1+cos ) )为倾为倾为倾为倾斜因斜因斜因斜因子，表示非均匀球面波；子，表示非均匀球面波；子，表示非均匀球面波；子，表示非均匀球面波；10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析 将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S S1 1上光场上光场上光场上光场u u1 1(x
30、,y)(x,y)经过衍射后在镜面经过衍射后在镜面经过衍射后在镜面经过衍射后在镜面S S2 2上面形成光场分布上面形成光场分布上面形成光场分布上面形成光场分布u u2 2; ; 要做出如下假设：要做出如下假设：要做出如下假设：要做出如下假设： 1 1、 在小角度近似下有：在小角度近似下有：在小角度近似下有：在小角度近似下有： 并且在此并且在此并且在此并且在此情况下可以将光场的两种偏情况下可以将光场的两种偏情况下可以将光场的两种偏情况下可以将光场的两种偏振状态作为独立变量分别求解；振状态作为独立变量分别求解；振状态作为独立变量分别求解；振状态作为独立变量分别求解； 2 2、 ，被积函数中的指，被积
31、函数中的指，被积函数中的指，被积函数中的指数因子数因子数因子数因子 不能简单将不能简单将不能简单将不能简单将用用用用L L L L代代代代替，只能根据不同谐振腔情况替，只能根据不同谐振腔情况替，只能根据不同谐振腔情况替，只能根据不同谐振腔情况来简化；来简化；来简化；来简化；3 3 3 3、腔内振幅衰减是缓慢的；、腔内振幅衰减是缓慢的；、腔内振幅衰减是缓慢的；、腔内振幅衰减是缓慢的；10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析 经过经过经过经过q q次传播后：次传播后：次传播后：次传播后： 将第一个假设带入其中有：将第一个假设带入其中有：将第一个假设带入其中有：将第一个假设带入其中有： 由开腔理论
32、中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定传输的光波模式应满足关系：传输的光波模式应满足关系：传输的光波模式应满足关系：传输的光波模式应满足关系： 在稳定情况下，在稳定情况下，在稳定情况下，在稳定情况下，u uq q从镜面从镜面从镜面从镜面S S1 1传播到传播到传播到传播到S S2 2时，除时，除时，除时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标了一个表示振幅衰减和相位移
33、动的、与坐标无关的复常数因子无关的复常数因子无关的复常数因子无关的复常数因子外，外，外，外， 其分布能够被其分布能够被其分布能够被其分布能够被u u u uq+1q+1q+1q+1再现。再现。再现。再现。10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面腔内存在的稳定光波场，它们由一个腔面传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到传播到另一个腔面的过程中，虽然会受到衍射效应的影响，但是这些光波长在两个衍射效应的影响，但是这些光波长在两个腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不腔面处的相对振幅分布和相位分布保持不变。变。10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析以以E(x,y)
34、表示开腔中的稳定光场分布函数表示开腔中的稳定光场分布函数u，则上式可以简化为：，则上式可以简化为：该式是开腔自再现模满足的积分方程，满该式是开腔自再现模满足的积分方程，满足以上方程的函数足以上方程的函数E称为本征函数，称为本征函数，为本为本征值，而征值，而K K为积分方程的核；为积分方程的核；对于对称腔：对于对称腔：10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析 满足上式的本征函数满足上式的本征函数满足上式的本征函数满足上式的本征函数E E就是腔的自再现模，也称为腔的横就是腔的自再现模，也称为腔的横就是腔的自再现模，也称为腔的横就是腔的自再现模，也称为腔的横模，模，模，模，E E一般是复函数，其模
35、一般是复函数，其模一般是复函数，其模一般是复函数，其模|E(x,y)|E(x,y)|描述的是镜面上的振幅描述的是镜面上的振幅描述的是镜面上的振幅描述的是镜面上的振幅分布，其幅角分布，其幅角分布，其幅角分布，其幅角argE(x,y)argE(x,y)表示镜面上的相位分布；表示镜面上的相位分布；表示镜面上的相位分布；表示镜面上的相位分布； 为复常数，不妨设为：为复常数，不妨设为：为复常数，不妨设为：为复常数，不妨设为： 其中的其中的其中的其中的a a a a、为与坐标为与坐标为与坐标为与坐标无关的实常数，则自再现模可以表示为：无关的实常数，则自再现模可以表示为：无关的实常数，则自再现模可以表示为：
36、无关的实常数，则自再现模可以表示为： 由此可见，由此可见，由此可见，由此可见，e e e e-a-a-a-a表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，表示腔内渡越一次后自再现模的振幅衰减，a a a a越大损耗越大，越大损耗越大，越大损耗越大，越大损耗越大，a=0a=0a=0a=0表示无损耗传输；表示无损耗传输；表示无损耗传输；表示无损耗传输； 表示渡越一次后自再现模的相位滞后，表示渡越一次后自再现模的相位滞后，表示渡越一次后自再现模的相位滞后，表示渡越一次后自再现模的相位滞后，越大相位滞后越大相位滞后越大相位滞后越大相位
37、滞后越多。越多。越多。越多。10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析 从镜面从镜面从镜面从镜面S S1 1出射的光功率为：出射的光功率为：出射的光功率为：出射的光功率为： 被镜面被镜面被镜面被镜面S S2 2反射后的自再现模的功率为：反射后的自再现模的功率为：反射后的自再现模的功率为：反射后的自再现模的功率为： 自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单自再现模在腔内渡越一次时受到的功率损失，称为模的单程损耗：程损耗：程损耗：程损耗： | | |越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了
38、几何光越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光越大，模的单程损耗越大，这个损耗中包含了几何光学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。学的光束横向偏折损耗和镜面边缘的衍射损耗。10.3 开腔衍射理论分析开腔衍射理论分析自再现模在腔内经过一次渡越的总相移自再现模在腔内经过一次渡越的总相移自再现模在腔内经过一次渡越的总相移自再现模在腔内经过一次渡越的总相移定义定义定义定义为：为：为：为：由由由由 ，可得，可得，可得，可得 ；从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，从开腔的谐振条件可知要形成稳定的自再现模，必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为必然要求其在腔内往返传输一次的总相移为2 2 2 2的的的的整数倍：整数倍：整数倍：整数倍：即即即即 ，q q q q为正整数，此公式为对称为正整数，此公式为对称为正整数，此公式为对称为正整数，此公式为对称开腔的谐振条件。开腔的谐振条件。开腔的谐振条件。开腔的谐振条件。
