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1、请问：纸牌这两面的句子是对是错？引例：纸牌的一面写着：引例：纸牌的一面写着：“纸牌反纸牌反面的句子是对的。面的句子是对的。”而另一面却写而另一面却写着：着：“纸牌反面的句子是错的。纸牌反面的句子是错的。” 悖论悖论 数学与应用数学数学与应用数学 孔婧竹孔婧竹悖论悖论 （一）（一）概念概念 （二）（二）类型类型 （三）（三）经典数学悖论经典数学悖论概念概念悖论悖论(paradox)来自来自希腊希腊语语“para+dokein”，意思是，意思是“多多想一想想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的觉和日常经验相矛盾的数学数学结论
2、。结论。悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非为矛盾命题的结论非B；反之，以非；反之，以非B为前提，进行正确为前提，进行正确的逻辑推理后，亦可推得的逻辑推理后，亦可推得B。那么命题。那么命题B就是一个悖论。就是一个悖论。当然非当然非B也是一个悖论。也是一个悖论。最早的悖论被认为是古希腊的最早的悖论被认为是古希腊的说谎者悖论说谎者悖论.悖论悖论 （一）（一）概念概念 （二）（二）类型类型 （三）（三）经典数学悖论经典数学
3、悖论（二）类型（二）类型悖论主要有悖论主要有逻辑悖论逻辑悖论、概率悖论概率悖论、几何几何悖论悖论、统计悖论统计悖论和和时间悖论时间悖论等。等。逻辑悖论逻辑悖论最著名的逻辑悖论是伯特纳德最著名的逻辑悖论是伯特纳德罗素提出的理罗素提出的理发师悖论。发师悖论。一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着： 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。刮脸，我也只给这些人刮脸。谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮脸呢？伯特纳德伯特纳德罗素提出这个悖论，为的是罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗把他发现的关于集合的一
4、个著名悖论用故事通俗地表述出来。地表述出来。概率悖论概率悖论概率悖论出自法国数学家莫里斯概率悖论出自法国数学家莫里斯克莱特契克莱特契克，在他的克，在他的数学消遣数学消遣书中写道：书中写道：“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以
5、这种比赛是对我有利。种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢？一个比赛怎么会对双方都有利呢？错！要不然怎么能有双赢呢？错！要不然怎么能有双赢呢？很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件，它就是一个公正的比赛。当然，定条件，它就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知如果我们已经得知比赛中的一个人系较便宜的领带，那么我们就知道这个比赛比赛中的一个人系较便宜的领带，那么我们就知道这个比赛是不公平的。是不公平的。如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个的领带价值从个的领带价值从0到任意数量（
6、比如说一百元）的随便多少到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人领带价值的矩阵（这是钱。如果我们按此假定构成一个两人领带价值的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个比赛是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个比赛是“对称的对称的”，不会偏向任何一个比赛者。，不会偏向任何一个比赛者。几何悖论几何悖论几何悖论所构造的图几何悖论所构造的图案是仅存在于案是仅存在于2维平面世界维平面世界里的图形，是一种通过素里的图形，是一种通过素描，线描等立体绘画手法描，线描等立体绘画手法表现出表现出3维立体世界中不可维立体世界中不可能存在的图像。能存在的图像。“不
7、可能台阶不可能台阶”是由是由英国遗传学家列昂尼尔英国遗传学家列昂尼尔S彭罗斯和他的儿子，彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰尔数学家罗杰尔彭罗斯发彭罗斯发明的，后者于明的，后者于1958年把它年把它公布于众，人们常称这台公布于众，人们常称这台阶为阶为“彭罗斯台阶彭罗斯台阶”。在这个台阶里，永远在这个台阶里，永远找不到最高阶和最低阶，找不到最高阶和最低阶，“不可能台阶不可能台阶”永远没有永远没有尽头。尽头。统计悖论统计悖论假定有三个人假定有三个人阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明，选举人中有民意测验表明，选举人中有2/3愿意选愿意选A不愿选不愿选B，有，有2/3
8、愿愿选选B不愿选不愿选C。是否愿选。是否愿选A不愿选不愿选C的最多？的最多？不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引起一不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。个惊人的逆论。三分之一的人，对选举人的喜好是：三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C；另外三分之一的人，对选举人的喜好是：另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C，A；最后三分之一的人，对选举人的喜好是：最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A，B。所以，有所以，有2/3宁愿选宁愿选A而不愿选而不愿选B；同样，有；同样，有2/3宁愿选宁愿选B而不愿选而不愿选C；有；有2/3宁愿选宁愿选C而不愿选而不愿选A！
9、ab, bc,则则ac这个悖论可追溯到这个悖论可追溯到18世纪，选举悖论使人迷惑，世纪，选举悖论使人迷惑，是因为我们以为是因为我们以为“好恶好恶”关系总是可传递的，但关系总是可传递的，但实际上它是一个非传递关系的典型。实际上它是一个非传递关系的典型。这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思阿洛曾根阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因此而分享了因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。年诺贝尔经济学奖金。时间悖论时间悖论有关时间的悖论
10、，最著名的是有关时间的悖论，最著名的是“芝诺悖论芝诺悖论”。 二分法。物体在到达目的地之前二分法。物体在到达目的地之前 必须先到必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或 者，它根本起动不了。者，它根本起动不了。中国古代也有类似的说法，如：中国古代也有类似的说法，如： “飞鸟之景，未尝动也飞鸟之景，未尝动也”这是中国名家惠施的命题，这就是不这是中国名家惠施的命题，这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。问题的解决：问题的解决：
11、这就是极限理论的诞生。这就是极限理论的诞生。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。运动问题也得到了合理的解释。可以想见，在微积分和极限理论发明或被接可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如
12、果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗欺骗”。在这个前提下，有多种在这个前提下，有多种“时间悖论时间悖论”的表的表达方式。达方式。最为著名的最为著名的“时间悖论时间悖论”一般称为一般称为“祖父悖论祖父悖论”：某人回到过去，在自己父亲出生前杀某人回到过去，在自己父亲出生前杀害了自己的祖父。既然祖父已死，就不会害了自己的祖父。既然祖父已死，就不会有其父亲，也不会有他；既然他不存在，有其父亲，也不会有他；既然他不存在，又怎么能回到过去，杀死自己的祖父呢？又怎么能回到过去，杀死自己的祖父呢？与之对应的，既然有回到过去的悖论，也与之对应的，既然有回到过去的悖论，也
13、会有到达将来的会有到达将来的“先知悖论先知悖论”，表达如下：，表达如下：某人到达未来，得知将发生的不幸结某人到达未来，得知将发生的不幸结果果A，他在现在做出了避免导致结果，他在现在做出了避免导致结果A的行的行动，到达结果动，到达结果B。那么结果。那么结果A在未来根本没在未来根本没有发生，他又是如何得知结果有发生，他又是如何得知结果A的呢？（既的呢？（既A与与B不可能相遇的悖论）不可能相遇的悖论）就严肃的物理学理论而言，爱因斯坦的就严肃的物理学理论而言，爱因斯坦的相对论相对论指出，的确存在不违背已知的物理法则改变时指出，的确存在不违背已知的物理法则改变时间的可能性。但更多的只是一种科学幻想。为了
14、间的可能性。但更多的只是一种科学幻想。为了解决解决“时间悖论时间悖论”，也有多种假设，比如比较盛，也有多种假设，比如比较盛行的行的“平行宇宙平行宇宙”假说，认为我们的这个世界在假说，认为我们的这个世界在宇宙中还有许多相似的宇宙中还有许多相似的“克隆世界克隆世界”，当某人回，当某人回到过去时，他就进入了另一个平行世界（即未来到过去时，他就进入了另一个平行世界（即未来因为他的行动已经改变的世界），再也不可能回因为他的行动已经改变的世界），再也不可能回到原来的世界。到原来的世界。悖论悖论 （一）（一）概念概念 （二）（二）类型类型 （三）（三）经典数学悖论经典数学悖论1.类似诡辩的悖论类似诡辩的悖论
15、什么是诡辩？什么是诡辩？”有学生问他的希腊老师：有学生问他的希腊老师：“什么是诡辩？什么是诡辩？”老师反问到：老师反问到：“有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡，他们中间谁会洗？如果请他们洗澡，他们中间谁会洗？”1-2 我国古代的诡辩：我国古代的诡辩：邓析赎尸诡论邓析赎尸诡论 (吕氏春秋吕氏春秋)邓析生在春秋末年，与老子和孔子基本同时，邓析生在春秋末年，与老子和孔子基本同时，是战国名家的鼻祖，著名的讼师，他的著作是战国名家的鼻祖，著名的讼师，他的著作已经失传。已经失传。后来，邓析被杀，就是因为子产认为他后来，邓析被杀，就是因为子产认为他“以以非为是，以是为
16、非，是非无度，而可与不可非为是，以是为非，是非无度，而可与不可日变日变”。可见，邓析是一个没有原则的人。可见，邓析是一个没有原则的人。身为讼师，邓析善于辞辩，而不跳出诡论寻身为讼师，邓析善于辞辩，而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性，但最终还是要回到现实中来。有说服性，但最终还是要回到现实中来。2. “罗素是教皇罗素是教皇”从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。懈可击。 有人曾经让罗素证明从有人曾经让罗素证明从“”推出推出“
17、罗素是教皇罗素是教皇”。3.以子之矛攻子之盾以子之矛攻子之盾这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。论的经典例子。韩非子韩非子势难势难介绍了这个预言：有一个同时卖矛介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都戳不破；和盾的人。他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互抵触。这是一个既不可以同他回答
18、不上来，因为两者相互抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也就无法推出结论。就无法推出结论。4。 “亚里斯多德是类概念亚里斯多德是类概念”这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：（）亚里斯多德是哲学家，（）亚里斯多德是哲学家，（）哲学家是类概念，（）哲学家是类概念，（）所以，亚里斯多德是类概念。（）所以，亚里斯多德是类概念。语句（）中的哲学家和语句（）中的语句（）中的哲学家和语句（）中的“哲学家哲学家”不在一个层次上，前者是对象概念，后者是元概念。两个不在一个层次上，前者是对
19、象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一从根本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。5.连锁悖论：即由于未定义连锁悖论：即由于未定义“类类”而导致的而导致的悖论悖论谷谷“堆堆”的定义的定义如果粒谷子落地不能形成谷堆，如果粒谷子落地不能形成谷堆，粒谷子落地不能形成谷堆，粒谷子落地粒谷子落地不能形成谷堆，粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。谷子落地都不能形成谷堆。从真实的前提出发，用可以接受的推理，但从真实的前提出发
20、，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义结论则是明显错误的。它说明定义“堆堆”缺缺少明确的边界，解决它的办法就是引进一个少明确的边界，解决它的办法就是引进一个模糊的模糊的“类类”。 以上都是流传很广的常见悖论。大以上都是流传很广的常见悖论。大家不要以为悖论是错误的，所以它的存在家不要以为悖论是错误的，所以它的存在会让数学往相反的方向走去。其实恰恰相会让数学往相反的方向走去。其实恰恰相反，它的存在会让数学的基础越来越坚固。反，它的存在会让数学的基础越来越坚固。一些悖论之所以会出现，并非恶意，是由一些悖论之所以会出现，并非恶意，是由于实际上数学上尚存在这个漏洞，比如说于实际上数学上尚存
21、在这个漏洞，比如说集合论里的集合论里的“罗素悖论罗素悖论”，它的消除使得，它的消除使得集合论更加健全！集合论更加健全！悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以个组成部分，这一分支以“趣味数学趣味数学”知名于世。知名于世。欧拉就是通过对欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下之谜的分析打下了拓扑学的基础。了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。最受大众欢迎的计算机游戏最受大众欢迎的计算机游戏生命是英国著名数生命是英国著名数学家康威发明的。学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。学谜的书。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念。大地改变我们的思维观念。
