一罗尔中值定理

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1、一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理引理引理( (费马费马):):设y =f (x)在开区间(a, b)内有定义. 在x0(a, b)处取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0处可导, 则 f (x0) = 0.证证: : 因f (x)在x0处可导.445 5 微分中值定理微分中值定理设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0).故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),从而 f (x0+x) f (x0) 0因x0(a, b),(1)当x 0时,由保号性定理,令x 0+,(2)当x 0时,由保号性定理,令x 0,综合(

2、1),(2)有0 f (x0) 0,故 f (x0) = 0,类似可证f (x)在x0取最小值的情形.注注1.1. 因f (x0)表示曲线y =f (x)上点M(x0, f (x0)处切线斜率.而f (x0)=0表示该点处切线斜率为0.因此, 引理在几何上表示: 若y =f (x)在(a, b)内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则在M(x0, f (x0)处的切线平行于x轴.如图bMax0y x0M x0y =f (x)注注2.2. 若f (x)在区间a, b的端点a(或b)处取得最大(小)值. 不能保证f (a)(或 f (b)=0.即, 在端点M(a, f (a)或M(b,

3、f (b)处切线不一定平行于x 轴.如图.0abxyy = f (x)定理定理1.1. (罗尔中值定理). 若y=f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内至少存在一点 , 使得 f .证证: : 因f (x)在a, b上连续, 从而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1 a, b(1) 若 m=M ,因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.有f x , 故 (a, b)有 f .(2) 若 mb, 还是ab.但 介于a, b之间.注注2.2. 若y =

4、f (x)在a, b上满足拉格朗日定理条件.x(a, b), y = f (x +x)f (x) = f x= f x +x) x其中| x |充分小, 介于x 和x之间.0 1. 使得 = x +x,如图xabx+xx注注3.3. 定理的条件f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导 不能减弱. 推论推论1.1. 若 f (x)在(a, b)内的导数恒为0, 即x(a, b). 有f x=0. 则 f (x)在(a, b)内是一个常数. 即x(a, b), f (x) = C(常数).证证: : 取定x0(a, b). 只须证明x(a, b), 有 f (x)=f (x0)即可. 因

5、f (x)在(a, b)内可导, 从而在(a, b)内连续.故 f (x)在x0, x (a, b)(或x, x0 (a, b)上满足拉格朗日定理的条件.f (x)f (x0) = f (x x0)=0, 介于x 和x0之间.即, x(a, b), 有f (x)=f (x0)例例2.2. 证证: : 记 f (x) = arcsinx+arccosx. 在(1, 1)内可导. 且从而在(1, 1)内, f (x) = C.(常数).取 x=0, 得故 当1 x 0时, 证证: : 改写原式,利用公式证不等式时, 往往要把待证式中的一部分写成的形式, 以便构造函数 f (x).所以, 记 f (

6、t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上满足拉格朗日中值定理的条件.且因故三、柯西中值定理三、柯西中值定理定理定理3.3. 若f (x), g(x)都在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 g(x) 0. 则至少存在一点(a, b),使得分析: 若分别对f (x), g(x)用拉格朗日中值定理, 可得上式左端但1, 2不一定相同, 故不能用这一方法.只须证即证证: : 知(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导.且从而(b)(a)=0.由罗尔中值定理, (a, b),使() = 0,例例5.5. 设 f (x)在(, +)内可导. f (0)=0. 证明 (, +),

7、 使得 2f () f () = 32 f 2(1)证证: : 这一类问题, 往往可考虑用中值定理解决.变形.注意到,左端, 从而, 待证式为故, 记F(x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上连续, 在(0,1)内可导.由柯西中值定理, (0, 1), 使得若修改例5为: f (0)=0, f (1)=0, 证明, (, +), 使得f () f () =0.则可用罗尔定理证.四、泰勒中值定理四、泰勒中值定理在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 来近似表示 f (x).比如, 当|x|很小时,

8、 ex 1+x, sin x.都是用一次函数表示函数 f (x)的例子.缺陷缺陷: : (1)精度不高, 误差仅为o(x)(2)没有误差估计式.从几何上看, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线, 精度当然不高.能否改用二次曲线, 三次曲线, , 代替? 精度是否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢? y=ex1y=1+x看图.1x0y我们要解决的问题是: 设f (x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.(1)试求一个关于xx0的n次多项式Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).即,

9、 f (x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(kn)导数值都相等.即, f (x0)=Pn(x0), f (x0)= Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0) = P(n)n(x0).(2)误差 f (x)Pn(x)的表达式.首先解决问题(1), 即设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.求Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n. 满足f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)= P(n)n(x0).将x=x0代入Pn(

10、x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得Pn(x0) = a1 = f (x0)对Pn(x)求二次导, 将x0代入, 得Pn(x0)= 2!a2 = f (x0)Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n同理,一般,得Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n得定理定理4.4.(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某个区间(a, b)内有直到n+1阶的导数，则对x(a, b)，有其中是介于x0与x之间的一个值.只须证明或证证: :由于f (x)和Pn(x)在(a, b)内

11、有直到 n+1 阶导数, 从而 Rn(x) 在 (a, b)内有直到 n+1 阶导数.注意到有1介于x0与x之间.对函数Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0, 1或1, x0上用柯西中值定理.有2介于x0与1 之间.继续下去, 经n次后,有其中 =n+1介于x0与n 之间, 从而介于x0与x之间.注注1.1. 公式称为 f (x) 按(xx0)的幂, 展开到n阶的泰勒公式.称为拉格朗日型余项.也可写成注注2.2. 当n0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式注注3.3. 若且可是, 误差Rn(x)是(xx0)n的高阶无穷小(当xx0时).即 Rn(x)=0(xx0)n ). 称为皮亚诺余项.注注4.4. 若在泰勒中值定理中取x0=0. 则公式为其中 介于x与0之间, 01.称为马克劳林公式.例例6.6. 写出 f (x) = ex展开到n阶的马克劳林公式.解解： f (n)(x) = ex, f (n)(0) =1故特别, 取x=1, 有,误差例例7.7. 求f (x)=sinx 在x0=0的展开式解：解：sin0 = 0, 故0， n=2k时,(1)k， n=2k 1时,将sin x在x0=0展开到n=2m阶.得其中同理其中例例8.8. 求解：解：展开相减从而