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1、第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程二、齐次二、齐次方程方程三、三、线性方程线性方程四四、全微分方程全微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程的形式称为可分离变量的微分方程的形式称为可分离变量的微分方程. .可分离变量的微分方程的解法：如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成. .例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分2、典型例题、典型例题的通解。的通解。即为所求的通解。即为所求的通解。解：解： 略略解：解： 略略的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法令令从而化为可分离变量方
2、程从而化为可分离变量方程1.1.定义定义二、齐次方程二、齐次方程 例例 4 4 求解微分方程求解微分方程 的通解的通解 解解 原方程可化为原方程可化为 此为齐次方程，因而令：此为齐次方程，因而令：分离变量，得分离变量，得两边积分得两边积分得原方程的通解为原方程的通解为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:称称 为为 齐次线性方程齐次线性方程.称称 为为非齐次线性方程非齐次线性方程三、线性方程三、线性方程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 齐次线性方程齐次线性方程 是可分离变量方
3、程是可分离变量方程 ， 1.齐次线性方程的齐次线性方程的解法解法分离变量后得分离变量后得2. 非齐次线性方程的解法（常数变量法）非齐次线性方程的解法（常数变量法）将齐次线性方程通解中的常数将齐次线性方程通解中的常数换成函数换成函数 (8)代入方程（代入方程（6）得）得 即即 .或或两边求积分得两边求积分得 .将上式代入将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式式得一阶非齐次线性方程的通解的公式 (9) 上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数变易为函数变易为函数，而后再去确定，而后再去确定方程的通解方程的通解.这种解法顾名思义称为这种
4、解法顾名思义称为“常数变易法常数变易法”.或或 (10) ，从而得到非齐次，从而得到非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: :对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程一个特解非齐次方程一个特解解解例例5 5先求与原方程对应的齐次线性方程先求与原方程对应的齐次线性方程 的通解的通解.即即分离变量得分离变量得 ,两边积分得两边积分得 , 从而从而 再由常数变易法可设原方程的解为再由常数变易法可设原方程的解为代入原方程得代入原方程得 化简得化简得 ,两两边积分得分得 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 .,.3. 贝努里贝努里( )方程方程形如形如 的方程称为贝努里
5、方程的方程称为贝努里方程. (13) 贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把(13)改写为改写为,从而有 (14) .于是，只要令于是，只要令，方程，方程(14)就化为线性方程就化为线性方程 它的通解可由公式它的通解可由公式(10)给出，再利用变换给出，再利用变换就可得方程就可得方程(13)的通解的通解.例例6 求解方程求解方程 .解：原方程可改写为解：原方程可改写为 (15) . 它是一个贝努里方程，它是一个贝努里方程，作变换作变换则方程则方程(15)变为变为根据公式根据公式(10)得得 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 . 四、 全微分方程如果方程
6、 (16) 的左边是某一个函数的的左边是某一个函数的的全微分，即的全微分，即 , (17)则称方程则称方程(16)是全微分方程（又称恰当方程）是全微分方程（又称恰当方程）.容易验证，方程容易验证，方程(16) 是全微分方程的充要条件为是全微分方程的充要条件为 其通解为其通解为. 根据根据(17)式，函数式，函数必须满足方程组必须满足方程组(18) 因此，因此， (19) 再由再由(18)第二个等式得第二个等式得 从而从而 两边对两边对积分便可求出积分便可求出，将其代入，将其代入(19)就得方程就得方程(16)的通解的通解. 例例7 求解方程求解方程解解: 得得故方程为全微分方程故方程为全微分方程.由由 . 从而从而于是于是 ,可取可取 因此原方程的通解为因此原方程的通解为 .
