恒定流动量方程

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1、 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程动量定律：动量定律：作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。即：即： 恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，特别是流体特别是流体与固体之间的总作用力。与固体之间的总作用力。1 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程 现以现以恒定总流恒定总流的一段为例，取的一段为例，取1和和2两个渐变流断面间的流两个渐变流断面间的流体为体为研究对象研究对象，两断面间流段，两断面间流段

2、1-2在在dt时间后移动到时间后移动到1-2。1. 动量方程的推导动量方程的推导A111v1dtA222v2dt2 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（3-13-1） 方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀分布的，以动量修正系数分布的，以动量修正系数a0修正。修正。 a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：工程计算中取工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：动量方程式改写为：（3-13-2）这就是这就是恒定流动量方程式恒定流动量方程

3、式。 a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大，取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大， a0越大，一般取越大，一般取a0 =1.053 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程 将将物质系统物质系统的动量定理应用于的动量定理应用于流体流体时，动量定理的表时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它流体段（简称流段，它是由流体构成的）是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占位时间内流出该流段所占空间空间的流体动量与流进的流体的流体动量与流进的流

4、体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。和，即外力之和。（3-13-23-13-2）2.2.公式说明：公式说明：4 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程控制体控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面p 系统与控制体系统与控制体系统系统：是一团确定不变的流体质点的集合。：是一团确定不变的流体质点的集合。 系统外的一切称为外界。系统外的一切称为外

5、界。5 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程 将将物质系统物质系统的动量定理应用于的动量定理应用于流体流体时，动量定理的表述形时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它是由流体流体段（简称流段，它是由流体构成的）构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占该流段所占空间空间的流体动量与流进的流体动量之差；该变化的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。 动量定理

6、本身的描述是针对特定的物质系统动量定理本身的描述是针对特定的物质系统（拉格朗日（拉格朗日法）法）而言的，是而言的，是拉格朗日的描述方法，拉格朗日的描述方法，而公式中而公式中“流进流进”和和“流出流出”的流体不属于同一系统，这种表述是的流体不属于同一系统，这种表述是欧拉法欧拉法的。的。 在流体力学中，在流体力学中，控制体控制体是在对流动规律的拉格朗日描述转是在对流动规律的拉格朗日描述转换到欧拉描述时所出现的概念，是换到欧拉描述时所出现的概念，是欧拉法欧拉法所采用的概念。所采用的概念。（3-13-2）2.2.公式说明：公式说明：6 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动

7、量方程3.3.适用条件适用条件：恒定流恒定流 过水断面为均匀流或渐变流过水断面过水断面为均匀流或渐变流过水断面 无支流的汇入与分出。无支流的汇入与分出。n如图所示的一分叉如图所示的一分叉管路，管路，动量方程式应为：动量方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2（3-13-2）7 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，1=2=和连续性方程和连续性方程Q1=Q2，其恒定流动能量，其恒定流动能量方程为：方程为：（3-13-33-13-3）在直角坐标系中的分量式为：在直角坐标系中的分量式为：（3-13-43-13-4）工程计算

8、中，通常取工程计算中，通常取a01=a02=18 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程动动量量方方程程是是一一个个矢矢量量方方程程。应应首首先先选选择择和和在在图图上上标标明明坐坐标标系系。注注意意外外力力、速速度度的的方方向向问问题题，它它们们与与坐坐标标方方向向一一致致时时为正，反之为负。为正，反之为负。全面分析作用于控制体的全面分析作用于控制体的所有外力所有外力。动动量量方方程程式式中中的的动动量量差差是是指指流流出出控控制制体体的的动动量量减减去去流流入入控控制体的动量，两者不能颠倒制体的动量，两者不能颠倒 。动量修正系数动量修正系数在计算要求精度不

9、高时，常取在计算要求精度不高时，常取1。动动量量方方程程中中的的各各项项物物理理量量的的单单位位要要一一致致。统统一一采采用用国国际际单单位位制制中中的的m、kg、N(kN)和和s。若若力力的的单单位位为为kN，取取1，若若力的单位为力的单位为N，则，则 取取1000。4.4.应用动量方程应用动量方程应注意的问题：应注意的问题：（3-13-23-13-2）9 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程p 两端断面上的水总压力两端断面上的水总压力P1、P2。p 边界的摩擦力边界的摩擦力T（可忽略）。可忽略）。p 控制体的重力控制体的重力G。p 固体边界给控制体水流的

10、总作用力固体边界给控制体水流的总作用力R。在各轴的投影在各轴的投影作用于控制体的所有外力作用于控制体的所有外力10 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程根根据据动动量量方方程程可可求求出出固固体体边边界界给给控控制制体体液液流流（即即壁壁面面对对流流体体）的的总总作作用用力力R，而而求求解解问问题题中中往往往往需需要要确确定定流流体体作作用用在壁面上的力在壁面上的力R，这两个力按牛顿第三定理，这两个力按牛顿第三定理 R =R。11 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程5. 应用动量方程式解决问题的步骤：应用动量方程式解决问

11、题的步骤：（）取控制体；（）取控制体；（3）正确分析受力，未知力设定方向；）正确分析受力，未知力设定方向； （2）建立坐标系）建立坐标系 以计算简便为原则以计算简便为原则（）流出和流进控制体的动量差：（）流出和流进控制体的动量差： (下游断面的动量下游断面的动量)(上游断面的动量上游断面的动量) 1122FP1FP2FRFG动量方程解决的是固体壁面和流体之动量方程解决的是固体壁面和流体之间相互作用的整体作用力，应使控制间相互作用的整体作用力，应使控制体既包含待求作用力的固壁，又不含体既包含待求作用力的固壁，又不含其他的未知作用力的固壁其他的未知作用力的固壁（5）联立动量方程求解。）联立动量方程

12、求解。 12 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程6. 动量方程式在实际工程中的应用动量方程式在实际工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴管轴水平放置水平放置管轴竖直管轴竖直放置放置13 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程例例3-15 水在直径为水在直径为10cm的的60水平弯管中，以水平弯管中，以5m/s的流速流的流速流动。弯管前端的压强为动。弯管前端的压强为0.1at(9807Pa)。如不计水头损失，也不考。如不计水头损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管虑重力作用，求水流对弯管1-2的作用力

13、。（弯管水平放置）的作用力。（弯管水平放置）解解（1）确定控制体。）确定控制体。取控制体为取控制体为1-2断面间弯管占有的空间；断面间弯管占有的空间； （2）选择坐标系。）选择坐标系。如图所示；如图所示； xyz60A1A2v2v11122x轴为弯管进口前管道的轴线轴为弯管进口前管道的轴线xy平面为水平面平面为水平面14 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（3）控制体内流体受力分析。）控制体内流体受力分析。由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括：由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括：断面断面1上：上：P1=p1A1；断面断面2上：上：P2=p2A2；其余

14、表面：弯管内表面的作用力设为其余表面：弯管内表面的作用力设为 ，其投影与，其投影与x轴成轴成角。角。未知压强未知压强p2应用能量方程：应用能量方程： 由于由于Z1=Z2，v1=v2=v，可得：，可得：xyzR60A1A2v2v11122可求出在可求出在x、y轴上的分力轴上的分力15 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（4）流出和流进控制体的动量差：）流出和流进控制体的动量差：xyzR60A1A2v2v11122由于断面面积不变由于断面面积不变v1= v2=5m/s（5）联立动量方程得：）联立动量方程得：16 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定

15、流动量方程恒定流动量方程也即：也即：17 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程联立求解，得：联立求解，得：（6）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反。的作用力大小相等方向相反。 因此水流对弯管的作用力因此水流对弯管的作用力F为：为： F=272N，方向与，方向与R相反。相反。18 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程【例例】 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由，直径由 dA200 mm 变为变为 dB150 mm ，在

16、流量，在流量 时，压强时，压强 ，求水流对，求水流对 AB 段段 弯管的作用力。不计弯管段的水弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。头损失。（弯管水平放置）（弯管水平放置）解：解：B19 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程B20 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程【例例】如如图图所所示示，夹夹角角呈呈60的的分分岔岔管管水水流流射射入入大大气气，干干管管及及管管的的轴轴线线处处于于同同一一水水平平面面上上。已已知知v2=v3=10m/s，d1200mm，d2120mm，d3100mm，忽忽略略水水头头损损失失，试求水流对

17、分岔管的作用力分量试求水流对分岔管的作用力分量Fx、Fy。解解（1）确定控制体。）确定控制体。 取过流断面取过流断面1-1、2-2、3-3及管壁及管壁所围成的空间为控制体；所围成的空间为控制体；（2）选择坐标系，如图所示；）选择坐标系，如图所示； 21 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（3）控制体内流体受力分析。）控制体内流体受力分析。 过流断面过流断面1-1上的压力上的压力P1； 过流断面过流断面2-2和和3-3上的压力上的压力P2P30； 分岔管对水流的作用力分岔管对水流的作用力Fx、Fy；（4）列动量方程）列动量方程x，y轴方向的投影式轴方向的投影

18、式22 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程n以分岔管轴心线为基准线，列以分岔管轴心线为基准线，列1、2断面伯努利方程断面伯努利方程23 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程n将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力n水流对分岔管的作用力水流对分岔管的作用力方向与方向与ox 轴方向相同轴方向相同方向与方向与oy 轴方向相反轴方向相反24 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程 【例例】 有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为有一沿铅垂放置的弯管如图

19、所示，弯头转角为90，起，起始断面始断面1-1与终止断面与终止断面2-2间的轴线长度间的轴线长度L为为3.14m，两断面中，两断面中心高差心高差z为为2m，已知断面，已知断面1-1中心处压强中心处压强p1为为117.6kPa，两断，两断面之间水头损失为面之间水头损失为0.1m，管径，管径d为为0.2m。试求当管中流量。试求当管中流量Q为为0.06m3/s 时，水流对弯头的作用力。时，水流对弯头的作用力。 解解（1）确定控制体。）确定控制体。取控制体为取控制体为1-1,2-2断面间弯管占有的空间；断面间弯管占有的空间； （2）选择坐标系，如图所示；）选择坐标系，如图所示； Oxz25 第三章 一

20、元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（3）求管中流速和）求管中流速和断面断面2-2中心处压强中心处压强p2以断面以断面2-2为基准面，对断面为基准面，对断面1-1与与 2-2写能量方程写能量方程于是于是 RZZ将将代入上式代入上式得得26 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程n 重力：弯头内水重重力：弯头内水重n 作用于断面作用于断面1-1与与2-2上的总压力上的总压力RZZ（4）受力分析）受力分析n 令管壁对水体的作用力在水平和铅垂方向令管壁对水体的作用力在水平和铅垂方向的分力为的分力为 及及 ，27 第三章 一元流体动力学基础第

21、十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程（5）对弯头内水流沿）对弯头内水流沿x、z方向分别写动量方程式方向分别写动量方程式l 沿沿x方向动量方程为方向动量方程为l 沿沿z方向动量方程为方向动量方程为得得得得RZZ28 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力作用力作用力R与水平轴与水平轴x的夹角的夹角 水流对管壁的作用力与水流对管壁的作用力与R大小相等，大小相等，方向相反。方向相反。RZZ29 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程第三章第三章 一元流体动力学基础一元流体动力学基础 n

22、第一节第一节 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法n第二节第二节 恒定流和非恒定动流动恒定流和非恒定动流动n第三节第三节 流线和迹线流线和迹线n第四节第四节 一元流动模型一元流动模型n第五节第五节 连续性方程连续性方程n第六节第六节 恒定元流能量方程恒定元流能量方程n第七节第七节 过流断面的压强分布过流断面的压强分布n第八节第八节 恒定总流能量方程式恒定总流能量方程式n第九节第九节 能量方程的应用能量方程的应用n第十节第十节 总水头线和测压管水头线总水头线和测压管水头线n第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程30 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流

23、动量方程动量方程与能量方程的异同动量方程与能量方程的异同建立的条件都是恒定流，要求断面为渐变流过水断面。建立的条件都是恒定流，要求断面为渐变流过水断面。能量方程无向量性，不需要投影，动量方程是向量方能量方程无向量性，不需要投影，动量方程是向量方程，要在选定正向的坐标轴上投影。程，要在选定正向的坐标轴上投影。应用能量方程式时，两渐变流断面之间的长度没有限应用能量方程式时，两渐变流断面之间的长度没有限制，视需要而定，应用动量方程式时，两渐变流端断制，视需要而定，应用动量方程式时，两渐变流端断面之间的急变流段尽量短些，这样其间的摩擦力可以面之间的急变流段尽量短些，这样其间的摩擦力可以不计。不计。应用

24、能量方程时要全面考虑流段上的所有水头损失，应用能量方程时要全面考虑流段上的所有水头损失，应用动量方程时，要全面分析作用于控制体上的所有应用动量方程时，要全面分析作用于控制体上的所有外力。外力。31 第三章 一元流体动力学基础第十三节第十三节 恒定流动量方程恒定流动量方程复习思考题复习思考题n1什么是流线？什么是迹线？流线与迹线的区别是什么？什么是流线？什么是迹线？流线与迹线的区别是什么？n2什么是恒定流动？什么是非恒定流动？什么是恒定流动？什么是非恒定流动？n3何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？引入渐变流概念，何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？引入渐变流概念，对研究流体运动有什么实际意义？对研究流体运动有什么实际意义？n4动能修正系数及动量修正系数的物理意义是什么？动能修正系数及动量修正系数的物理意义是什么？n5说明总流伯努利方程各项的物理意义和几何意义。说明总流伯努利方程各项的物理意义和几何意义。n6结合公式推导，说明总流动量方程适用条件。结合公式推导，说明总流动量方程适用条件。32