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1、 在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概在第二章的讨论知道，离散型随机变量的变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另在实际应用中，概率分布或密度函数的获得通常是困难的。另一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量的某些特征。而只需知道该随机变量的某些特征。 例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，例如，为了对某市高一学生的某门课的考试成绩作分析，一般并不
2、需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平一般并不需要所有学生的考试成绩，而只需知道每所学校的平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩的偏离程度，有了这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学这些指标，就可以作横向和纵向的比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随机变量的特征。生成绩这一随机变量的特征。 用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。用以刻画随机变量某方面特征的量，称为随机变量的数字特征。 常用的数字特征：常用的数字特征：数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方数学期望、方差、矩、众数、中位数、协方差、相关
3、系数差、相关系数。第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例1 1 某工厂生产一批产品，一等品占某工厂生产一批产品，一等品占50%50%，二等品，二等品占占40%40%，次品占，次品占10%10%。如果生产一件次品，工厂要。如果生产一件次品，工厂要损失损失 1 1元钱，生产一件一等品，工厂获得元钱，生产一件一等品，工厂获得2 2元钱元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得的利润，生产一件二等品，工厂获得 1 1 元钱的元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？产品获得的期望利润是多少？设设X X表示每件产品获得的
4、利润，则它是随机变量，表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为其概率分布为解：解：解：解：假设工厂一共生产了假设工厂一共生产了N N件产品，其中一等品件产品，其中一等品 n n1 1件，件，二等品二等品 n n2 2件，次品件，次品 n n3 3件件这这N N 件产品获得的平均利润为件产品获得的平均利润为或者写为而在大量重复试验下当而在大量重复试验下当N N无限增大时，频率的稳无限增大时，频率的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于近于或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得件
5、产品获得1.31.3元的利润。元的利润。数值数值1.31.3称为随机变量称为随机变量X X的的数学期望数学期望或或均值均值。 一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为：的概率分布为：若若 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量 的的数学期望或均值，记为数学期望或均值，记为 ，即，即 注：注：u 度量了随机变量度量了随机变量 取值的加权平均！取值的加权平均！ u 为权重！为权重！第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望例例 甲乙二人射击，X：甲击中的环数
6、；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为试问哪一个人的射击水平较高? ? 二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为：的概率分布为：若若 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 的的数学期望或均值。数学期望或均值。离离 散散连连 续续概率概率密度函数密度函数定义定义 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为 , 若若 绝对收敛，则绝对收敛，则称称 为随机变量为随机变量 的数学期望或的数学期望或均值，记为均值，记为 例例3.3 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为求求 的数学期望的数学期望 。解解 由连续型随
7、机变量数学期望的定义，有由连续型随机变量数学期望的定义，有 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理 设设 为随机变量，为随机变量， 为实函数，为实函数，为求为求 的数学期望，可以不必通过求的数学期望，可以不必通过求 的概率分布（离散）或密度的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用函数（连续），而只需直接利用 的概率分布或密度函数。的概率分布或密度函数。若若 绝对收敛，则绝对收敛，则 存在，且存在，且（1）设）设 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为（2）设）设 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，若，若 则则 存在，
8、存在，且且绝对收敛，绝对收敛，解解 解解 例例3.4 设随机变量设随机变量 的概率分布为的概率分布为求求例例3.5 对例对例3.3中的随机变量中的随机变量 ，求，求 四、数学期望的性质四、数学期望的性质（1）若）若 ，则，则 ，特别地，特别地（3）（2）（4）第二节第二节 随机变量的方差随机变量的方差p 有可能产品的寿命均集中在有可能产品的寿命均集中在9501050小时！小时！p 有可能一半产品的寿命集中在有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集小时，另一半产品的寿命集 中在中在1300小时！小时！ 对随机变量对随机变量 ，知道了它的数学期望，知道了它的数学期望 ，虽然对该，虽
9、然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！随机变量有了一定的了解，但还不够！ 例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为命为1000小时，即小时，即 ，但不能完全肯定质量，但不能完全肯定质量的好坏！的好坏！质量稳定！质量稳定！质量相对不稳定！质量相对不稳定！ 有必要找一个量，能够度量随机变量有必要找一个量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度。的偏离程度。 什么量，能够度量随机变量什么量，能够度量随机变量 相对于相对于 的偏离程度？的偏离程度？不能！不能！是随机变量是随机变量不能！不能！（正负偏差相互抵消）（正负偏差相互抵消
10、）不便于计算！不便于计算！定义定义 设随机变量设随机变量 的数学期望为的数学期望为 ，则称，则称 为随机变量为随机变量 的方差，记为的方差，记为 ，或，或 ，并称，并称 为为 的标准差。的标准差。 方差的计算：方差的计算： 考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望： ，因此，因此 若若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 ，则，则 若若 为连续型随机变量，概率密度函数为为连续型随机变量，概率密度函数为 ，则，则 在很多场合，计算方差经常用到如下公式：在很多场合，计算方差经常用到如下公式： 方差的性质：方差的性质： （1） （2）
11、（3）例例3.6 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为解解 由例由例3.3的结果，的结果，求求 的方差的方差例例3.7 对任意随机变量对任意随机变量 ，设，设 ，令，令 ，求求 解解 称称 为为 的标准化的标准化 ，它是一个无量纲的随机变量，它是一个无量纲的随机变量，将原分布中心将原分布中心 移至原点，且方差为移至原点，且方差为1个单位。个单位。 证证 例例3.8 对随机变量对随机变量 ，设，设 存在存在 ，令，令 ，证明，证明当当 时，时， 达到最小值，且最小达到最小值，且最小值为值为因此当因此当 时，时， 达到最小值，且达到最小值，且最小值为最小值为第三节第三节 常用分布的数学期
12、望和方差常用分布的数学期望和方差 一、常用离散型分布的数学期望和方差一、常用离散型分布的数学期望和方差1.退化分布：退化分布：离散型随机变量离散型随机变量 只取常数只取常数 ，即，即 ，2. 0-1分布：分布：离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为因此因此因此因此3. 个点上的均匀分布：个点上的均匀分布：4. 二项分布：二项分布：离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 ，即离散型随机变量，即离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为因此因此则则5. 几何分布：几何分布： 随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为6. 超几何分布：超几何分布：随机变量随机变量 的概
13、率分布为的概率分布为（证明略）（证明略）7. 泊松分布：泊松分布：随机变量随机变量 的概率分布为的概率分布为 二、常用连续型分布的数学期望和方差二、常用连续型分布的数学期望和方差1.均匀分布：均匀分布：密度函数为密度函数为连续型随机变量连续型随机变量 服从区间服从区间 上的均匀分布，上的均匀分布，则则而而从而从而2. 指数分布：指数分布：连续型随机变量连续型随机变量 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，密度函数为密度函数为则则而而从而从而3. 正态分布：正态分布： 则数学期望为则数学期望为随机变量随机变量 ， 其密度函数为其密度函数为 （令（令 ） 方差为方差为 （令（令 ） 常用离
14、散型分布的数学期望和方差常用离散型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称 概率分布概率分布 数学期望数学期望 方差方差 退化分布退化分布 0-1分布分布 个点的个点的均匀分布均匀分布 二项分布二项分布 几何分布几何分布 超几何分布超几何分布 泊松分布泊松分布 常用连续型分布的数学期望和方差常用连续型分布的数学期望和方差 分布名称分布名称 密度函数密度函数 数学期望数学期望 方差方差 均匀分布均匀分布 指数分布指数分布 正态分布正态分布第四节第四节 随机变量的矩和切比雪夫不等式随机变量的矩和切比雪夫不等式 一、矩一、矩 矩是数学期望和方差的推广，在数理统计中有重要应用。矩是数学期望和方差的推广，
15、在数理统计中有重要应用。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在存在 即为数学期望即为数学期望 。 即即为为方方差差 。定义：定义：对随机变量对随机变量 ，设，设 为正整数，如果为正整数，如果 存在，存在， 则称则称 为为 的的 阶阶中心矩中心矩。 （即（即 ），则称），则称 为为 的的 阶阶原点矩原点矩。 矩的计算：矩的计算： 则则（1）若）若 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为（2）若）若 为连续型随机变量，密度函数为为连续型随机变量，密度函数为 ，则，则 二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式定理：定理：对随机变量对随机变量 ，设
16、，设 均存在，则对任意均存在，则对任意 ， 有有 或者或者切比雪夫不等式切比雪夫不等式n 切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概率的估计。率的估计。n 不等式表明，不等式表明， 越小，事件越小，事件 的概率越小，这表明方差用来刻画随机变量的概率越小，这表明方差用来刻画随机变量 的取值相对于的取值相对于 的偏离程度。的偏离程度。（证明略）（证明略）例例3.9 设随机变量设随机变量 的数学期望为的数学期望为 ，均方，均方差为差为 ，估计，估计 在在700800的概率。的概率。解解 因为因为 等价于等价于 ，所以，所以推论：推论：随机变量随机变量 的方差为的方差为 0，当且仅当存在常数，当且仅当存在常数 ，使得，使得
