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1、定义定义1：设设X是一离散型随机变量，其分布列为：是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量则随机变量X 的的数学期望数学期望为为:设设X是一连续型随机变量，其是一连续型随机变量，其分布密度为分布密度为则随机变量则随机变量X的的数学期望数学期望为为一、一维随机变量的数学期望一、一维随机变量的数学期望定义定义2：第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 （一一）基本内容基本内容1（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi , yj)，则则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：（2）设二维连续随机变量
2、）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x, y)，则则随机变量随机变量X及及Y 的数学期望分别定义如下：的数学期望分别定义如下：即：即：假定级数是绝对收敛的假定级数是绝对收敛的.假定积分是绝对收敛的假定积分是绝对收敛的.二、二维随机变量的数学期望二、二维随机变量的数学期望即：即：2则定义随机变量函数则定义随机变量函数的的数学期望数学期望为：为：（1）设）设离散型随机变量离散型随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：三三、一维随机变量函数的数学期望、一维随机变量函数的数学期望机变量函数机变量函数的数学期望为：的数学期望为：则定义随则定义随（2）若）若X为连续型随机变量
3、为连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为3（1）设二维离散随机变量）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为的联合概率函数为p(xi , yj)，则则随机变量函数随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下：（2）设二维连续随机变量）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x, y)，则则随机变量随机变量g(X,Y)的数学期望如下：的数学期望如下：假定这个级数是绝对收敛的假定这个级数是绝对收敛的.假定这个积分是绝对收敛的假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望四、二维随机变量的函数的数学期望4五、关于数学期望的定理五、关于数学期望的定理
4、定理定理1 1推论推论 （1）（2）（3）定理定理2 2推论：推论：定理定理3 3 若若X、Y 独立，则有独立，则有：推论推论5定义定义 X 的的标准差标准差：定义定义X 的的方差：方差：若若X 为为离散型随机变量离散型随机变量，则有则有若若X 为为连续型随机变量连续型随机变量，则有则有方差的计算公式方差的计算公式: :定理定理1 1推论：推论：有关方差的定理：有关方差的定理：六、方差与标准差六、方差与标准差6定理定理2 2： 若若X与与Y 独立，独立，推论：推论：七、某些常用分布的数学期望及方差七、某些常用分布的数学期望及方差二项分布：二项分布：0 -1分布：分布：几何分布几何分布:均匀分布
5、均匀分布:指数分布指数分布:Poisson分布分布7二维随机变量的方差二维随机变量的方差：连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量8随机变量随机变量X 的的 k 阶原点矩：阶原点矩：定义定义1：定义定义2： X 的的k 阶中心矩阶中心矩：对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：对于离散随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于连续随机变量：其中其中k为正整数。特别的，为正整数。特别的，特别的，特别的，八、原点矩与中心矩八、原点矩与中心矩9 离散型随机变量：离散型随机变量： 连续型随机变量：连续型随机变量：1 1、X与与Y 的协方差（或的协
6、方差（或相关矩相关矩）：）：定义定义注注九、协方差与相关系数九、协方差与相关系数定理定理1 定理定理2 2 若若X与与Y 独立，则：独立，则：注注 设设X与与Y是任两个随机变量，是任两个随机变量，逆命题不成立。逆命题不成立。102 2、X与与Y 的相关系数的相关系数定义定义定理定理3 3且且定理定理4 4定理定理5 5如果如果 X 与与Y 独立，则独立，则反之不成立。反之不成立。即即: : X 与与 Y相互相互独立独立X与与 Y 不相关不相关11十十、切比雪夫不等式与大数定律、切比雪夫不等式与大数定律1 1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 2 2、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律 4 4、伯
7、努利大数定律、伯努利大数定律 3 3、辛钦大数定律、辛钦大数定律若方差一致有上界若方差一致有上界独立同分布独立同分布在独立试验序列中，事件在独立试验序列中，事件 A 的频率按概率收敛于事件的频率按概率收敛于事件 A 的的概率概率.12解解设随机变量设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数表示在取得合格品之前已取得的废品数,则则1 一批零件有一批零件有9个合格品与个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一个废品，安装机器时从中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差。取出的废品数的数学期望、
8、方差与标准差。（二）作业题略解（二）作业题略解13所以所以X 的概率分布列为的概率分布列为14的次品率为的次品率为p p，求每批产品抽查样品的平均数。求每批产品抽查样品的平均数。都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5 5个产品个产品2 2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若若发现次品，则发现次品，则设随机变量设随机变量X 表示表示每批产品抽查的样品数每批产品抽查的样品数，则，则:X 的概率分布表如下：
9、的概率分布表如下：解解153 3 设随机变量设随机变量X的概率密度为：的概率密度为：求数学期望求数学期望EX与方差与方差DX. .令令解解则则164 4 设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为: :求数学期望求数学期望EX与方差与方差DX. .解解175 5 设随机变量设随机变量X 的概率密度为：的概率密度为：求系数求系数A及及EX与与D X. .令令解解18196 方向盘有整分度方向盘有整分度 ，如果计算角度时是把零头数化为最，如果计算角度时是把零头数化为最解解与标准差。与标准差。靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望测量方
10、位角时的误差测量方位角时的误差X207 设随机变量设随机变量X 服从二项分布服从二项分布B(3,0.4),(3,0.4),求下列随机变量的数求下列随机变量的数学期学期望望与方差与方差: :解解21228 X 的密度函数为：的密度函数为：解解239 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内内,求球体积的数学期望求球体积的数学期望.解解设随机变量设随机变量X，Y 分别表示球的直径和体积，分别表示球的直径和体积，则则而而10 10 证明：若随机变量证明：若随机变量X与与Y 独立，则独立，则 证证右右=24=左左X与与Y 独立，独立， X 2 与与Y 2
11、 独立，独立，右右也可从左往右证也可从左往右证.解解 11 独立，且服从同一分布，数学期望独立，且服从同一分布，数学期望为为随机变量随机变量学期望及方差学期望及方差.方差为方差为求它们的算术平均值求它们的算术平均值的数的数2512 N个人同乘一辆长途汽车，沿途有个人同乘一辆长途汽车，沿途有n个车站，每到一个车站个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车时，如果没有人下车，则不停车. .设每个人在任一站下车是设每个人在任一站下车是等可能的等可能的, ,求停车次数的数学期望求停车次数的数学期望. .解解1且服从分布且服从分布26解解2设设Y 表示停车的次数表示停车的次数,服从分布二项分布服从
12、分布二项分布B( n,p )Y则则27解解13 计算二项分布计算二项分布的三阶原点距，三阶中心距的三阶原点距，三阶中心距.282914 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）在区域在区域R：（2）数学期望）数学期望E(X)及及E(Y)、方差方差D(X)及及D(Y)；及相关系数及相关系数解解（1）设（）设（X,Y）的概率密度的概率密度其中其中C 为常数为常数.则则服从均匀分布，求：（服从均匀分布，求：（1）的概率密度；）的概率密度；（3）相关矩）相关矩上上30（2）（3）3115解解3216 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三三倍
13、标准差的概率倍标准差的概率.解解3317 为了确定事件为了确定事件 A 的概率的概率, 进行了进行了10000次重复独立试验次重复独立试验. 利用切比雪夫不等式估计：用事件利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在在10000次试验中发生次试验中发生的频率作为事件的频率作为事件 A 的概率近似值时的概率近似值时, 误差小于误差小于0.01的概率的概率.解解 设事件设事件A 在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为 p，在这在这10000次试验次试验中发生了中发生了X 次次, 则则因此，所求事件的概率为因此，所求事件的概率为34设设仪器误差的数学期望及方差分别是：仪器误差的数学期望及方差分别是
14、：18 利用某仪器测量已知量利用某仪器测量已知量a 时，所发生的随机误差的概率密时，所发生的随机误差的概率密度在独立试验过程中保持不变。设度在独立试验过程中保持不变。设 是各是各次测量的结果，可否取次测量的结果，可否取作为仪器误差的方作为仪器误差的方差的近似值？差的近似值？解解35若系统没有误差，即若系统没有误差，即则则据切比雪夫定理的推论，得据切比雪夫定理的推论，得即即36若次品率不大于若次品率不大于0.01，则任取则任取200件，发现件，发现6件次品的概率件次品的概率应不大于应不大于利用泊松定理，利用泊松定理， 取取=2000.01=2此概率很小，此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理
15、，据小概率事件的实际不可能性原理，不能相信该工厂的次品率不大于不能相信该工厂的次品率不大于0.01。解解19 从某工厂的产品中任取从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有件，检查结果发现其中有6件次件次品，能否相信该工厂的次品率不大于品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。37（三）其它习题略解（三）其它习题略解:5,19 帕斯克分布帕斯克分布:设事件设事件A在每次实验中发生的概率为在每次实验中发生的概率为 p，进进 行重复独立实验，直至事件行重复独立实验，直至事件A发生发生r 次为止，需要进行的次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布实验总次数的概率分布:解解X 表示直到事件表示直
16、到事件A发生发生r 次需要进行的实验总次数，次需要进行的实验总次数，表示直到事件表示直到事件A发生第发生第1 次进行的实验次数，次进行的实验次数，表示事件表示事件A发生第发生第i-1 次后到第次后到第i次发生时进行的实验次数，次发生时进行的实验次数，则则:且且相互独立相互独立,服从几何分布服从几何分布G(p).求求: X 的期望与方差的期望与方差.3815 过半径为过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度求这弦的平均长度.解解如图示如图示:设设T 表示过圆周上定点表示过圆周上定点O所作的弦所作的弦OA与与x 轴的夹角轴的夹角,xLTO2RA则则 T 在在 上
17、服从均匀分布上服从均匀分布,设设L 表示所作的弦的长度表示所作的弦的长度, 则则:L=2RcosTE(L)=E(2RcosT)=3922 计算均匀分布计算均匀分布U(a,b)的的k阶原点矩及阶原点矩及k阶中心矩阶中心矩.解解 设随机变量设随机变量 X U(a,b), 则其概率密度则其概率密度:为奇数为奇数为偶数为偶数4026设设是任意是任意 n个随机变量个随机变量, 证明证明:若若相互独立相互独立,证明证明:4127X H( n, M, N )设设求求: E( X ), D( X ).解解则则 则则n次抽样共抽到的次品数为：次抽样共抽到的次品数为： 且且 所以：所以： 表示第表示第i 次抽样时
18、取得的次品数次抽样时取得的次品数,设设01420101434431证明证明:若不独立的随机变量若不独立的随机变量满足条件满足条件则对任意的正数则对任意的正数 恒有恒有证明证明: 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式, 对任意的正数对任意的正数 恒有恒有因概率不能大于因概率不能大于1, (马马尔尔可可夫夫)45补例补例1: 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在矩形区域在矩形区域:上服从均匀分布上服从均匀分布,记记求求(1)U与与V的联合分布的联合分布,(2)U与与V的相关系数的相关系数.解解:由题意由题意(X,Y) 的联合概率密度的联合概率密度:112yx2y= xy= xO如图示如图示: P(
19、U=0,V=0)=46P(U=0,V=1)P(U=1,V=0)P(U=1,V=1)0101所以所以(U,V )的联合分布的联合分布:470101因因U,V 分别服从分别服从“0-1”分布分布,48例例2:设随机变量设随机变量U 在区间在区间-2,2上服从均匀分布上服从均匀分布,随机变量随机变量: 求求(1) ( X, Y ) 的联合分布的联合分布, (2) D(X+Y).由题意随机变量由题意随机变量U 的概率密度的概率密度:解解:P(X=-1,Y=-1)P(X=-1,Y=1)=P (U-1)=P (U-1,U1)=0P(X=1,Y=-1)=P (U-1,U1)=P(-1-1,U1)=P(U1)
20、=P (U-1,U1)49-11-11所以所以(X,Y )的联合分布的联合分布:Z=X+Y 的概率分布的概率分布:02P(Z=z)-250例例3:解解: (1)设设 A,B 为随机事件为随机事件,且且P(A) = P(B/A)= P(A/B)=发生发生不发生不发生,发生发生不发生不发生令令求求:(1) (X,Y) 的联合分布的联合分布; (2) X与与Y的相关系数的相关系数;(3) 的概率分布的概率分布.P(X=0,Y=0)P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)P(X=1,Y=1)5101010P(X= )10P(Y= )1(X,Y)的联合分布的联合分布:X的边缘分布的边缘分布:Y的边缘分布
21、的边缘分布:2)因因X,Y 分别服从分别服从“0-1”分布分布,523) 随机变量随机变量 的可能取值的可能取值:0,1,2.12P(Z= )053例例4:某流水生产线上每个产品不合格的概率为某流水生产线上每个产品不合格的概率为: p (0p1),各产品合格与否相互独立各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X ,求求X的数学期望的数学期望 E(X)与方差与方差D(X).解解: 由题意由题意随机变量随机变量X 的概率函数的概率函数:54例例5: 已知甲已知甲, 乙两个箱
22、子装有同种产品乙两个箱子装有同种产品, 其中甲箱中装有其中甲箱中装有3件合格品件合格品,3件次品件次品,乙箱中仅装有乙箱中仅装有3件合格品件合格品,从甲箱中任取从甲箱中任取3件产品装入件产品装入,乙箱中后乙箱中后,求求:(1)乙箱中次品件数乙箱中次品件数X的数学期望的数学期望; (2) 从乙箱中任取从乙箱中任取1件产品是次品的概率件产品是次品的概率. 解解: (1) X 的一切可能取值的一切可能取值:x =0,1,2,3.X 的概率函数的概率函数:02P(X=x)1355(2)设设 表示从甲箱任取的产品中有表示从甲箱任取的产品中有i 件次品件次品(i = 0,1,2,3),A 表示从乙箱中任取表示从乙箱中任取1件产品是次品件产品是次品.则则:56
