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1、第第7讲讲一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1一元二次方程的概念及一般形一元二次方程的概念及一般形 一元二一元二次方程次方程定定义含有含有_个未知数，并且未知个未知数，并且未知数最高次数是数最高次数是_的整式方程的整式方程一般形式一般形式_防防错提醒提醒在一元二次方程的一般形式中要注在一元二次方程的一般形式中要注意意强强调axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)一一 2 ax2bxc0(a0) 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 一元二次方程的四种解法一元二次方程的四种解法 直接直接开平开平方法方法 适合于适合于
2、( (x xa a) )2 2b b( (b b0)0)或或( (axaxb b) )2 2( (cxcxd d) )2 2形式的方程形式的方程 因式因式分解分解法法 基本思想基本思想 把方程化成把方程化成abab0 0的形式，得的形式，得a a0 0或或b b0 0 方法规律方法规律 常用的方法主要运用提公因式法、常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式平方差公式、完全平方公式型因式分解分解 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦配方配方法法定定义通通过配成完全平方的形式解一元二次方配成完全平方的形式解一元二次方程程配方法配方法解方程解方程的步的步骤化二
3、次化二次项系数系数为1 1；把常数把常数项移到移到方程的另一方程的另一边；在方程两在方程两边同同时加上加上一次一次项系数一半的平方；系数一半的平方；把方程整理把方程整理成成( (x xa a) )2 2b b的形式；的形式；运用直接开平运用直接开平方解方程方解方程考点考点3 3 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦两个不相等两个不相等 两个相等两个相等 没有没有考点考点4 4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点5 5 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 第第7讲讲 考点聚焦考点聚焦应用用类型
4、型等量关系等量关系增增长率率问题(1)(1)增增长率增量率增量基基础量量(2)(2)设a a为原来原来的量，的量，m m为平均增平均增长率，率，n n为增增长次数，次数，b b为增增长后的量，后的量，则a a(1(1m m) )n nb b，当，当m m为平平均下降率均下降率时，则a a(1(1m m) )n nb b利率利率问题(1)(1)本息和本金利息本息和本金利息(2)(2)利息本金利息本金利率利率期数期数销售利售利润问题(1)(1)毛利毛利润售出价售出价进货价价(2)(2)纯利利润售出价售出价进货价其他价其他费用用(3)(3)利利润率率利利润进货价价第第7讲讲 归类示例归类示例归类示例
5、归类示例类型之一一元二次方程的有关概念类型之一一元二次方程的有关概念 命题角度：命题角度：1一元二次方程的概念；一元二次方程的概念；2一元二次方程的一般式；一元二次方程的一般式；3一元二次方程的解的概念一元二次方程的解的概念 例例1 1 已知关于已知关于x x的方程的方程x2x2bxbxa a0 0有一个根是有一个根是a(a0)a(a0)，则a ab b的的值为( () )A A1 B1 B0 C0 C1 D1 D2 2 A 解析解析 把把x xa a代入代入x x2 2bxbxa a0 0，得，得( (a a) )2 2b b( (a a) )a a0 0，a a2 2ababa a0 0，
6、所以所以a ab b1 10 0，a ab b1 1，故，故选择A A 类型之二类型之二一元二次方程的解法一元二次方程的解法 命题角度：命题角度：1 1直接开平方法；直接开平方法；2 2配方法；配方法；3 3公式法；公式法；4 4因式分解法因式分解法第第7讲讲 归类示例归类示例例例2 2 解方程：解方程：2 2（x-3)=3x(x-3)x-3)=3x(x-3)第第7讲讲 归类示例归类示例 利利用用因因式式分分解解法法解解方方程程时，当当等等号号两两边有有相相同同的的含含未未知知数数的的因因式式( (如如例例2)2)时，不不能能随随便便先先约去去这个个因因式式，因因为如如果果约去去则是是默默认这
7、个个因因式式不不为零零，那那么么如如果果此此因因式式可可以以为零零，则方方程程会会失失一一个个根根，出出现漏漏根根错误所所以以应通通过移移项，提取公因式的方法求解提取公因式的方法求解第第7讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 第第7讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1判别一元二次方程根的情况；判别一元二次方程根的情况；2求一元二次方程字母系数的取值范围求一元二次方程字母系数的取值范围例例3 3 2012绵阳阳 已知关于已知关于x的方程的方程x2(m2)x(2m1)0.(1)求求证：方程恒有两个不相等的：方程恒有两个不相等的实数根；数根；
8、 (2)若此方程的一个根是若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求求出方程的另一个根，并求出以此两根出以此两根为边长的直角三角形的周的直角三角形的周长 第第7讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)判判别一元二次方程有无一元二次方程有无实数根，就是数根，就是计算判算判别式式b b2 24 4acac的的值，看它是否大于，看它是否大于0.0.因因此，在此，在计算前算前应先将方程化先将方程化为一般式一般式 (2) (2)注意二次注意二次项系数不系数不为零零这个个隐含条件含条件 第第7讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 命题角度：命题角度：1 1用一元
9、二次方程解决变化率问题：用一元二次方程解决变化率问题：a a(1(1m m) )n nb b； 2 2用一元二次方程解决商品销售问题用一元二次方程解决商品销售问题 第第7讲讲 归类示例归类示例例例4 4 2012乐山山 菜菜农李李伟种植的某蔬菜种植的某蔬菜计划以每千克划以每千克5元的元的单价价对外批外批发销售，由于部分菜售，由于部分菜农盲目盲目扩大种植，造成大种植，造成该蔬菜滞蔬菜滞销李李伟为了加快了加快销售，减少售，减少损失，失，对价格价格经过两两次下次下调后，以每千克后，以每千克3.2元的元的单价价对外批外批发销售售(1)求平均每次下求平均每次下调的百分率；的百分率；(2)小小华准准备到李
10、到李伟处购买5吨吨该蔬菜，因数量多，李蔬菜，因数量多，李伟决定决定再再给予两种予两种优惠方案以供惠方案以供选择：方案一：打九折方案一：打九折销售；售；方案二：不打折，每吨方案二：不打折，每吨优惠惠现金金200元元试问小小华选择哪种方案更哪种方案更优惠，惠，请说明理由明理由 第第7讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)设出平均每次下出平均每次下调的百分率，根据从的百分率，根据从5元下元下调到到3.2元列出一元二次方程求解即可；元列出一元二次方程求解即可；(2)根据根据优惠方案分惠方案分别求得两种方案的求得两种方案的费用后比用后比较即可得到即可得到结果果解：解：(1)设平均每次下平均每次下调的百分
11、率的百分率为x.由由题意，得意，得5(1x)23.2.解解这个方程，得个方程，得x10.2，x21.8. 因因为降价的百分率不可能大于降价的百分率不可能大于1，所以，所以x21.8不符合不符合题意，符合意，符合题目要求的是目要求的是x10.220%. 答：平均每次下答：平均每次下调的百分率是的百分率是20%. (2)小小华选择方案一方案一购买更更优惠惠理由：方案一所需理由：方案一所需费用用为：3.20.9500014400(元元)，方案二所需方案二所需费用用为：3.25000200515000(元元) 14400 15000，小小华选择方案一方案一购买更更优惠惠 第第7讲讲 回归教材回归教材根
12、的判根的判别式作用大式作用大 回归教材回归教材教材母教材母题人教版九上人教版九上P43T14P43T14无无论p取何取何值，方程，方程(x3)(x2)p20总有两个不等的有两个不等的实数根数根吗？给出答案并出答案并说明理由明理由第第7讲讲 回归教材回归教材第第7讲讲 回归教材回归教材 点析点析 解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法，解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法，一般来一般来说，公式法，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析具体分析方程的特点，方程的特点，选择适当的方法适当的方法 第第7讲讲 回归教材回归教材中考变式20122012广安广安 已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程( (a a1)1)x x2 22 2x x1 10 0有两个不相等的有两个不相等的实数根，数根，则a a的取的取值范范围是是( () )A Aa a2 B2 Ba a2 2 C Ca a2 2且且a a1 D1 Da a2 2C 解析解析 4 44(4(a a1)1)8 84 4a a0 0，得，得a a2.2.又又a a1010，a a2 2且且a a1.1.故故选C.C.
