第五章相似理论与因次分析

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1、第五章第五章 相似理论与相似理论与因次分析因次分析 流体力学的研究方法中实验研究既流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。的准绳，具有很重要的作用。 本章将探讨其理论基础：本章将探讨其理论基础： 相似理论相似理论 因次分析因次分析10.1 力学相似性原理10.2 相似准数10.3 模型率10.4 因次分析法10.1 相似理论相似理论 为为使使模型流动能表现出实型流动的模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流出实型流动的结果，

2、就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说，两相似流动应具体来说，两相似流动应几何相似几何相似 、运动相似、运动相似、 动力相似动力相似 。两流动相似应满足两流动相似应满足的条件的条件一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似） 定义：定义： 两流动的两流动的对应边长对应边长成同一比例，成同一比例，对应角相等。对应角相等。 引入尺度比例系数引入尺度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数模型流动用下标模型流动用下标m表示表示原型流动用下标

3、原型流动用下标p表示表示二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体定义：两流动的对应点上的流体速度矢速度矢成同一比例。成同一比例。 引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数运动相似只需确定时间比例系数 就可以就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。了。运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理量的比例系数都可以表示为尺运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。式。如：如：k kv v=k

4、=kl lk kt t-1 -1 k ka a=k=kl lk kt t-2-2 k k =k=kt t-1 -1 k k =k=kl l2 2k kt t-1-1 kqkq=k=kl l3 3k kt t-1-1 的单位是m2/sq的单位是m3/t三三 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似） 定义：两流动的对应部位上定义：两流动的对应部位上同名力矢同名力矢成成同一比例。引入力比例系数同一比例。引入力比例系数 也可写成也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：力矩力矩M M 压

5、强压强p p功率功率N N 动力粘度动力粘度 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者似，需要两者在在时空相似的条件下受力相时空相似的条件下受力相似似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。在时空相似的条件下各相似准则都相等。1 1 StrouhalStrouhal 相似准数相似准数 SrSr= =l/vtl/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比

6、，反映了流体运动表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况随时间变化的情况2 2 Froude Froude 相似准数相似准数 Fr=vFr=v2 2/gl/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度的影响程度3 3 Euler Euler 相似准数相似准数 EuEu=p/=p/ v v2 2 表示压力和惯性力的比值表示压力和惯性力的比值4 4 RenoldsRenolds 相似准数相似准数 Re=Re=vlvl/ / = = vlvl/ / 表示惯性力和粘性力之比表示惯性力和粘性力之比5 5 Mach Ma

7、ch 相似准数相似准数 Ma=v/cMa=v/c 表示弹性力和惯性力之比，表示弹性力和惯性力之比，c c为声速，反映了流动的为声速，反映了流动的压缩程度压缩程度10.2 相似准数相似准数 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在在x x方向上的分量形式方向上的分量形式: : (1) (1) (2) (2) 所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有所有的同类物理

8、量均具有各自的同一比例系数，有如下关系式：如下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf 将上述关系式带进方程（将上述关系式带进方程（1 1）中，这时的方程应该和方）中，这时的方程应该和方程（程（2 2）相同，因此得到）相同，因此得到 （3 3 3 3） 从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、压力和摩擦力，（质量力、压力和摩擦力，（3 3）式表示模型流动和原型流）式表示模型流动和原型流

9、动的力多边形相似。动的力多边形相似。 用（用（3 3）中的位变惯性力项除全式，得到）中的位变惯性力项除全式，得到 （4 4） （4 4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相似准则似准则 综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不

10、是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比各比例系数例系数均等于均等于1 1，这实际上意味着模型流动和原型流动，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是上办不到，我们寻求的是主要动力相似主要动力相似。 要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解要达到主要动力相

11、似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用的流动，选用FroudeFroude准数为主要相似准数（准数为主要相似准数（决定性相决定性相似准似准数数），满足），满足FrFrm m= =FrFrp p ，此外此外 管道流动，流体机械中的流动管道流动，流体机械中的流动 ：ReRem m=Re=Rep p，ReRe数为决定数为决定性相似准数性相似准数 非定常流动：非定常流动：SrSrm m= =SrSrp p，SrSr数为决定性相似准数数为决定性相似准数 可压缩流动可压缩流动：MaMam m=Ma=Map p，Ma

12、Ma数为决定性相似准数数为决定性相似准数 总之，总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数根据流动的性质来选取决定性相似准数 决定性相似准数的定义决定性相似准数的定义：对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后，就满足只要满足了决定性相似准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。（注意：对于（注意：对于EuEu准数而言，在其他相似准数作为准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，决定性相似准数满足相等时， EuEu准数同

13、时可准数同时可以满足）以满足）10.3 模型率模型率1 1 模型流动设计模型流动设计 设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一温度等因素。否同一温度等因素。2 2 数据换算数据换

14、算 从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。 例例1 1 有有一一轿车，轿车，高高h=1.5mh=1.5m，在公路上行驶，设计时速在公路上行驶，设计时速v=108km/hv=108km/h

15、，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞风洞( (k kl l=2/3)=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？验段内的气流速度应安排多大？ 解：解： 首先根据流动性质确定决定性相似准数首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取，这里选取ReRe作为决定性相似准数作为决定性相似准数，Rem=Re

16、p，即，即kvkl/k=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系约束关系，这里，这里k=1，所以所以 kv=kl-1，由于由于kl=lm/lp=2/3，那么那么kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 例例2 2 在在例例1 1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为风洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气阻力为时，空气阻力为1000N100

17、0N，问：此轿车以问：此轿车以108km/h108km/h的速度在公路上行驶时，所受的的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？空气阻力有多大？ 解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数数k=1，那么力比例系数那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的速度行驶所遇的速度行驶所遇到的空气阻力到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 10.4 因次

18、分析法因次分析法一一 因次分析的基本概念因次分析的基本概念二二 因次和谐性原理因次和谐性原理三三 布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham） 定理定理 一一 因次分析的基本概念因次分析的基本概念1 因次因次 是物理量的是物理量的单位种类单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高，又称量刚，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用（长度量纲），用L表示。表示。2 基本因次基本因次 导出因次导出因次 基本因次是

19、具有独立性的因次，在流体力学领域中有基本因次是具有独立性的因次，在流体力学领域中有三个基本因次：三个基本因次：长度因次长度因次L 时间因次时间因次T 质量因次质量因次M 导出因次由基本因次组合表示，如导出因次由基本因次组合表示，如 加速度的因次加速度的因次 a=LT-2 力的因次力的因次 F=ma=MLT-2 任何物理量任何物理量B的因次可写成的因次可写成B=M L T 用 表示物理量的量纲，用（ ）表示物理量的单位3 基本量基本量 导出量导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种量）和其

20、他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本基本量个数取基本因次个数，所取定的基本量必须包括三个基本因因次个数，所取定的基本量必须包括三个基本因次在内，次在内，这就是选取基本量的原则这就是选取基本量的原则。 如如 、v 、l可以构成一组基本量，包含了可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T这三个基本量纲，而这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因为不就不能构成基本量，因为不包含基本因次包含基本因次M4 无因次量无因次量 指该物理量的因次为指该物理量的因次为1，用用L0M0T0表示，实际是一个表示，实际是一个

21、数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数综合物理量，如前面讲过的相似准数 二二 因次和谐性原理因次和谐性原理 因次因次和谐性原理和谐性原理又被称为又被称为因次因次一致性原理，也叫因次一致性原理，也叫因次齐次性原理齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致的、齐次的。的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，

22、以能量方程为例以能量方程为例 方程左边各项的因次从左到右依次为方程左边各项的因次从左到右依次为 、 三三 布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham） 定理定理 对于某个物理现象或过程，如果存在有对于某个物理现象或过程，如果存在有n n个变量互为个变量互为函数关系，函数关系， f(a1,a2, an)=0而这些变量含有而这些变量含有m m个基本因次，可把这个基本因次，可把这n n个变量转换成为个变量转换成为有有(n-m)=i个无因次量的函数关系式个无因次量的函数关系式 F( 1, 2, n-m)=0这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程这样可以表达出物理方程的明确的因次

23、关系，并把方程中的变量数减少了中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。物理现象的内在关系。 例例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降动的压降 p与下列因素有关：管与下列因素有关：管径径d、管长管长l、管壁粗管壁粗糙度糙度 、管内流体密度、管内流体密度 、流体的动力粘度、流体的动力粘度 ，以及断，以及断面平均流速面平均流速v有关。试用有关。试用 定理推出压降定理推出压降 p的表达形式。的表达形式。 解：解： 所求解问题的原隐函数关系式为所求解问题的原隐函数关系式为 f( p, d,

24、 l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有此问题的基本量纲有L、M 、T三个，三个，m=3，按按 定理，这定理，这n个变量转换成有个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F( 1, 2, 3, 4)=0 从从7个物理量中选出基本物理量个物理量中选出基本物理量3个，如取个，如取 、d、v，而而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示 1=l 1v 1d 1 2= 2v 2d 2 3= 3v 3d 3 4= p 4v 4d 4将上述表达式写成量纲形式将上述表达式写成量纲形式 1

25、=L(ML-3) 1(LT-1) 1L 1=M0L0T （1） 2=L(ML-3) 2(LT-1) 2L 2=M0L0T0 （2） 3=ML-1T-1(ML-3) 3(LT-1) 3L 3=M0L0T0 （3） 4=ML-1T-2 (ML-3) 4(LT-1) 4L 4=M0L0T0 (4） 求解方程（求解方程（1） M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+ 1+1=0 1= -1所以所以 1=l/d求解方程（求解方程（2） M: 2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+ 2=0 2= -1所以所以 2= /d求解方程（求解方程（3） M: 1+3=0 3= -1 T: -1-

26、 3=0 3= -1 L: -1-3 3+ 3+ 3=0 3= -1所以所以 3= / vd=1/Re求解方程（求解方程（4） M: 1+ 4=0 4= -1 T: -2- 4=0 4= -2 L: -1-3 4+ 4+ 4=0 4= 0所以所以 4= p / v2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式可知可知 p / v2与其余三个无量纲数有关，那么与其余三个无量纲数有关，那么 p/ v2=F1(l/d, /d

27、, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/ g= p/ = (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)令令 = F2( /d, 1/Re) p/ = (l/d)(v2/2g)这就是达西公式，这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。正比，与管径成反比。 从该例题看出，利用从该例题看出，利用 定理，可以在仅知与物理过定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。