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1、课前复习课前复习课前复习课前复习1 1 1 1、矩阵的定义、矩阵的定义、矩阵的定义、矩阵的定义形数形数表，称为数域表，称为数域中的一个中的一个矩阵矩阵.由数域由数域中的中的个数个数 排成的行列的矩排成的行列的矩记作：记作：注：注：注：注：实矩阵实矩阵，复矩阵，行矩阵复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等.2 2 2 2、几种特殊的矩阵、几种特殊的矩阵、几种特殊的矩阵、几种特殊的矩阵1 1）零矩阵零矩阵个个元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵. .2 2）对角矩阵对角矩阵主对角线以外的所有主对角线以外的
2、所有元素全为零的方阵称为元素全为零的方阵称为对角阵对角阵. .3 3）单位矩阵单位矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为的对角阵称为元素全为的对角阵称为单位阵单位阵. .4 4）数量矩阵数量矩阵主对角线上的所有主对角线上的所有元素全为元素全为的对角阵称为的对角阵称为数量阵数量阵. .5 5）三角矩阵三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵. .6 6）负矩阵负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若有零行（元素全为零的行），位于底部；7 7）阶梯形矩阵阶梯形矩阵2
3、2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. .称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵8 8）行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为. .3 3）首非零元所在列其它元素均为）首非零元所在列其它元素均为. .称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为标准形标准形：1 1）左上角为单位阵；）左上角为单位阵；9 9）标准形标准形）其它元素均为）其它元素均为. .一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法1 1 1 1、定
4、义、定义、定义、定义注意注意: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算. .若若规定规定2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（设（设均是同型矩阵）均是同型矩阵）（1 1） （交换律）（交换律）（2 2） （结合结合律）律）（3 3）（4 4）（5 5） （减法）（减法）二、数乘矩阵二、数乘矩阵二、数乘矩阵二、数乘矩阵1 1 1 1、定义、定义、定义、定义若若规定规定2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律 （设（设 均是均是 矩阵，矩阵， ）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（6 6）1 1）数乘矩阵是数）数乘矩阵是数去乘去乘中的每一个元素中的每一
5、个元素. .注意注意注意注意: :（5 5）2 2）若）若 ，则，则矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算线性运算线性运算线性运算. . . .三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法1 1 1 1、引例、引例、引例、引例设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、三种三种型型如果生产这三种型号的计算机每台的利润如果生产这三种型号的计算机每台的利润( (单位：单位：万万甲甲乙乙那么这两家公司的月利润那么这两家公司的月利润 ( (单位：万元单位：万元) ) 为多少为多少? ?号的计算机
6、，月产量（单位：台）为号的计算机，月产量（单位：台）为元台元台)为为 甲公司每月的利润为甲公司每月的利润为29.129.1万元，乙公司的利润为万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵由例题可知矩阵、的元素之间有下列关系的元素之间有下列关系34.134.1万元万元. .依题意依题意2 2 2 2、定义、定义、定义、定义若若规定规定其中其中注：注：注：注： 1 1）条件）条件 左左矩阵矩阵的的列列数等于数等于右右矩阵矩阵的的行行数数2 2）方法）方法等于等于左左矩阵矩阵 的的第第 行行与与右右矩阵矩阵 的的第第 列列对应元素对应元素左行右列法左行右列法矩阵乘积矩阵乘积 的元素的元素乘积的和乘积的和. .
7、3 3）结果）结果 左行右列左行右列左左矩阵矩阵的的行行数数为为乘积乘积的行数的行数，右右矩阵矩阵的的列列数为乘积数为乘积的列数的列数. .特别：特别：特别：特别：与与矩阵的乘积矩阵的乘积与与矩阵的乘积为矩阵的乘积为为一阶方阵，即一个数为一阶方阵，即一个数一个阶方阵一个阶方阵例例1 1设设解解3 3 3 3、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征1 1、无交换律、无交换律2 2、无消去律、无消去律3 3、若、若4 4 4 4、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）（3 3）（4
8、4）（5 5）注注注注不尽相同，不尽相同， 亦不尽相同亦不尽相同. .定义定义对于矩阵对于矩阵 ，若，若 ，称，称 与与 可交换可交换. .例例2 2设设 ，求，求 的所有可交换矩阵的所有可交换矩阵. .解解设设，于是，于是即即建立方程组得建立方程组得所以所以四、方阵的幂四、方阵的幂四、方阵的幂四、方阵的幂1 1 1 1、定义、定义、定义、定义规定规定若若注：注：注：注： 1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. .2 2、 只能是正整数只能是正整数. .（1 1）（2 2）2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律 （设（设 均是均是 阶方阵，阶方阵， ）（
9、4 4）（3 3）（5 5）（6 6）注：注：注：注：（1 1）（2 2）（7 7）例例3 3设设，计算，计算解解下用下用数学归纳法数学归纳法证明证明猜想猜想当当 时，等式显然成立时，等式显然成立. . 当当 时，等式成立，时，等式成立，即即等式成立等式成立. .所以所以猜想正确猜想正确. .要证要证 时成立，此时有时成立，此时有解解例例4 4 设设，计算，计算 . .易见易见把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . .例例五、五、五、五、矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置1 1 1 1、定义、定义、定义
10、、定义2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）（4 4）（3 3）特别特别特别特别例例5 已知已知解解所以所以而且而且显然显然对称矩阵对称矩阵的的特点是：特点是：它的元素以它的元素以主对角线主对角线为对称轴为对称轴对应相等对应相等. .如如3 3 3 3、对称矩阵、对称矩阵、对称矩阵、对称矩阵定义定义定义定义 设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵. . 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, , 对称对称矩阵的数乘也是对称矩阵矩阵
11、的数乘也是对称矩阵. .但两个对称矩阵的乘积不但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵一定是对称矩阵. .特别特别特别特别定义定义定义定义 设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，那么那么 称为称为反反对称矩阵对称矩阵. .反反对称矩阵对称矩阵的主要特点是的主要特点是: :主对角线上的元素为主对角线上的元素为0,0,其余其余的元素关于的元素关于主对角线主对角线互为相互为相反数反数. .如如 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, ,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵. .但两个反对称矩但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵阵
12、的乘积不一定是反对称矩阵. .特别特别特别特别4 4 4 4、反对称矩阵、反对称矩阵、反对称矩阵、反对称矩阵证明证明例例6 6 设列矩阵设列矩阵 ，满足，满足为为 阶单位矩阵，且阶单位矩阵，且 ，证明，证明 是对是对称矩阵，且称矩阵，且 . .是对是对称矩阵称矩阵. .又又 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵与都可表示成对称阵与反对称阵之和反对称阵之和. .证明证明所以所以C C为对称矩阵为对称矩阵. .所以所以B B为反对称矩阵为反对称矩阵. .命题得证命题得证. .例例7 7设设则则设设则则六、方阵的行列式六、方阵的行列式六、方阵的行列式六、方阵的行列式注意注意注意注意 方阵
13、与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不同的概念. . 1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 由阶方阵由阶方阵的元素所构成的行列式（各元的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做素的位置不变）叫做方阵方阵的行列式的行列式. .记作记作2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法，是矩阵，是矩阵，）（1 1）（2 2）（4 4）（3 3）注注注注例例8 8已知已知解解所以所以易见易见1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成矩阵的转置构成矩阵的转置. .七、伴随矩阵七、伴随矩阵七、
14、伴随矩阵七、伴随矩阵称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵. .2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）同理可得同理可得性质性质性质性质证明证明所以所以八、共轭矩阵八、共轭矩阵八、共轭矩阵八、共轭矩阵1 1 1 1、定义、定义、定义、定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的的共轭矩阵共轭矩阵. . 2 2 2 2、运算规律运算规律运算规律运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（6 6）（5 5）（7 7）九、小结九、小结九、小结九、小结矩矩阵阵运运算算数乘数乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵伴随矩阵伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵矩阵的幂矩阵的幂线性运算线性运算线性运算线性运算对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵
