利用三角级数的周期性来展开周期函数一. 傅里叶级数•周期函数的傅里叶展开；•奇函数和偶函数的傅里叶展开；•有限区间中的函数的的傅里叶展开；•复数形式的的傅里叶展开 傅里叶变换傅里叶变换 复变项级数幂级数幂级数(1.2)(1.1) 要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2lb. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)这就是傅里叶级数三角函数族：1. 周期函数的傅里叶展开周期为 2l 的函数 f(x) 满足 不同的函数形式由不同的组的 和 表示a. 2l 周期性同样b. 按三角函数族展开(1.3)此为傅里叶级数展开. 三角函数组具有正交性(1.4)因此(1.5) 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数函数和级数并不完全一样，例如幂级数就有收敛域的问题故必须讨论它们在什么条件下完全一致狄里克雷定理 若函数 f(x) 满足条件(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间 断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (1.3) 收敛，且 2.奇函数和偶函数的傅里叶展开是奇函数，是偶函数。
故 奇函数 f(x) 有其中偶函数 f(x) 有其中 3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开f(x) 定义于 (0, l).可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓 例偶延拓奇延拓 4. 复数形式的的傅里叶级数其中 例 矩形波 二. 傅里叶积分与傅里叶变换有限区间的函数可以延拓为周期函数而任何一个非周期函数f(x) (定义域为 ) ,从方便于研究而言，它又可以看作为以 为周期的函数g(x)当 趋于无穷大的函数设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开1. 傅里叶积分 令：则(2.1) 若 有限，则(2.1)中的余弦部分的极限为：同理，正弦部分的极限为： 故其中(2.2)(2.3)(2.2) 是 f(x) 的傅里叶积分公式 傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,(2) 在区间上绝对可积 （即 收敛）,则f(x) 可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值= 连续点间断点 3. 奇、偶函数偶函数奇函数 例定义矩形函数为将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。
偶函数 4. 复数形式的傅里叶积分原函数像函数 像函数 表示为原函数到像函数的变换像函数到原函数的逆变换 例同前例 偶函数 奇函数 例 1 求矩形脉冲函数 的傅氏变换及其积分表达式 5. 傅里叶变换的基本性质(1) 线性性质 证明：(2) （微分性质）导数定理导数定理# 证明：(2) 象函数的导数公式 记则由微分性质即#(3) 积分定理积分定理 (3) 相似性定理相似性定理通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变有时也叫尺度变换 #证明 (4)位移定理位移定理证明# 证明#(5)(6) 卷积定理卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系若和则卷积定义：像函数的位移性质 证明#很多时候这样反过来用 6. 函数（单位脉冲函数） 作为广义函数的引入对于任何一个无穷次可微的函数f(x)，如果满足其中 (1) 筛选性质筛选性质 证明：（利用 积分 中值 定理）# (2) 其它性质其它性质证明# <2> 单位阶跃函数证明# <3> <4> (3) 其它表示其它表示 7. 傅里叶变换举例 三. 傅里叶变换的应用 象原函数(方程的解)象函数微分积分方程象函数的代数方程取傅氏逆变换取傅氏变换解代数方程 例 1 积分方程 的解 ，其中解：为 的傅里叶正弦逆变换 例 2 求解积分方程 解： 例 3 求常系数非齐次线性微分方程 解： 例 4 求解微分积分方程 解： 。