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1、 无穷级数无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和。 等比级数(又称几何级数)( q 称为公比 ). 级数收敛 ,级数发散 .其和为P-级数级数2.无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质1.设 c 是非零常数，则级数收敛于 S ,则有相同的敛散性。若与收敛于 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为说明说明:(2)
2、若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.性质性质5：设收敛级数则必有可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .*例例1.判断下列级数的敛散性: (比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .是两个正项级数, (常数 k 0 ),3.正项级数审敛法正项级数审敛法 (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛
3、或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,的敛散性. 例例3. 判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知发散比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 . 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级数, 且则因此级数收敛.解解:4.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 。5.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数若若原级数
4、收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数例例5. 证明下列级数绝对收敛 :证证: 而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发 散发
5、 散收 敛收敛 发散 1.Abel定理定理 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式二、求幂级数收敛域二、求幂级数收敛域*例例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例例7. 已知处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在收敛 ,时发散 . 故收敛半径为若的系数满足1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 的收敛半径为2.求收敛半径求收敛半径对端点 x
6、=1, 的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例例8.8.求幂级数 例例9.的收敛域.解解: 令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围的幂级数展开式展开成解：例例10.求函数求函数四、求幂级数的和函数四、求幂级数的和函数这是幂级数展开问题的逆问题，利用已知结论或求导积分，求幂级数在收敛域内的
7、和函数。微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、解微分方程二、解微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念的阶阶.例如：例如：一阶微分方程二阶微分方程 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.初始条件初始条件( (或边值条件或边值条件) ):的阶数相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .例例1. 验证函数是微分方程的解.解解: 是方程的解 .二、解微分方程
8、二、解微分方程1. 一阶微分方程可分离变量，一阶线性2. 高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次微分方程求解。分离变量方程的解法分离变量方程的解法:(2)两边积分 (3)得到通解称为方程的隐式通解, 或通积分.(1)分离变量*例例2. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )因此可能增、减解.一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .称为齐次方程齐次方程 ;解解* *例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：令因此即同
9、理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 例例5.求解求解 解解: 型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解例例6. 求解解解: 代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解例例7. 求解代入方程得两端积分得故所求通解为解解:定理定理 1.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数, 故方程的通解为二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构特征方程:实根 特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解例例9.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例10. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例例11.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例例12.解：因是一个特解，所以是特征方程的重根，故特征方程为：所对应微分方程为二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 2.则是非齐次方程的通解 .
