《电路理论基础第二版第八章正弦电压和电流相量法基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电路理论基础第二版第八章正弦电压和电流相量法基础（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.18.1正弦电压和电流正弦电压和电流8.28.2正弦量的相量表示正弦量的相量表示8.3 8.3 相量法引理相量法引理8.4 8.4 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式8.5 8.5 电路元件伏安特性的相量形式电路元件伏安特性的相量形式8.6 8.6 例题例题第八章第八章 相量法基础相量法基础重点重点1.1.同频率正弦量相位差的同频率正弦量相位差的5 5种情况种情况( (同相、超前、滞后、方相和正交同相、超前、滞后、方相和正交) )2.复数（向量）的几种表示复数（向量）的几种表示(4种种)3. 基尔霍夫定律的相量方程与时域方程基尔霍夫定律的相量方程与时域方程的区别与联系的区别与联系
2、4. 电路元件电路元件（电阻、电感和电容）伏安特性（电阻、电感和电容）伏安特性的的相量形式相量形式电阻电阻电感电感电容电容8.1 正弦电压和电流正弦电压和电流8.1.1 正弦电压和电流正弦电压和电流8.1.2 正弦量的三要素正弦量的三要素8.1.3 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差8.1.4 正弦电流、正弦电压的有效值正弦电流、正弦电压的有效值8.1.1 8.1.1 正弦电压和电流正弦电压和电流 随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间的瞬时值
3、可用时间t t 的正弦函数或余弦函数表示，的正弦函数或余弦函数表示，在以后的讨论中，在以后的讨论中，均将它们表为余弦函数均将它们表为余弦函数。 给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。8.1.2 8.1.2 正弦量的三要素（正弦量的三要素（振幅振幅 Im 、角频率角频率 、初相位初相位 i ） 振幅振幅 Im 角频率角频率 Im 是电流是电流 i 的最大值。的最大值。 是是 i i 的相角随时间
4、变化的速度，称为角频的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度率。单位：弧度 / / 秒，或写作秒，或写作 ( (1 / / 秒秒) )电流电流 i 的频率为的频率为 f ( (赫兹、周赫兹、周 / / 秒秒) ) ，周期为，周期为 T( (秒秒) ) ，有如下关系，有如下关系初相位初相位 i i 是是 t = 0 时刻时刻 i 的相位，称为初相位（初相角）的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。单位：弧度、度。由于由于余弦余弦函数是周期函数，故函数是周期函数，故 i 是多值的是多值的，一般，一般取取 i 的值与计时起点的选择有关。的值与计时起点的选择有关。i0i0i08.1.3 8.
5、1.3 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差F 同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。F 相位差相位差 的单位：弧度、度。的单位：弧度、度。例例: :u 与与 i 的相位差的相位差 u i （可简计为可简计为 ）为：）为：F 相位差相位差 是多值的，一般取是多值的，一般取 。同频率正弦量相位差的同频率正弦量相位差的5 5种情况种情况u 与与 i 同相同相u 超前超前 i u 滞后滞后 iu 与与 i 反相反相u 与与 i 正交正交判断方法判断方法：超前代表：超前代表进程先：即先到达最进程先：即先到达最大值，先过零点等大值，先过零点等例例1 1：已知：已
6、知求求 u1 与与 u2 的相位差的相位差 。解：解：即即 u1 超前超前 u2 (2 / 3) 弧度弧度 。例例2 2：已知：已知求求 u 与与 i 的相位差的相位差 。解：解： u 超前超前 i (2 / 3) 弧度弧度 。即即8.1.4 正弦电压、电流的有效值正弦电压、电流的有效值F 若周期电流若周期电流 i 的周期为的周期为 T ，则其则其有效值有效值 I定义定义为为(均均方方根根值值)：以电流为例讨论。以电流为例讨论。同样可推得正弦电压同样可推得正弦电压 u 的有效值的有效值U为：为：F 正弦电流正弦电流 的有效值为：的有效值为：F 有效值有效值I 的物理意义：的物理意义：周期电流周
7、期电流 i1通过电阻通过电阻R，R在一周在一周期时间期时间T内吸收的电能为内吸收的电能为恒定电流恒定电流 I2通过电阻通过电阻R，R在在T时间时间内吸收的电能为内吸收的电能为若有若有即即则有则有工程上提到正弦量的大小一般是指有效值工程上提到正弦量的大小一般是指有效值8.2.1 复数的运算复数的运算F 1.直角坐标形式：直角坐标形式：其中其中 a1 、 a2 均为实数，均为实数， a1 是是A的实部，的实部， a2 是是A的虚部。的虚部。F 向量表示向量表示(不是下面讲的相量不是下面讲的相量)： a ：复数复数A的模的模 ：复数复数A的辐角的辐角有：有：8.2 正弦量正弦量的向量表示的向量表示2
8、. 三角函数形式：三角函数形式：3.指数形式：指数形式：根据欧拉公式：根据欧拉公式：可得：可得：极坐标：极坐标：A a 4.极坐标形式：极坐标形式：例例1：已知：已知 ，求其极坐标形式。，求其极坐标形式。解：解：故故 A44.72 -116.57 o例例2：已知：已知 A= 13 112.6 o ，求其直角坐标形式。求其直角坐标形式。解：解：8.2.1 复数的运算复数的运算F 取实部、取虚部取实部、取虚部F 加减法运算（加减法运算（复数的加减运算复数的加减运算用直角坐标方便用直角坐标方便）设设则则设设则则F 乘除运算（采用极坐标或指数坐标方便）乘除运算（采用极坐标或指数坐标方便）例：例： 设设
9、设设则则或或则则定义：定义：可表示为：可表示为：设某一正弦电流为设某一正弦电流为称称 为电流为电流 i 的的振幅相量振幅相量。称称 为电流为电流 i 的的有效值相量有效值相量(简称相量简称相量)。有：有：可记为可记为、8.2.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示（其实是复数表示）（其实是复数表示） 一个正弦量的相量是复常数，一个正弦量的相量是复常数，其模其模是该正弦量的是该正弦量的有效值，有效值，其辐角其辐角是该正弦量的初相位。若给定正弦量是该正弦量的初相位。若给定正弦量的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系的角频率，则正弦量和其相量之间是一一对应的关系( (没有角频率没有角频率 )
10、)。 相量的运算规则即复数的运算规则。相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用相量也可用向量表示向量表示，称为相量图。，称为相量图。例例1：已知：已知解：解：求相量求相量 及及 ，并画出相量图。，并画出相量图。画相量图时，画相量图时， 和和 的的长度采用不同的比例。长度采用不同的比例。解：解：例例2：已知：已知求求 i1 及及 i2 。 也可直接写出正弦量表达式也可直接写出正弦量表达式：由由 知知 得：得：F 引理引理1. 唯一性引理：唯一性引理：F 引理引理2. 线性引理线性引理其中其中 a1、 a2 为实常数。为实常数。当且仅当两个当且仅当两个同频率同频率正弦量的正弦量的相量相等相量相等
11、时，该两时，该两正弦量相等。正弦量相等。，则有：，则有：若若 x1(t) 与与 x2(t) 同是角频率为同是角频率为 的正弦量，的正弦量，且且8.2.3 相量法的几个引理相量法的几个引理即即注意注意：相量只是用来表示正弦量的复数，上面：相量只是用来表示正弦量的复数，上面两者之间不能用等号连接。两者之间不能用等号连接。证明：证明：F 引理引理3. 微分引理：微分引理：若若 x (t) 是角频率为是角频率为 的正弦量，且的正弦量，且则则 也是角频率为也是角频率为 的正弦量，的正弦量，且其相量且其相量 为为证明：设证明：设则则证毕证毕.例：求解：得要求：可以快速的在两者之间互换。要求：可以快速的在两
12、者之间互换。 8.3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式v 基尔霍夫电压（基尔霍夫电压（KVL）定律定律时域方程：时域方程：（对任一回路）（对任一回路）在在正弦稳态电路正弦稳态电路中，所有电压和电流都是中，所有电压和电流都是同频率同频率正弦量，对上式两边同时取相量，有正弦量，对上式两边同时取相量，有相量形式方程：相量形式方程：（对任一回路）（对任一回路）v 基尔霍夫电流（基尔霍夫电流（KCL）定律定律时域方程：时域方程：（对任一节点）（对任一节点）相量形式方程：相量形式方程：（对任一节点）（对任一节点）注意：相量求和，不是振幅（或有效值）的简单求和！注意：相量求和，不是振幅（或有效值
13、）的简单求和！例例1：已知已知，求，求 i3 。解解例例2：已知已知，求，求 uac 。 解：解：8.4 电路元件伏安特性的相量形式电路元件伏安特性的相量形式v 电阻电阻 正弦稳态电路中，设正弦稳态电路中，设时域方程：时域方程：则则 对时域方程两边同时取相量对时域方程两边同时取相量，得：，得：相量形式方程：相量形式方程： 相量方程可分为两个实数方程：相量方程可分为两个实数方程：特点特点：u 与与 i 同频率的正弦量，相位相同，同频率的正弦量，相位相同，最大最大值值或或有效值有效值之间满足欧姆定律；之间满足欧姆定律； u 与与 i 幅值之幅值之比等于比等于 R。v 电感电感正弦稳态电路中，设正弦
14、稳态电路中，设时域方程：时域方程： 对时域方程两边同时取相量，得：对时域方程两边同时取相量，得：相量形式方程：相量形式方程：电感电感L的伏安（的伏安（VAR）的相量形式）的相量形式则则设设相量方程可分为两个实数方程：相量方程可分为两个实数方程：特点特点：u 超前超前 i ( / 2)弧度弧度； u 与与 i 幅值之比等幅值之比等于于 L， L 反映电感对正弦电流的阻碍作用，反映电感对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大。v 电容电容正弦稳态电路中，设正弦稳态电路中，设时域方程：时域方程：则则 对时域方程两边同时取相量，得：对时域方程两边同
15、时取相量，得：相量形式方程：相量形式方程：电容电容C的伏安（的伏安（VAR）的相量形式）的相量形式相量方程可分为两个实数方程：相量方程可分为两个实数方程：特点特点：u 滞后滞后 i ( / 2)弧度弧度； u 与与 i 幅值之比等于幅值之比等于 ( 1 / C ), 它反映电容对正弦电流的阻碍作用，它反映电容对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小。v 受控源受控源时域方程：时域方程：正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的正正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的正弦量。对时域方程两边同时取相量，得：弦量。对时域方程两边同时取相量，得：相
16、量形式方程：相量形式方程：VCVSVCCSCCCSCCVSVCVSVCCSCCCSCCVS受控源特性方程的相量形式受控源特性方程的相量形式例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：L8.5 例题例题例例2 2A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26AA0?A0I0max=?A0I0min=?解解A0A1A2?例例3 3+_15W Wu4H0.02Fi解解相量模型相量模型j20W W- -j10W W+_15W W例例4 4+_5W WuS0.2 Fi解解相量模型相量模型+_5W W-j5W W例例5 5j40W WjXL30W WCBA解解例例6
17、6图示电路图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，总电压与总电流同相位，求求I、R、XC、XL。- -jXC+_R- -jXLUC+- -解解也可以画相量图计算也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部- -jXC+_R- -jXLUC+- -例例7 7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压电源电压 /3，问，问R、C应如何选择应如何选择。解解1 1也可以画相量图计算也可以画相量图计算- -jXC+_R+- - 例例 8 在图在图1（a）的电路中，已知输出电的电路中，已
18、知输出电压压滞后于电源电压滞后于电源电压，试用相量图和上试用相量图和上列已知条件确定电阻列已知条件确定电阻之值。之值。图图1（a）（b）（c）（d）（e）解：选解：选为参考相量，令其大小为为参考相量，令其大小为1V，作图作图1（b）。）。是流过此电容器的电流，其是流过此电容器的电流，其大小现可求得为大小现可求得为。其相位则必超前于其相位则必超前于如图如图1（b）。）。电阻电阻R2电压电压和和同相位如图同相位如图1（c），），且且至此可作相量至此可作相量其大小为其大小为电流电流超前于超前于如图如图1（d），），且其且其大小为大小为又因为又因为故从图故从图1（d）可得可得。，故，故必在虚线必在虚线题给题给超前于超前于上，而上，而与与同相位，同相位，的实的实部为零，即可从图部为零，即可从图1（e）看出：看出：和和的水平分量（实部）必相互抵消，考虑到的水平分量（实部）必相互抵消，考虑到即得即得利用上面所确定的利用上面所确定的与与之值，即可解出之值，即可解出。
