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1、曲线分类曲线分类规则曲线：可用初等解析函数来表示规则曲线：可用初等解析函数来表示如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等如圆、椭圆、双曲线、圆球、圆柱、圆锥等自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函数来描述的光滑连续性曲线初等解析函数来描述的光滑连续性曲线如汽车车身、船体外壳和飞机机翼等如汽车车身、船体外壳和飞机机翼等随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处不可导的非规则曲线不可导的非规则曲线如地图边界、海岸线、水波以及超声等如地图边界、海岸线、水波以及超声等图7-1 汽车的曲面7.1 7.1 基本概念基本概念 n7.1.
2、1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面n7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式 n7.1.3 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼近 n7.1.4 7.1.4 连续性条件连续性条件 7.1.1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面 在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示形式
3、曲线曲面的表示形式n曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示：n首先看一下直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：n直线的隐函数方程表示为：n直线的参数方程表示直线的参数方程表示为： n由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。下面以一条三次曲线为例，给出参数方程的矢量和矩阵表示：n参数方程表示：，tt0,10,1； n矢量表示：矢量表示：n tt0,10,1； n矩阵表示：矩阵表示： n tt0,10,1； 7.1.3 7.1.3
4、拟合和逼近拟合和逼近 n曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点）来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如图7-2所示。n曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点，称为曲线曲面的逼近，如图所示。 图7-2 拟合曲线 图7-3逼近曲线连续性条件连续性条件 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。n参数连续性n零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线
5、段在交点处具有相同的坐标。如图7-4所示。图7-4 零阶连续性 n一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。如图7-5所示。图7-5 一阶连续性 n二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。如图7-6所示。图7-6 二阶连续性 7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线 法国雷诺汽车公司的工程师法国雷诺汽车公司的工程师BezierBezier和和法国雪铁龙汽车公司的法国雪铁龙汽车公司的de Casteljaude Casteljau分分别提出了一种新的参数曲线表示方法，别提出了一种新的参数曲线表示方法，称为称为BezierBe
6、zier曲线。曲线。 Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型的三次Bezier曲线如图7-7所示。 几种典型的三次Bezier曲线 n n7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线
7、的定义n n7.4.2 Bezier7.4.2 Bezier曲线的性质曲线的性质n n7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 n给定n+1个控制点Pi（i0，1，2n），称为n次Bezier曲线。n t0，1 n式中，Pi（i0，1，2n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接n条边构成的多边形。是Bernstein基函数，其表达式为： 7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义 1.一次Bezier曲线 当n1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。 可以看出，一次Bezie
8、r曲线是一段直线。 n n2.二次Bezier曲线 n当n2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线是二次多项式。n可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。 3.三次Bezier曲线 当n3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。 可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。 注意：对于Bezier曲线，在区间0,1范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。 7.4.2 Bezier7.4.2 Bezier曲线的性质
9、曲线的性质 1.1.端点性质端点性质 在闭区间在闭区间0 0，1 1内，将内，将t t0 0和和 t t1 1代入式（代入式（7-127-12），得到），得到p(0)p(0)P0P0和和p(1)p(1)P Pn n。说明。说明BezierBezier曲线的起点曲线的起点和终点分别位于顶点和终点分别位于顶点P0P0和和P Pn n上。上。 2.一阶导数 将式（7-12）求导，有 在闭区间0，1内，将t0和t1代入上式，得到 这说明Bezier曲线的起点和终点的切线方向位于控制多边形的起始边和终止边的切线方向上。 3.凸包性质 由公式（7-13）可以看出，在闭区间0，1内， ，而且 。说明Bezi
10、er曲线位于控制多边形构成的凸包之内。 （4）几几何何不不变变性性。这这是是指指某某些些几几何何特特性性不不随随坐坐标标变变换换而而变变化化的的特特性性。Bezier曲曲线线位位置置与与形形状状与与其其特特征征多多边边形形顶顶点点 的的位位置置有有关关，它它不不依依赖赖坐标系的选择。坐标系的选择。BezierBezier曲线的性质曲线的性质7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 nBezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De Casteliau）算法表达如下。n给定空间n+1个点Pi（i=0，1， 2n）及参数t，有 n例如，当n=3时，有 n三次Be
11、zier曲线递推如下： n其中：规定： 根据该式可以绘制Bezier曲线，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，点的运动轨迹形成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的点。图7-9绘制的是t=2/3的点。 几几何何设设计计中中，一一条条Bezier曲曲线线往往往往难难以以描描述述复复杂杂的的曲曲线线形形状状。这这是是由由于于增增加加特特征征多多边边形形的的顶顶点点数数，会会引引起起Bezier曲曲线线次次数数的的提提高高，而而高高次次多多项项式式又又会会带带来来计计算算上上的的困困难难，实实际际使使用用中中，一一般般不不超超过过10次次。所所以以有有时时采采用用分分段段设设计计，然然后后
12、将将各各段段曲曲线线相相互互连连接接起起来来，并并在在接接合合处处保保持持一一定定的的连连续续条条件件。下下面面讨讨论论两段两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。曲线达到不同阶几何连续的条件。BezierBezier曲线的拼接曲线的拼接 给给定定两两条条Bezier曲曲线线P(t)和和Q(t)，相相应应控控制制点点为为Pi i(i=0, 1, ., n)和和Qj j(j=0,1,., m)，且且令令 ，如图所示，我们现在把两条曲线连接起来。，如图所示，我们现在把两条曲线连接起来。 图图 Bezier曲线的拼接曲线的拼接b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ0Q1b2Q2Q(t)
13、BezierBezier曲线的拼接曲线的拼接（1）要使它们达到）要使它们达到G0 0连续的充要条件是：连续的充要条件是：Pn n= Q0 0；（2）要要使使它它们们达达到到G1连连续续的的充充要要条条件件是是：Pn-1n-1，Pn n= Q0 ，Q1 1三点共线，即：三点共线，即：（3）要要使使它它们们达达到到G2连连续续的的充充要要条条件件是是：在在G1连连续续的的条条件件下下，并满足方程并满足方程 。 BezierBezier曲线的拼接曲线的拼接BezierBezier曲线的绘制曲线的绘制 绘制绘制Bezier曲线时，可以利用其定义式，对参数曲线时，可以利用其定义式，对参数t选取选取足够多
14、的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。线可以任意接近。 假设给定的四个型值点是假设给定的四个型值点是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，则计算结果见表，则计算结果见表 t(1-t)33t(1-t)23t2 (1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.614 0.325 0.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.444 0.239 0.043(2.248,2.37
15、6)0.50.1250.3750.375 0.125(2.75,2.5)0.650.043 0.2390.444 0.275(3.122,2.36)0.85 0.0034 0.0574 0.325 0.614(3.248,1.75)10001(3,1)( 1)特征点个数与曲线的次数有关，特征点个数与曲线的次数有关，若给定任意若给定任意n+1个控制点个控制点,可构造出一条可构造出一条n 次的次的Bezier曲线曲线.当当n值较大时值较大时,计算相当复杂。计算相当复杂。 在实际应用时在实际应用时,一般用一般用分段分段三次三次Bezier曲线来实曲线来实现现:将多段三次将多段三次Bezier曲线依次
16、拼接起来曲线依次拼接起来,并保证并保证连接处具有连接处具有C1和和C2连续性连续性。 (2) BezierBezier曲线是一个整体的逼近方案（牵一发曲线是一个整体的逼近方案（牵一发动全身），动全身），Bezier曲线曲线不能不能局部修改。局部修改。BezierBezier曲线的主要缺点曲线的主要缺点习 题请利用下面给出的控制点的坐标，做三次请利用下面给出的控制点的坐标，做三次BrezierBrezier曲线：曲线： p0=(1,0)p0=(1,0)；p1=(5,5)p1=(5,5)；p2=(15,7)p2=(15,7)；p3=(10,2)p3=(10,2)参数参数t t的取值间隔为。的取值间
17、隔为。n=3时，B0(t)=(1-t)，B1(t)=3(1-t)t，B2(t)=3(1-t)t，B3(t)=t对于参数t的不同取值，坐标P(t)可以用下式求得：P(t) B0(t)p0 B1(t) p1 B2(t) p2 B3(t) p3tBi解：P(0)=1(1,0)0 (5,5)0 (15,7) 0(10,2) (1,0)P(0.2)=0.51(1,0)0.38 (5,5)0.10 (15,7) 0.01(10,2) (4.01,2.62)P(0.4)=0.22(1,0)0.43 (5,5)0.23 (15,7) 0.06(10,2) (6.42,3.88)P(0.6)=0.06(1,0)0.23 (5,5)0.43 (15,7) 0.22(10,2) (9.86,4.60)P(0.8)=0.01(1,0)0.10 (5,5)0.38 (15,7) 0.51(10,2) (11.31,4.18)P(1)=0(1,0)0 (5,5)0 (15,7) 1(10,2) (10.00,2.00)01234524681012(1,0)(4.01,2.62)(6.42,3.88)(9.86,4.60)(11.31,4.18)(10.00,2.00)三次Brezier曲线描图
