力学与结构-应力、强度和刚度

《力学与结构-应力、强度和刚度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《力学与结构-应力、强度和刚度（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.1第4章 杆件的应力、强度和刚度 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.2截面的几何性质截面的几何性质轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转 梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算杆件的组合变形杆件的组合变形习习 题题本章内容本章内容 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.3教学要求教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变

2、等基本概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的

3、强度计算。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.4平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。件强度、刚度、稳定性的必不可

4、少的几何参数。一、一、 静矩和形心静矩和形心1.静矩静矩如图如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系平面坐标系zoy，在坐标，在坐标(z,y)处取微面积处取微面积dA，则微面积，则微面积dA与坐标与坐标y(或坐标或坐标z)的乘积称为微面积的乘积称为微面积dA对对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩，记作的静矩，记作dSz(或或dSy)。即。即 截面的几何性质截面的几何性质平面图形上所有微面积对平面图形上所有微面积对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩之和，称为平面图形对的静矩之和，称为

5、平面图形对z轴轴(或对或对y轴轴)的静的静矩，用矩，用Sz(或或Sy)表示，即表示，即(4-1a)(4-1b) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.5从从静静矩矩的的定定义义可可以以看看出出，静静矩矩是是对对特特定定的的坐坐标标轴轴而而言言的的。选选择择不不同同的的坐坐标标轴轴，静静矩矩也也不不同同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是m3或或mm3。若若则则 截面的几何性质截面的几何性质2.形心形心现设平面图形的形心现设平面图形的形心C的坐标为的坐标为(Zc，Yc)。均质等厚薄板的形心在板平面均质等厚薄板的形心

6、在板平面zoy中的坐标为中的坐标为(4-2a)(4-2b)则则由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.6【例例4.1】矩矩形形截截面面尺尺寸寸如如图图4.2所所示示，以以矩矩形形的的形形心心为为原原点点建

7、建立立坐坐标标系系zoy，z1通通过过矩矩形形的的底底边。试求该矩形对边。试求该矩形对z轴的静矩和对轴的静矩和对z1轴的静矩。轴的静矩。图图4.2矩形截面矩形截面 截面的几何性质截面的几何性质解解:(1)计算矩形截面对计算矩形截面对z轴的静矩。由于轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对轴，通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零，即轴的静矩等于零，即。(2)计算矩形截面对计算矩形截面对Z1轴的静矩。轴的静矩。【例例4.2】试确定如图试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置，长度单所示的组合截面的形心位置，长度单位为位为cm。图图4.3组合截面组合截面解

8、解:取坐标取坐标zoy，因为，因为y为截面的对称轴，所以形心必在为截面的对称轴，所以形心必在y轴上，轴上，即。故只需确定即。故只需确定yc。该截面可视为由矩形该截面可视为由矩形和矩形和矩形组合而成。组合而成。矩形矩形的面积的面积，形心纵坐标，形心纵坐标。矩形矩形的面积的面积，形心纵坐标，形心纵坐标。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.7一、惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩、惯性积和惯性半径1.惯性矩惯性矩图图4.4惯性矩惯性矩如如图图4.4所所示示，在在图图形形所所在在平平面面内内任任意意取取一一个个平平面面坐坐标标系系zoy。微微面面积积dA与与坐坐标标y(或或坐坐标标z)平平方方的的乘乘

9、积积y2dA或或(Z2dA)称称为为微微面面积积dA对对z轴轴(或或对对y轴轴)的的惯惯性性矩矩。整整个个平平面面图图形形上上所所有有微微面面积积对对z轴轴(或或对对y轴轴)的的惯惯性性矩矩之之和和，称称为为平平面面图图形形对对z轴轴(或或对对y轴轴)的惯性矩，用的惯性矩，用Iz(或或Iy)表示，即表示，即 截面的几何性质截面的几何性质用积分精确表示为用积分精确表示为(4-3a)(4-3b)微面积微面积dA与坐标原点与坐标原点O的距离的距离的平方的乘积的平方的乘积2 2dAdA称为微面积称为微面积dA对坐标原点对坐标原点O的的极惯性矩，整个图形对坐标原点极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩

10、用积分表达为的极惯性矩用积分表达为 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.8所以所以由于存在几何关系：由于存在几何关系：即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，中，z2和和y2恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性

11、矩常用的单位是恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是m4或或mm4。简单图形的惯性矩可以。简单图形的惯性矩可以直接由式直接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。面的惯性矩可在型钢表中查找。2.惯性积惯性积如图如图4.4所示，微面积所示，微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积zydA称为微面积称为微面积dA对对y和和z两轴的惯性两轴的惯性积，记为积，记为zydA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为

12、该图形对两轴的惯性积之和称为该图形对z和和y轴的轴的惯性积，用表示惯性积，用表示Izy，即，即 截面的几何性质截面的几何性质(4-4)(4-5)(4-6) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.9惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或或mm4。如图如图4.4所示，微面积所示，微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积

13、yzdA称为微面积称为微面积dA对对z和和y两轴的惯性积，两轴的惯性积，记为记为yzdA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为该图形对两轴的惯性积之和称为该图形对z和和y轴的惯性积，轴的惯性积，用用Izy表示，即表示，即 截面的几何性质截面的几何性质(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积

14、的常用单位是m4或或mm4。如图如图4.5所示，所示，y轴是图形的对称轴，在轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积轴两侧各取一相同的微面积dA，显然，两者的，显然，两者的y坐标相等，而坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.10如果如果z轴是图形的对称轴，同理可得，轴是图形的对称轴，同理可得，3.惯性半径惯性半径在工程中因为某些计算的特

15、殊需要，经常将图形的惯在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即与某一长度平方的乘积，即 截面的几何性质截面的几何性质(4-7)或写成或写成(4-8) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.11 截面的几何性质截面的几何性质式中，式中，iz、iy、i分别称为平面图形对分别称为平面图形对z轴、轴、y轴和极点的惯性半径，也叫回转半径，单轴和极点的惯性半径，也叫回转半径，单位为位为m或或mm。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合图。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合图形截面的几何特

16、征。形截面的几何特征。规则图形的惯性半径可用公式直接计算，或查相关的图表，常用组合截面规则图形的惯性半径可用公式直接计算，或查相关的图表，常用组合截面(如如T形、形、L形截面形截面)的惯性半径可查相关计算手册，也可直接由式的惯性半径可查相关计算手册，也可直接由式(4-8)计算；型钢的惯性半径可查型计算；型钢的惯性半径可查型钢表。钢表。4.抗弯截面模量抗弯截面模量W在计算抗弯构件的应力时，经常用到抗弯截面模量的概念，抗弯截面模量用表示，用在计算抗弯构件的应力时，经常用到抗弯截面模量的概念，抗弯截面模量用表示，用下面公式计算：下面公式计算：(4-9)式式(4-9)中是截面关于形心轴的惯性矩，中是截

17、面关于形心轴的惯性矩，ymax是截面上垂直并距离形心轴最远的点是截面上垂直并距离形心轴最远的点到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大，抗弯截到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大，抗弯截面模量面模量w只有一个值，而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大，抗弯截面只有一个值，而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大，抗弯截面模量模量w有两个值，就是式有两个值，就是式(4-9)中的中的ymax分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的距离。距离。【例例4.3】矩形截面尺寸如图矩形截面尺

18、寸如图4.6所示。试计算矩形截面对形心轴所示。试计算矩形截面对形心轴z、y的惯性矩、惯的惯性矩、惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。性半径、惯性积和抗弯截面模量。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.12图图4.6矩形截面矩形截面解解:(1)计计算算矩矩形形截截面面对对z轴轴和和y轴轴的的惯惯性性矩矩。取取平平行行于于z轴轴的的微微面面积积dA，dA到到z轴的距离为轴的距离为y，则，则 截面的几何性质截面的几何性质同理可得，矩形截面对同理可得，矩形截面对y轴的惯性矩：轴的惯性矩：(2)计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性半径：轴的惯性半径： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.13(3)计

19、算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性积。因为轴的惯性积。因为z轴和轴和y轴均是矩形的对称轴，所以：轴均是矩形的对称轴，所以：(4)抗弯截面模量：抗弯截面模量：【例例4.4】直径为直径为D的圆形截面，如图的圆形截面，如图4.7所示。所示。(1)试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和惯性半径；惯性半径；(2)计算抗弯截面模量。计算抗弯截面模量。解解:(1)以圆心为原点，建立平面坐标系以圆心为原点，建立平面坐标系yOz。(2)计算圆截面对原点计算圆截面对原点O的极惯性矩，圆的直径为的极惯性矩，圆的直径为D，取圆的半径，取圆的半径，为截面上为截面上任一点到原点的

20、距离，则截面对原点任一点到原点的距离，则截面对原点O的极惯性矩为：的极惯性矩为： 截面的几何性质截面的几何性质微面积微面积(图中阴影部分图中阴影部分)为：为：由于由于，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.14可得：可得：(3)计算惯性半径计算惯性半径(4)计算抗弯截面模量：计算抗弯截面模量： 截面的几何性质截面的几何性质图图4.7圆形截面圆形截面5.惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的，实际上，前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的

21、，实际上，惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。图图4.8惯性矩的平行移轴惯性矩的平行移轴如图如图4.8所示所示C点是截面的形心。点是截面的形心。zc轴和轴和yc轴通过截面形轴通过截面形心。心。z轴和轴和y轴是分别和轴是分别和zc轴和轴和yc轴平行的坐标轴且轴平行的坐标轴且y轴与轴与yc轴相距为轴相距为b，z轴与轴与zc轴相距为轴相距为a。若图形对通过形心的坐标。若图形对通过形心的坐标轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为Izc、Iyc及及Izyc，下面计算图形对，下面计算图形对z轴和轴和y轴的惯性矩。轴的惯性矩。微面积微面积dA在两个坐标系中的坐标

22、有如下关系：在两个坐标系中的坐标有如下关系： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.15 截面的几何性质截面的几何性质根据惯性矩定义，图形对根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：式中：式中：(截面面积对自身形心轴的静矩为零截面面积对自身形心轴的静矩为零)于是得到于是得到(4-10a)同理可得：同理可得：(4-10b)式式(4-10a)、式、式(4-10b)分别为惯性矩的平行移轴公式。式中分别为惯性矩的平行移轴公式。式中Izc和和Iyc是对平面图形形心是对平面图形形心轴的惯性矩。式轴的惯性矩。式(4-10a)、式、式(4-10b)分别表明：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该分别表明：

23、图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于a2(或或b2)恒为正恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.16【例例4.5】用平移轴公式计算图用平移轴公式计算图4.2中矩形截面对底边的惯性矩。中矩形截面对底边的惯性矩。解：解：(1)计算截面对计算截面对z的惯性矩：的惯性矩：(2)根据惯性矩的平移轴公式，得：根据惯性矩的平移轴公式，得： 截面的几何性质截面的几何性质 第4章

24、 杆件的应力、强度和刚度3.17轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩一、一、 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一，在工程中经常见到。如图轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一，在工程中经常见到。如图4.9(a)所示三角形托架中的斜杆，在荷载作用下就发生轴向压缩变形；还有桁架中的所有杆件所示三角形托架中的斜杆，在荷载作用下就发生轴向压缩变形；还有桁架中的所有杆件(如如图图4.9(b)所示所示)，发生的都是轴向变形，发生的都是轴向变形(拉伸或压缩拉伸或压缩)；屋架中的水平拉杆；屋架中的水平拉杆(图图4.9(c)AB线上各线上各杆杆)，发生轴向拉伸

25、变形；建筑结构中的柱子，发生轴向拉伸变形；建筑结构中的柱子(如图如图4.9(d)所示所示)发生轴向压缩变形等。这些发生轴向压缩变形等。这些杆件受力的共同特点是：作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合，杆件的主要变形是杆件受力的共同特点是：作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合，杆件的主要变形是轴向伸长或缩短。这类构件称为拉轴向伸长或缩短。这类构件称为拉(压压)杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩变形，如图变形，如图4.10所示。所示。图图4.9轴向拉轴向拉(压压)杆杆图图4.10轴向拉伸轴向拉伸(压缩压缩)变变 第4章 杆件的应力、强度和刚度

26、3.18图图4.11截面法截面法二、二、 轴向受拉轴向受拉( (压压) )杆的内力杆的内力1.内力的概念内力的概念杆件的内力是指杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻两部分的相对位置发生变化，杆件的内力是指杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻两部分的相对位置发生变化，从而产生附加内力，简称内力。从而产生附加内力，简称内力。荷载作用荷载作用F，杆件内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时，杆件内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时，变形也越大。内力与杆件的强度、刚度有密切的关系。讨论杆件的强度、刚度和稳定问题时，变形也越大。内力与杆件的强度、刚度有

27、密切的关系。讨论杆件的强度、刚度和稳定问题时，必须先求出杆件的内力。必须先求出杆件的内力。2.求杆件内力的方法求杆件内力的方法截面法截面法为了确定外力作用下杆件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一个假想的为了确定外力作用下杆件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一个假想的平面将杆件平面将杆件“截开截开”，使杆件在被截开处的内力显示出来；然后取杆件的任一部分作为研究对，使杆件在被截开处的内力显示出来；然后取杆件的任一部分作为研究对象，将另外部分对它的的作用以截面的内力代替；利用平衡条件求出杆件在被截断处的内力，象，将另外部分对它的的作用以截面的内力代替；利用平衡条件求出杆件

28、在被截断处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。如图如图4.11(a)所示，杆件受一对轴向拉力作用而产生轴向拉伸，计算杆上任一截面所示，杆件受一对轴向拉力作用而产生轴向拉伸，计算杆上任一截面C上的内力。上的内力。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.19(1)截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。如图截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。如图4.11(b)、(c)所示，在所示，在C-C处用假想面把杆截断。处用假想面把杆截断。

29、(2)代替：取截开后的任一部分作为研究对象，画受力图。现以左部分为研究对象，在截开代替：取截开后的任一部分作为研究对象，画受力图。现以左部分为研究对象，在截开截面处用该截面上的内力代替右部分对它的的作用，如图截面处用该截面上的内力代替右部分对它的的作用，如图4.11(d)所示，用所示，用FN、FN来表示两部来表示两部分的相互作用力。分的相互作用力。(3)平衡：由于整体杆件本身处于平衡状态，因此被平衡：由于整体杆件本身处于平衡状态，因此被“截开截开”后。任一部分都处于平衡状态。后。任一部分都处于平衡状态。对如图对如图4.11(d)所示的杆件，列方程所示的杆件，列方程，得，得，内力方向如图，内力方

30、向如图4.11(d)图图4.11(e)所示。所示。3.轴向拉轴向拉(压压)杆的内力杆的内力轴力轴力轴向拉压杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的内力，习惯上称为轴力，用符号轴向拉压杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的内力，习惯上称为轴力，用符号FN表示。表示。通常规定，拉力通常规定，拉力(轴力轴力FN的作用方向背离该力作用的截面的作用方向背离该力作用的截面)为正，压力为正，压力(轴力轴力FN的作用方向指向该的作用方向指向该力作用的截面力作用的截面)为负。轴力的常用单位是为负。轴力的常用单位是N(牛牛顿顿)或或kN(千牛千牛)。说明：说明：(1)截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，在列平衡方程时

31、，把截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，在列平衡方程时，把FN作为正值来看待，作为正值来看待，这样如果计算结果为正，表示假设与实际相符，轴力为拉力；如果计算结果为负，表示假设与这样如果计算结果为正，表示假设与实际相符，轴力为拉力；如果计算结果为负，表示假设与实际相反，轴力为压力。实际相反，轴力为压力。(2)列平衡方程时，轴力及外力在平衡方程中的正、负号由其投影的正负决定，与轴力本列平衡方程时，轴力及外力在平衡方程中的正、负号由其投影的正负决定，与轴力本身正负无关。身正负无关。(3)计算轴力时，可以取被截开处截面的任意一侧研究，计算结果相同，但为了简化计算计算轴力时，可以取被截开处截面的任意一

32、侧研究，计算结果相同，但为了简化计算过程，通常取杆件上外力较少的一侧研究。过程，通常取杆件上外力较少的一侧研究。(4)在计算杆件内力时，在将杆件截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用在计算杆件内力时，在将杆件截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理，因为这样会改变杆件内部的内力及变形。力的可传性原理，因为这样会改变杆件内部的内力及变形。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.204.轴力图轴力图工程中有些拉工程中有些拉(压压)杆件受多个轴向外力而平衡，随着外力的变化，各段轴力也在变化。为杆件受多个轴向外力而平衡，随着外力的变化，各段轴力也

33、在变化。为了形象地表示杆的轴力随横截面位置而变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的了形象地表示杆的轴力随横截面位置而变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情位置，以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置而变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直况画成图形，这种表明轴力随横截面位置而变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及大小、正负。习惯上将正轴力观地看出最大轴力所在位置及大小、正负。习惯上将

34、正轴力(拉力拉力)画在画在x轴上方，负轴力轴上方，负轴力(压力压力)画在画在x轴下方。轴下方。【例例4.6】一个杆件受力经简化后，其计算简图如图一个杆件受力经简化后，其计算简图如图4.12(a)所示。试求杆件的轴力并画出轴所示。试求杆件的轴力并画出轴力图。力图。解：解：(1)在第一段内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，假设轴力为拉力，在截开处在第一段内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，假设轴力为拉力，在截开处施加方向向右的力施加方向向右的力FNI，如图，如图4.12(b)所示。由平衡条件：所示。由平衡条件：，得，得，故，故假设轴力为拉力是正确的。假设轴力为拉力是正确的。(2)在第二段范

35、围内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，同样假设轴力为拉力，在在第二段范围内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，同样假设轴力为拉力，在截开处施加方向向右的力截开处施加方向向右的力FN2，如图，如图4.12(c)所示由平衡条件：所示由平衡条件：，得，得，如图如图4.12(d)所示。所示。(3)用同样的方法可以得到用同样的方法可以得到，如图，如图4.12(d)所示。所示。(4)杆件的全部轴力已经求出来了，可根据前述方法作杆件的轴力图，如图杆件的全部轴力已经求出来了，可根据前述方法作杆件的轴力图，如图4.12(e)所示所示轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.211.应

36、力的概念应力的概念在确定了杆件的内力后，还不能解决工程中的强度问在确定了杆件的内力后，还不能解决工程中的强度问题。例如两根同种材料制成的但横截面积不同的拉杆，承受题。例如两根同种材料制成的但横截面积不同的拉杆，承受同样的拉力。显然二者的轴力相同。但当拉力逐渐增大时，同样的拉力。显然二者的轴力相同。但当拉力逐渐增大时，截面积小的杆必定首先被拉断。这说明，杆的强度不仅与杆截面积小的杆必定首先被拉断。这说明，杆的强度不仅与杆件上的内力有关，还与横截面的面积有关。要解决强度问题，件上的内力有关，还与横截面的面积有关。要解决强度问题，仅研究内力的合力是不够的，还要研究分布内力在横截面上仅研究内力的合力是

37、不够的，还要研究分布内力在横截面上各点的集度。截面上的分布内力在某一点的集度，称为截面各点的集度。截面上的分布内力在某一点的集度，称为截面上这一点的应力。上这一点的应力。如图如图4.13所示，在受力杆件横截面上任一点所示，在受力杆件横截面上任一点C的周围取的周围取一微面积一微面积A(图中阴影图中阴影)，设作用在微面积，设作用在微面积A上的分布内力上的分布内力的合力为的合力为F，取，取F和和A的比值为的比值为A上的平均应力。一般上的平均应力。一般来说，杆件横截面上的应力不是均匀分布的，因此，习惯上来说，杆件横截面上的应力不是均匀分布的，因此，习惯上将微面积将微面积A无限缩小而趋向于零时平均应力的

38、极限值称为无限缩小而趋向于零时平均应力的极限值称为C点的内力集度，即点的内力集度，即C点的总应力，用点的总应力，用p表示：表示：一、一、轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力图图4.12杆件轴力图杆件轴力图轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.22总应力总应力p是一个矢量，通常情况下，既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问是一个矢量，通常情况下，既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上将它分解为与截面垂直的分量题时方便，习惯上将它分解为与截面垂直的分量和与截面相切的分量和与截面相切的分量，如图，如图4.13(b)所示。所示。称为正应力，称为正应力，称为

39、切应力。称为切应力。应力的常用单位为应力的常用单位为Pa(帕帕)，MP(兆帕兆帕)，换算关系为，换算关系为图图4.13应力应力轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(4-11)关于应力的几点说明。关于应力的几点说明。(1)应力是针对某杆件的某一截面上的某点而言的，所以提及应应力是针对某杆件的某一截面上的某点而言的，所以提及应力时，必须指明杆件、截面和点的位置。力时，必须指明杆件、截面和点的位置。(2)应力是矢量，不仅有大小，还有方向。对于正应力，通常规应力是矢量，不仅有大小，还有方向。对于正应力，通常规定拉应力为正，压应力为负，对于切应力定拉应力为正，压应力为负，对于切应力，通常规定使研究对象内，通常规

40、定使研究对象内部顺时针抟动为正，反之为负。部顺时针抟动为正，反之为负。(3)内力与应力的关系。内力是对杆件的整个截面而言，是整个内力与应力的关系。内力是对杆件的整个截面而言，是整个截面上各点处的应力总和；应力是对截面上一点而言的，是内力在截截面上各点处的应力总和；应力是对截面上一点而言的，是内力在截面某一点的集度。面某一点的集度。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.232.轴向拉压杆上的应力轴向拉压杆上的应力轴向拉压杆上的内力只有轴力，截面上的应力只能是与横截面垂直的正应力。通过实验证轴向拉压杆上的内力只有轴力，截面上的应力只能是与横截面垂直的正应力。通过实验证明正应力在杆件横截面上均匀分布，

41、由此可导出轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。明正应力在杆件横截面上均匀分布，由此可导出轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。若用若用A表示拉表示拉(压压)杆横截面的面积，则拉杆横截面的面积，则拉(压压)杆横截面上的正应力为杆横截面上的正应力为轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(4-12)正应力的正负号规定与轴力正应力的正负号规定与轴力FN一致，拉应力为正，压应力为负。一致，拉应力为正，压应力为负。对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力称为工作应力，并且通常把产生最大工作应习惯上把杆件在荷载作用下产

42、生的应力称为工作应力，并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。可见，对于产生轴向拉压变力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。可见，对于产生轴向拉压变形的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。形的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.24【例例4.7】某某轴轴向向受受力力柱柱如如图图4.14(a)所所示示，柱柱子子顶顶部部所所受受压压力力为为Fp，柱柱子子材材料料的的重重度度为为，横横截截面为矩形，尺寸为面为矩形，尺寸为，柱高为，柱高为H，求柱子的

43、最大工作应力。，求柱子的最大工作应力。由由可得可得解解:(1)求轴力。该柱需要考虑自重，在距柱顶处用求轴力。该柱需要考虑自重，在距柱顶处用m-m截面把柱截面把柱子截开，子截开，m-m截面处的轴力用截面处的轴力用FN(x)表示，取表示，取m-m截面以上部分研究，截面以上部分研究，画出受力图，列平衡方程。画出受力图，列平衡方程。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩图图4.14轴向受力柱轴向受力柱由此可见，柱子各横截面上的轴力随由此可见，柱子各横截面上的轴力随x位置变化而变化，轴力随位置变化而变化，轴力随x位置变化的函数称为轴力方程位置变化的函数称为轴力方程当当x=0时，时，当当x=H时，时，(2)求应力。

44、该柱为等截面柱，柱子底部截面的内力和应力最大，是危险截面。其应求应力。该柱为等截面柱，柱子底部截面的内力和应力最大，是危险截面。其应力值为：力值为： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.25四、四、 轴向拉压杆的变形及虎克定律轴向拉压杆的变形及虎克定律实验结果表明，直杆在轴向荷载作用下既产生沿轴线方向的纵向变形。也产生垂直于轴实验结果表明，直杆在轴向荷载作用下既产生沿轴线方向的纵向变形。也产生垂直于轴线方向的横向变形。杆的变形量与所受外力有关，也与杆件尺寸与选用材料有关。线方向的横向变形。杆的变形量与所受外力有关，也与杆件尺寸与选用材料有关。1.杆的纵杆的纵(横横)向变形向变形如图如图4.15所

45、示正方形截面杆，受轴向力作用，产生轴向拉伸和压缩变形，设杆变形前的所示正方形截面杆，受轴向力作用，产生轴向拉伸和压缩变形，设杆变形前的长度为，其横截面的边长为长度为，其横截面的边长为a，变形后长度为，变形后长度为l1，横截面边长为，横截面边长为a1。则杆的纵向变形量为。则杆的纵向变形量为，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。杆的横向变形量为，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。杆的横向变形量为，杆在轴向拉伸时，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。为负值，压缩时为正值。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩图图4.15杆的纵、横向变形杆的纵、横向变形杆件的纵向变形量和横向变形量只能说明纵向和横向总杆件的纵

46、向变形量和横向变形量只能说明纵向和横向总的变形量，不能说明变形程度。为了消除杆件尺寸对杆件变的变形量，不能说明变形程度。为了消除杆件尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量量l除以杆的原始长度除以杆的原始长度l，得到杆件单位长度的纵向变形，得到杆件单位长度的纵向变形(4-13a) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.26称为纵向线应变，简称线应变。称为纵向线应变，简称线应变。的正负号与的正负号与l相同，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负相同，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。值。是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量

47、是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量a除以杆的截面原边长除以杆的截面原边长a，得到杆件单位长，得到杆件单位长度的横向变形度的横向变形轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(4-13b)称为横向线应变。称为横向线应变。的正负号与的正负号与a相同，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。相同，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。也是也是一个无量纲的量。一个无量纲的量。2.泊松比泊松比从上述分析可知，杆件在轴向拉压变形时，纵向线应变从上述分析可知，杆件在轴向拉压变形时，纵向线应变与横向线应变与横向线应变总是正负相反的。总是正负相反的。通过试验表明：当轴向拉压杆的应力不超过材料的比例极限时，对同一材料，横向线应

48、通过试验表明：当轴向拉压杆的应力不超过材料的比例极限时，对同一材料，横向线应变变与纵向线应变与纵向线应变的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数，的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数，用用表示。表示。(4-14)泊松比是一个无量纲的量，它的值与材料有关，可由实验测出。建筑工程中常用材料的泊松比是一个无量纲的量，它的值与材料有关，可由实验测出。建筑工程中常用材料的泊松比见表泊松比见表4-1。泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向线应变之间的关系。在工程中，一般先根据泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向线应变之间的关系。在工程中，一般先根据受力情况

49、计算纵向线应变，然后通过泊松比确定横向变形。受力情况计算纵向线应变，然后通过泊松比确定横向变形。由于杆件的横向线应变由于杆件的横向线应变与纵向线应变与纵向线应变总是符号相反，所以总是符号相反，所以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.273.虎克定律虎克定律计算杆件变形时，关键是计算杆件的纵向变形量。试验表明，工程中使用的材料都有一个计算杆件变形时，关键是计算杆件的纵向变形量。试验表明，工程中使用的材料都有一个弹性范围，在弹性范围内杆的变形量与杆所受的轴力成正比，与杆的横截面积成反比，用公式弹性范围，在弹性范围内杆的变形量与杆所受的轴力成正比，与杆的横截面积成反比，用公式表示为：表示为：引进比例

50、常数引进比例常数E后，得后，得这一公式是英国科学家虎克提出来的，故称为虎克定律。对于长度相同，所受轴力相等的这一公式是英国科学家虎克提出来的，故称为虎克定律。对于长度相同，所受轴力相等的构件，分母构件，分母EA越大，则杆的纵向变形越小；分母越大，则杆的纵向变形越小；分母EA越小，则杆的纵向变形越大。由此可见，越小，则杆的纵向变形越大。由此可见，EA反映了拉压杆抵抗变形的能力，所以称为拉压杆的抗拉压刚度。反映了拉压杆抵抗变形的能力，所以称为拉压杆的抗拉压刚度。将式将式(4-16)两边除以两边除以l，并把，并把和和代入，于是得代入，于是得(4-15)(4-16)轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(4-1

51、7)式式(4.17)是虎克定律的另一种表达方式，它表明在线弹性范围内，正应力与线应变成正是虎克定律的另一种表达方式，它表明在线弹性范围内，正应力与线应变成正比，比例系数即为材料的弹性模量比，比例系数即为材料的弹性模量E。工程中常用的材料的弹性模量。工程中常用的材料的弹性模量E见表见表4-1。弹性模量弹性模量En5应力应力有相同的量纲，单位为有相同的量纲，单位为Pa、MPa和和GPa。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.28轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩表表4-1常用工程材料的弹性模量和泊松比常用工程材料的弹性模量和泊松比【例例4.8】试计算如图试计算如图4.16所示柱子顶点的位移。已知柱子材料的

52、弹性模量为所示柱子顶点的位移。已知柱子材料的弹性模量为E，重，重度为度为。图图4.16求柱子顶点位移求柱子顶点位移解解：例例4.7已计算出柱子任意高度已计算出柱子任意高度x处的轴力为：处的轴力为：(0xH)则高度则高度x处的正应力为处的正应力为(0xH) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.29根据虎克定律，高度根据虎克定律，高度x处的应变为处的应变为图图4.17杆的轴力图杆的轴力图轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(0xH)则应变在高度则应变在高度H上积分，可得柱子顶点处的位移上积分，可得柱子顶点处的位移(方向向下方向向下)顶点位移由两部分组成，顶点位移由两部分组成，部分是由顶点集中力部分是由顶点集

53、中力FP引起的，引起的，部分是由柱子自重引部分是由柱子自重引起的。起的。【例例4.9】如图如图4.17所示，杆受轴向力作用，所示，杆受轴向力作用，材料为钢材，弹性模量，材料为钢材，弹性模量为为，杆件的截面面积，杆件的截面面积，求杆的总的纵向变形。，求杆的总的纵向变形。解解:杆的总的纵向变形就是沿着杆的长度方向各段纵向变形之杆的总的纵向变形就是沿着杆的长度方向各段纵向变形之和。和。(1)求轴力，并做出轴力图，如图求轴力，并做出轴力图，如图4.17(b)所示。该杆可分三所示。该杆可分三段计算轴力。段计算轴力。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.30AB段：段：FNAB=FP=20KNBC段：段：F

54、NBC=0KNCD段：段：FNCD=-20KN(2)求杆总的纵向变形。求杆总的纵向变形。总的变形：总的变形：轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩AB段：段：BC段：段：CD段：段：【例例4.10】一个矩形截面杆件如图一个矩形截面杆件如图4.18所示，其截面尺寸为所示，其截面尺寸为，材料的弹，材料的弹性模量性模量。杆件两端受拉力。杆件两端受拉力FP作用，在纵向作用，在纵向100的长度内，杆伸长了的长度内，杆伸长了0.05，在横向，在横向60范围内，杆的尺寸缩小了范围内，杆的尺寸缩小了0.0093，试求：，试求：(1)该钢材的泊松比；该钢材的泊松比；(2)杆件所受的轴向拉力杆件所受的轴向拉力FP。 第4章

55、 杆件的应力、强度和刚度3.31轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩图图4.18矩形截面杆矩形截面杆解解:(1)求泊松比。要想通过上述试验测出的数值求泊松比。要想通过上述试验测出的数值计算泊松比，首先要计算出纵向线应变及横向线应计算泊松比，首先要计算出纵向线应变及横向线应变。变。杆件的纵向线应变杆件的纵向线应变杆件的横向线应变杆件的横向线应变求泊松比求泊松比(2)计算杆受到的轴向拉力。由虎克定律计算杆受到的轴向拉力。由虎克定律，计算图示杆件在作用下任一，计算图示杆件在作用下任一横截面上的正应力横截面上的正应力又按照应力的计算公式又按照应力的计算公式，可求得在，可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力：作

56、用下，杆件横截面上的轴力： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.32轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即，所以该杆受到，所以该杆受到的轴向外力的轴向外力。五、材料在拉伸和压缩时的力学性质五、材料在拉伸和压缩时的力学性质在对杆件进行强度、刚度和稳定性的计算时，必须知道材料在外力作用下的力学性能，如在对杆件进行强度、刚度和稳定性的计算时，必须知道材料在外力作用下的力学性能，如4.2.4小节提到的弹性模量和泊松比，都属于材料的力学性能。材料的力学性能要通过试验来测小节提到的弹性模量和泊松比，都属于材料的力学性能。材

57、料的力学性能要通过试验来测定，本节主要介绍工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能。定，本节主要介绍工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能。1.低碳钢的力学性质低碳钢的力学性质低碳钢是建筑工程中最常用的材料之一，在拉伸时表现出的力学现象比较全面。低碳钢是建筑工程中最常用的材料之一，在拉伸时表现出的力学现象比较全面。1)低碳钢的拉伸实验低碳钢的拉伸实验实验通常是在常温、静载条件下进行的。按照国家标准的规定，将材料做成标准试件。常实验通常是在常温、静载条件下进行的。按照国家标准的规定，将材料做成标准试件。常用标准试件有圆形截面和矩形截面两种。图用标准试件有圆形截面和矩形截面两种。图4.19(a)和和

58、4.19(b)分别为圆截面试件和矩形截面试件。分别为圆截面试件和矩形截面试件。试件中间一段为等截面，在该段中标出长度为试件中间一段为等截面，在该段中标出长度为l0的一段称为工作段，工作段的长度的一段称为工作段，工作段的长度l0称为称为“标标距距”。它与横截面尺寸有规定的比例。常用的标距比例有两种：。它与横截面尺寸有规定的比例。常用的标距比例有两种： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.33轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩圆形截面：圆形截面：和和矩形截面：矩形截面：和和图图4.19标准试件标准试件试验时，将试件安装在试验机上，然后缓缓加载使试件试验时，将试件安装在试验机上，然后缓缓加载使试件承受轴向拉

59、伸。试验过程中，测量并记录试件的受力和变形，承受轴向拉伸。试验过程中，测量并记录试件的受力和变形，直到试件拉断时为止。一般试验机均附有自动绘图装置，能直到试件拉断时为止。一般试验机均附有自动绘图装置，能自动绘出荷载值自动绘出荷载值FP与伸长量与伸长量l之间的关系曲线，该曲线反映之间的关系曲线，该曲线反映了试件所受拉力了试件所受拉力F与相应伸长量与相应伸长量l之间的关系，称为试件的之间的关系，称为试件的拉伸图。如图拉伸图。如图4.20所示为低碳钢的拉伸实验时的荷载所示为低碳钢的拉伸实验时的荷载-变形图。变形图。图图4.20低碳钢拉伸的荷载低碳钢拉伸的荷载-变形图变形图FP比例极限荷载；比例极限荷

60、载；Fs屈服荷载；屈服荷载；Fb最大荷载最大荷载显然，试件的拉伸量与试件尺寸有关。为了消除试件显然，试件的拉伸量与试件尺寸有关。为了消除试件尺寸的影响，将横坐标除以试验段的标距尺寸的影响，将横坐标除以试验段的标距l0，即，即；将纵坐标将纵坐标Fp除以杆件的横截面面积除以杆件的横截面面积A，即，即，画出，画出以以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.34轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩为横坐标，以为横坐标，以为纵坐标的曲线，由此得到的曲线称为应力为纵坐标的曲线，由此得到的曲线称为应力-应变曲线，也称应变曲线，也称为为曲曲线。该曲线只反映材料本身的力学性质，与构件的几何尺寸无关。如图线。该曲线只反映材料

61、本身的力学性质，与构件的几何尺寸无关。如图4.21所示为低碳钢拉所示为低碳钢拉伸的应力伸的应力-应变曲线。应变曲线。图图4.21低碳钢拉伸的应力低碳钢拉伸的应力-应变曲线应变曲线2)低碳钢变形发展的四个阶段低碳钢变形发展的四个阶段从图从图4.21中可以看出，低碳钢在整个拉伸过程中，大致中可以看出，低碳钢在整个拉伸过程中，大致可分为四个阶段。可分为四个阶段。(1)弹性阶段：图弹性阶段：图4.21中的中的Ob段，若试件内应力不超过段，若试件内应力不超过b点的应力值。卸除载荷后，应力和应变沿点的应力值。卸除载荷后，应力和应变沿bo线回到原点线回到原点O，变形可以全部消失，即变形全部是弹性的，这一阶段

62、称为，变形可以全部消失，即变形全部是弹性的，这一阶段称为弹性阶段，弹性阶段的最高点所对应的应力值称为弹性极限，弹性阶段，弹性阶段的最高点所对应的应力值称为弹性极限，用用e表示。表示。这一阶段又可分为两部分：这一阶段又可分为两部分：Oa段为直线段，应力与应变成正比，材料符合虎克定律，该段为直线段，应力与应变成正比，材料符合虎克定律，该段最高点的应力值称为比例极限，用符号段最高点的应力值称为比例极限，用符号P表示。低碳钢的比例极限大约为表示。低碳钢的比例极限大约为200MPa。ab段是段是一段很短的微弯曲线。一段很短的微弯曲线。虽然弹性极限和比例极限意义不同，但是弹性极限和比例极限的数值十分接近，

63、工程中常虽然弹性极限和比例极限意义不同，但是弹性极限和比例极限的数值十分接近，工程中常将这两个名字不加区别，统称为弹性极限，近似认为在弹性极限内材料服从虎克定律。将这两个名字不加区别，统称为弹性极限，近似认为在弹性极限内材料服从虎克定律。在弹性阶段还可以看出，在弹性阶段还可以看出，Oa段直线的斜率为，可见，此阶段可以通过测定直线的斜率来确段直线的斜率为，可见，此阶段可以通过测定直线的斜率来确定材料的弹性模量。低碳钢的弹性模量约为定材料的弹性模量。低碳钢的弹性模量约为(200210)GPa。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.35(2)屈服阶段：屈服阶段：(对应图对应图4.21中的段中的段)图中

64、接近水平的锯齿形线段，此时应力几乎不变，而图中接近水平的锯齿形线段，此时应力几乎不变，而应变却急剧增加，表明材料已失去抵抗变形的能力。这种现象称为屈服或流动。屈服阶段最低应变却急剧增加，表明材料已失去抵抗变形的能力。这种现象称为屈服或流动。屈服阶段最低点所对应的应力称为屈服极限或流动极限，用点所对应的应力称为屈服极限或流动极限，用s表示。低碳钢的屈服极限约为表示。低碳钢的屈服极限约为240MPa。如果试件表面光滑，当材料屈服时在试件表面将出现与试件轴线约成如果试件表面光滑，当材料屈服时在试件表面将出现与试件轴线约成45角的倾斜条纹。此条角的倾斜条纹。此条纹称滑移线。它由于轴向拉伸时纹称滑移线。

65、它由于轴向拉伸时45斜面上产生了最大剪应力，使材料内部晶格间发生相对滑斜面上产生了最大剪应力，使材料内部晶格间发生相对滑移而引起的。屈服阶段材料将产生很大的塑性变形，工程中的杆件不允许产生很大的塑性变形，移而引起的。屈服阶段材料将产生很大的塑性变形，工程中的杆件不允许产生很大的塑性变形，所以设计中常取屈服极限为所以设计中常取屈服极限为s材料的强度指标。材料的强度指标。(3)强化阶段：图强化阶段：图4.21中的中的cd阶段。材料在经过了屈服阶段后又增强了抵抗变形的能力。阶段。材料在经过了屈服阶段后又增强了抵抗变形的能力。此时，要使材料继续变形需要增大拉力，这种现象称为强化。强化阶段的最高点所对应

66、的应力，此时，要使材料继续变形需要增大拉力，这种现象称为强化。强化阶段的最高点所对应的应力，称为材料的强度极限，用称为材料的强度极限，用b表示。低碳钢的强度极限约为表示。低碳钢的强度极限约为480MPa。(4)颈缩阶段：图颈缩阶段：图4.21中的中的de段，在应力达到强度极限段，在应力达到强度极限b后，应力后，应力-应变曲线开始出现下降应变曲线开始出现下降段。此时，试件某一局部范围内横截面积显著缩小产生所谓的颈缩现象。颈缩现象出现后，继段。此时，试件某一局部范围内横截面积显著缩小产生所谓的颈缩现象。颈缩现象出现后，继续拉伸所需荷载迅速减小，最后导致试件断裂。续拉伸所需荷载迅速减小，最后导致试件

67、断裂。综上所述，低碳钢在整个拉伸过程中，经历了弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段，并存综上所述，低碳钢在整个拉伸过程中，经历了弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段，并存在三个特征点，其相应的应力分别为比例极限、屈服极限和强度极限，其中屈服极限和强度极在三个特征点，其相应的应力分别为比例极限、屈服极限和强度极限，其中屈服极限和强度极限是衡量其强度的主要指标。限是衡量其强度的主要指标。轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.36轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩3)低碳钢的冷作硬化低碳钢的冷作硬化在应力超过屈服极限之后，如果在强化阶段某一点在应力超过屈服极限之后，如果在强化阶段某一点(如图

68、如图4.21中的中的k点点)卸载，则卸载时应卸载，则卸载时应力力-应变曲线将沿直线应变曲线将沿直线kO回到应力零点回到应力零点O，直线，直线Ok几乎平行于线段几乎平行于线段Oa，这说明在卸载过程，这说明在卸载过程中，卸去的应力与卸去的应变成正比，图中，卸去的应力与卸去的应变成正比，图4.21中卸载后消失的应变中卸载后消失的应变Ok为弹性应变，保留下的为弹性应变，保留下的应变应变OO为塑性应变。为塑性应变。若卸载后再加载，则应力若卸载后再加载，则应力-应变曲线大致沿着卸载时的路径应变曲线大致沿着卸载时的路径(直线直线Ok)，直到，直到k点后才开始点后才开始出现塑性变形，以后的应力出现塑性变形，以

69、后的应力-应变曲线与第一次加载时大致相同。第二次加载的应力应变曲线与第一次加载时大致相同。第二次加载的应力-应变曲应变曲线，在线，在k点以前，材料的变形是弹性的，过点以前，材料的变形是弹性的，过k点后开始出现塑性变形，即第二次加载时，材料点后开始出现塑性变形，即第二次加载时，材料的比例极限提高，而塑性变形有所降低，这种现象称为冷作硬化。工程中经常利用冷作硬化的比例极限提高，而塑性变形有所降低，这种现象称为冷作硬化。工程中经常利用冷作硬化提高材料在弹性范围内的承载能力。例如把钢筋冷拉，以提高抗拉强度。但是，经过冷拉的提高材料在弹性范围内的承载能力。例如把钢筋冷拉，以提高抗拉强度。但是，经过冷拉的

70、材料，强度提高了，其塑性会有所降低。材料，强度提高了，其塑性会有所降低。4)塑性指标塑性指标试件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形则保留了下来，工程中常用试件拉断后保试件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形则保留了下来，工程中常用试件拉断后保留下来的塑性变形的大小来表示材料的塑性性质。表征材料塑性性质的有延伸率和断面收缩留下来的塑性变形的大小来表示材料的塑性性质。表征材料塑性性质的有延伸率和断面收缩率两个指标。率两个指标。(1)延伸率。将拉断的试件拼在一起，量出断裂后的标距长度延伸率。将拉断的试件拼在一起，量出断裂后的标距长度l1，习惯上把断裂后的标距，习惯上把断裂后的标距长度长度l1与原标

71、距长度与原标距长度l0的差值除以原标距长度的差值除以原标距长度l的百分率称为材料的延伸率，用符号的百分率称为材料的延伸率，用符号表示：表示： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.37轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(4-18)低碳钢的延伸率约为低碳钢的延伸率约为20%30%。延伸率表示试件直到拉断时塑性变形所能达到的最大程度。延伸率表示试件直到拉断时塑性变形所能达到的最大程度。越大，表示材料的塑性越越大，表示材料的塑性越好。工程中常按延伸率的大小将材料分为两类：好。工程中常按延伸率的大小将材料分为两类：5%的材料为塑性材料，例如低碳钢、低的材料为塑性材料，例如低碳钢、低合金钢、铝合金等；合金钢、铝合

72、金等；5%的材料为脆性材料，例如混凝土、铸铁、砖、石材等。拉伸试验的材料为脆性材料，例如混凝土、铸铁、砖、石材等。拉伸试验表明，低碳钢是一种抗拉能力良好的塑性材料。表明，低碳钢是一种抗拉能力良好的塑性材料。(2)断面收缩率。测出断裂试件颈缩处的最小横截面面积断面收缩率。测出断裂试件颈缩处的最小横截面面积A1，原试件的横截面面积，原试件的横截面面积A0与与A1的差值除以原试件的横截面面积的差值除以原试件的横截面面积A0的百分率称为断面收缩率，用符号的百分率称为断面收缩率，用符号表示：表示：(4-19)低碳钢的断面收缩率约为低碳钢的断面收缩率约为60%70%。2.铸铁的力学性质铸铁的力学性质铸铁是

73、一种典型的脆性材料。铸铁是一种典型的脆性材料。如图如图4.22所示的曲线所示的曲线1为为(虚线表示虚线表示)铸铁拉伸时的应力铸铁拉伸时的应力-应变图。从图中可以看出，图线没应变图。从图中可以看出，图线没有明显的直线部分，没有屈服阶段。试验表明构件在拉应力很小的情况下就被突然拉断了，并有明显的直线部分，没有屈服阶段。试验表明构件在拉应力很小的情况下就被突然拉断了，并且拉断之前没有明显的颈缩现象，变形也很小，拉断时的应力是衡量它强度的惟一指标，称为且拉断之前没有明显的颈缩现象，变形也很小，拉断时的应力是衡量它强度的惟一指标，称为抗拉强度，用抗拉强度，用b表示。可见铸铁的拉伸强度很小，抗拉能力差，在

74、工程中不宜用作抗拉构件。表示。可见铸铁的拉伸强度很小，抗拉能力差，在工程中不宜用作抗拉构件。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.38轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩图图4.22铸铁拉伸、压缩时的应力铸铁拉伸、压缩时的应力-应变曲线应变曲线铸铁压缩时的应力铸铁压缩时的应力-应变曲线如图中曲线应变曲线如图中曲线2(实线表示实线表示)。将曲。将曲线线1与曲线与曲线2比较可以看出，铸铁压缩时也没有明显的直线部分及比较可以看出，铸铁压缩时也没有明显的直线部分及屈服阶段。压坏时的应力是衡量它强度的唯一指标，称为抗压强屈服阶段。压坏时的应力是衡量它强度的唯一指标，称为抗压强度，用度，用bc表示。铸铁的抗压强度大

75、约是抗拉强度的表示。铸铁的抗压强度大约是抗拉强度的(45)倍，压倍，压缩时的变形也比拉伸时大。可见，铸铁是一种抗压性能好而抗拉缩时的变形也比拉伸时大。可见，铸铁是一种抗压性能好而抗拉性能差的材料，工程中常用作抗压构件，也常用来做动力机械、性能差的材料，工程中常用作抗压构件，也常用来做动力机械、桥梁的底座。桥梁的底座。3.其他常用材料的力学性质其他常用材料的力学性质建筑工程中用到的材料很多建筑工程中用到的材料很多，按延伸率可以分为塑性材料和脆性材料两类。塑性材料拉伸，按延伸率可以分为塑性材料和脆性材料两类。塑性材料拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象，破坏前有明

76、显的和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象，破坏前有明显的预兆，延伸率和断面收缩率都较大。脆性材料预兆，延伸率和断面收缩率都较大。脆性材料(混凝土、砖石等混凝土、砖石等)压缩强度大于拉伸强度，破坏压缩强度大于拉伸强度，破坏前没有明显的预兆，是突然发生的，延伸率较小。前没有明显的预兆，是突然发生的，延伸率较小。一般情况下，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件，也能用于受压构件。一般情况下，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件，也能用于受压构件。但在工程中实际选用材料时，不但要考虑材料的力学性能，还要考虑经济因素。例如建筑工程但在工程中实际选用材

77、料时，不但要考虑材料的力学性能，还要考虑经济因素。例如建筑工程中很少用低碳钢作为受压构件，而常用混凝土等材料做成受压构件。中很少用低碳钢作为受压构件，而常用混凝土等材料做成受压构件。影响材料力学性能的因素是很多的，上述材料的性质是在常温、静荷载条件下得出的。若影响材料力学性能的因素是很多的，上述材料的性质是在常温、静荷载条件下得出的。若环境因素发生变化环境因素发生变化(如温度变化、动力荷载如温度变化、动力荷载)，则材料的性质也会发生变化。，则材料的性质也会发生变化。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.39轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩六、轴向拉伸杆件的强度计算六、轴向拉伸杆件的强度计算根据杆件承

78、受外力的大小便可算出截面上应力的大小，当外力增大时，截面上的应力也根据杆件承受外力的大小便可算出截面上应力的大小，当外力增大时，截面上的应力也加大。但是任何材料的杆件其截面应力的增长都存在一个固有的极限，超过此极限时，杆件加大。但是任何材料的杆件其截面应力的增长都存在一个固有的极限，超过此极限时，杆件就要破坏，例如杆件断裂或虽不断裂，但出现不可恢复的塑性变形而丧失承载能力，不能正就要破坏，例如杆件断裂或虽不断裂，但出现不可恢复的塑性变形而丧失承载能力，不能正常工作。这时的材料应力称为极限应力，即材料丧失工作能力时的应力，以符号常工作。这时的材料应力称为极限应力，即材料丧失工作能力时的应力，以符

79、号0表示，其值表示，其值由试验确定。由试验确定。在设计杆件时，有很多情况难以估计。为了保证构件有足够的强度，还必须有足够的安在设计杆件时，有很多情况难以估计。为了保证构件有足够的强度，还必须有足够的安全储备，使杆件在荷载作用下所引起的最大应力小于材料的极限应力。通过大量调查研究，全储备，使杆件在荷载作用下所引起的最大应力小于材料的极限应力。通过大量调查研究，给各种材料分别规定了一个可以作为设计依据，且比极限应力小得多的应力，即杆件在工作给各种材料分别规定了一个可以作为设计依据，且比极限应力小得多的应力，即杆件在工作时允许承受的最大工作应力，我们称为许用应力或容许应力时允许承受的最大工作应力，我

80、们称为许用应力或容许应力(见表见表4-2)，以符号，以符号表示。许表示。许用应力等于极限应力除以安全系数用应力等于极限应力除以安全系数n，即即(4-20)式中，式中，0表示材料的极限应力。表示材料的极限应力。安全系数安全系数n是一个大于是一个大于1的系数，安全系数的确定应考虑以下几个方面的因素。的系数，安全系数的确定应考虑以下几个方面的因素。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.40轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(1)实际荷载与设计荷载的出入。实际荷载与设计荷载的出入。(2)材料性质的不均匀。建筑力学假设材料均匀连续、各向同性，但实际情况并非材料性质的不均匀。建筑力学假设材料均匀连续、各向同性，但

81、实际情况并非如此。如此。(3)计算结果的近似性。在计算杆件的内力、应力和变形时，都对具体结构做了不同计算结果的近似性。在计算杆件的内力、应力和变形时，都对具体结构做了不同的简化和近似性的假设，这就使得计算结果与实际情况有了差距。的简化和近似性的假设，这就使得计算结果与实际情况有了差距。(4)施工、制造和使用时的条件影响。施工、制造和使用条件不同，也会影响杆件的施工、制造和使用时的条件影响。施工、制造和使用条件不同，也会影响杆件的强度。例如，混凝土是机械拌制还是人工拌制，是现场浇注还是工厂预制都会影响杆件强度。例如，混凝土是机械拌制还是人工拌制，是现场浇注还是工厂预制都会影响杆件的强度，对木结构

82、、钢结构，大气的含水量、温度变化都会影响其强度。的强度，对木结构、钢结构，大气的含水量、温度变化都会影响其强度。综上所述，安全系数的确定涉及工程的方方面面，不仅仅是力学问题。选取安全系综上所述，安全系数的确定涉及工程的方方面面，不仅仅是力学问题。选取安全系数的原则是：在保证杆件安全可靠的前提下，尽可能减小安全系数，提高容许应力。确数的原则是：在保证杆件安全可靠的前提下，尽可能减小安全系数，提高容许应力。确定材料的安全系数是一项严肃的工作，安全系数低了，不安全，安全系数高了，浪费材定材料的安全系数是一项严肃的工作，安全系数低了，不安全，安全系数高了，浪费材料。通常安全系数由国家指定的专门机构制定

83、。目前建筑工程中的安全系数取值，对塑料。通常安全系数由国家指定的专门机构制定。目前建筑工程中的安全系数取值，对塑性材料，破坏前有明显的预兆，一般取性材料，破坏前有明显的预兆，一般取1.41.7；脆性材料破坏前没有明显的征兆，破坏；脆性材料破坏前没有明显的征兆，破坏是突然的，所以安全系数取得较大，一般取是突然的，所以安全系数取得较大，一般取2.53.0。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.41轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩表表4-2常用材料的容许应力值常用材料的容许应力值材 料抗拉/MPa抗压/MPa钢Q215、Q23516锰钢140170215240140170215240轴向拉压杆要满足强度要

84、求，就必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用轴向拉压杆要满足强度要求，就必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力。即应力。即(4-21a)对等截面杆，上式可写成对等截面杆，上式可写成(4-21b)式式(4-21)就是拉就是拉(压压)杆的强度条件。如果最大应力与许用应力相等，则说明安全与经杆的强度条件。如果最大应力与许用应力相等，则说明安全与经济达到了统一。如果最大应力远小于容许应力，则说明材料浪费了。如果最大应力大于容济达到了统一。如果最大应力远小于容许应力，则说明材料浪费了。如果最大应力大于容许应力，说明强度储备不足，安全程度没有达到标准。许应力，说明强度储备不足，安全程度没有达到

85、标准。根据强度条件公式，可以解决实际工程中的三类问题。根据强度条件公式，可以解决实际工程中的三类问题。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.42轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩强度校核：已知杆件所受的荷载、杆件尺寸及材料的容许应力，根据式强度校核：已知杆件所受的荷载、杆件尺寸及材料的容许应力，根据式(4-21)可校核可校核杆件是否满足强度要求。杆件是否满足强度要求。截面选择：已知杆件所受的荷载及材料的容许应力，确定杆件所用的最小截面积，可截面选择：已知杆件所受的荷载及材料的容许应力，确定杆件所用的最小截面积，可用下式计算用下式计算，求出截面积后，可进一步根据相关条件，确定有关尺寸。，求出截面积后，可

86、进一步根据相关条件，确定有关尺寸。确定许用荷载：已知杆件的横截面积和材料的容许应力，确定许用荷载，先用下式计确定许用荷载：已知杆件的横截面积和材料的容许应力，确定许用荷载，先用下式计算最大许用轴力算最大许用轴力，然后可根据实际情况下轴力与荷载的平衡关系，进一步计算，然后可根据实际情况下轴力与荷载的平衡关系，进一步计算许用荷载。许用荷载。说明：利用强度条件对受压直杆进行计算，仅对由强度较低的材料制成、横截面尺寸较说明：利用强度条件对受压直杆进行计算，仅对由强度较低的材料制成、横截面尺寸较大的杆件适用大的杆件适用(如由木材、素混凝土、砌体材料制成的受压柱如由木材、素混凝土、砌体材料制成的受压柱)。

87、而对于由高强度材料制成的。而对于由高强度材料制成的受压杆件，承载能力主要取决于稳定性，例如由低碳钢制成的受压杆，一般在工作应力远小受压杆件，承载能力主要取决于稳定性，例如由低碳钢制成的受压杆，一般在工作应力远小于其材料容许应力的情况下，突然发生失稳破坏。于其材料容许应力的情况下，突然发生失稳破坏。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.43轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例例4.11】一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图4.23所示。其中所示。其中，屋顶的上，屋顶的上弦杆由钢筋混凝土制成，下弦杆为圆截面钢拉杆，直径为弦杆由钢筋混凝土制成，下弦杆为圆截面钢拉杆，直径为2

88、.2cm。钢的容许拉应力为。钢的容许拉应力为，试校核该拉杆的强度。图中尺寸单位为，试校核该拉杆的强度。图中尺寸单位为mm。图图4.23钢筋混凝土组合屋架钢筋混凝土组合屋架解解:(1)求支座反力求支座反力FA和和FB。把屋架整体作为研究对象，根据。把屋架整体作为研究对象，根据和和，可求出，可求出FA和和FB。结构和荷载均左右对。结构和荷载均左右对称，称，FA和和FB必相等，所以必相等，所以(2)求拉杆的内力求拉杆的内力FN。用截面法取左边部分为隔离体，如。用截面法取左边部分为隔离体，如图图4.23(b)所示，以铰所示，以铰C为矩心，建立平衡方程为矩心，建立平衡方程 第4章 杆件的应力、强度和刚度

89、3.44轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(3)求拉杆上的正应力求拉杆上的正应力，先求拉杆的横截面面积，先求拉杆的横截面面积由于由于，所以拉杆安全。，所以拉杆安全。【例例4.12】如图如图4.24所示，一铸铁圆筒，顶部承受压力所示，一铸铁圆筒，顶部承受压力，筒的外径，筒的外径，已知铸铁的容许应力已知铸铁的容许应力，试求筒壁的厚度，试求筒壁的厚度t，筒的自重略去不计。，筒的自重略去不计。解解:先求所需的横截面积先求所需的横截面积A，将，将及及代入，得代入，得圆环面积为圆环面积为 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.45轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩圆筒的内径值圆筒的内径值图图4.24铸铁圆筒铸铁圆筒由此可

90、得筒的内壁厚为由此可得筒的内壁厚为实际工程中可选用实际工程中可选用，即筒的内径为，即筒的内径为20cm。【例例4.13】如图如图4.25所示的三角架，所示的三角架，AB为钢拉杆长为钢拉杆长1.5m，横截面积为，横截面积为，容许应力容许应力，倾角为，倾角为45；BC为木杆，横截面积为为木杆，横截面积为120cm2，容许应力为，容许应力为。试求结构的容许荷载。试求结构的容许荷载。解解:(1)取取B结点为隔离体。结点为隔离体。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.46轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩由由，得，得由由，得，得联合求解联合求解和和可得可得图图4.25三角架三角架(2)根据拉压杆的应力强度条件求

91、出杆件的最大轴力。根据拉压杆的应力强度条件求出杆件的最大轴力。假设杆假设杆AB充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为：充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为：将此值代入将此值代入，求得容许荷载，求得容许荷载再假设杆再假设杆BC充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为：充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.47轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩将此值代入将此值代入，求得容许荷载，求得容许荷载取取和和取较小者，即为结构的容许荷载取较小者，即为结构的容许荷载。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.48杆件的剪切和扭转杆件的剪

92、切和扭转一、剪切和挤压的概念一、剪切和挤压的概念在工程中常遇到这样一类构件：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且在工程中常遇到这样一类构件：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的横向外力，如图相距很近的横向外力，如图4.26所示，在外力作用下，两力之间的截面沿着力的方向产生所示，在外力作用下，两力之间的截面沿着力的方向产生相对错动，习惯上称为剪切变形，如图相对错动，习惯上称为剪切变形，如图4.27所示。通常把相对错动的截面叫剪切面，剪切所示。通常把相对错动的截面叫剪切面，剪切面上的内力称为剪力，与剪力相应的应力为剪应力。面上的内力称为剪力，与剪力相应的应力为剪应力。图图

93、4.27只有一个剪切面只有一个剪切面(单剪单剪)，而图，而图4.28有两个剪切面有两个剪切面(双剪双剪)。图图4.26剪切剪切 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.49 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.50杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转图图4.27单剪单剪图图4.28双剪双剪构件在受剪切时，常伴随着挤压现象。挤压面上的内力称为挤压力，引起的应力称为构件在受剪切时，常伴随着挤压现象。挤压面上的内力称为挤压力，引起的应力称为挤压应力。挤压应力。二、剪切和挤压的实用计算二、剪切和挤压的实用计算1.剪切实用计算剪切实用计算如图如图4.29所示，假定剪应力在剪切面上是均匀分布的，为使构件不发生剪切破坏

94、，要所示，假定剪应力在剪切面上是均匀分布的，为使构件不发生剪切破坏，要求剪应力不超过材料容许剪应力，即求剪应力不超过材料容许剪应力，即(4-22) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.51杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转式中，式中，FQ、As分别表示剪切面上的剪力和面积；分别表示剪切面上的剪力和面积；为容许剪应力，容许剪应力是仿为容许剪应力，容许剪应力是仿照连接件的实际受力情况进行剪切实验测定的，对于钢材，根据试验结果，常取照连接件的实际受力情况进行剪切实验测定的，对于钢材，根据试验结果，常取=(0.60.8)，式中的，式中的为其容许拉应力。为其容许拉应力。图图4.29均匀分布的剪应力均匀分布的

95、剪应力2.挤压实用计算挤压实用计算如图如图4.30所示，受剪的构件常常伴随发生挤压受力。所示，受剪的构件常常伴随发生挤压受力。图图4.30挤压挤压两接触面上的压力称为挤压力两接触面上的压力称为挤压力FC、挤压面面积为、挤压面面积为AC，挤压面上产生的应力叫挤压应，挤压面上产生的应力叫挤压应力力C。在实用计算中通常用承压面在直径面上的正投影面积。在实用计算中通常用承压面在直径面上的正投影面积AC除挤压力除挤压力FC，所得到的平，所得到的平均值作为计算挤压应力。均值作为计算挤压应力。即即 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.52杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转(4-23)式中，式中，AC为钉孔直径为

96、钉孔直径d与板厚与板厚的乘积的乘积。挤压强度条件为：。挤压强度条件为：(4-24)式式(4-24)中，中，C为材料的容许挤压应力。为材料的容许挤压应力。三、扭矩和扭矩图三、扭矩和扭矩图扭转变形是杆件的基本变形之一。在垂直于杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转扭转变形是杆件的基本变形之一。在垂直于杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件在两横截面间相对转动的角度称为扭转角，用相对转动。其中杆件在两横截面间相对转动

97、的角度称为扭转角，用表示，如图表示，如图4.31所示。所示。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.53杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转图图4.31扭转变形扭转变形工程中，以扭转变形为主的杆件很常见，例如汽车工程中，以扭转变形为主的杆件很常见，例如汽车方向盘的操纵杆，搅拌器的主轴，钻井机的钻杆等。方向盘的操纵杆，搅拌器的主轴，钻井机的钻杆等。作用于轴上的外力偶矩，由轴所传递的功率和轴的转速作用于轴上的外力偶矩，由轴所传递的功率和轴的转速计算可得：计算可得：(4-25)式中，式中，P为轴传递的功率为轴传递的功率(KW)；n为轴的转速为轴的转速(转转/分分)；Me为轴上的外力偶矩为轴上的外力偶矩。扭转

98、圆轴横截面上的内力扭矩仍可以通过截面法来分析，一般用右手螺旋法则规定扭矩的扭转圆轴横截面上的内力扭矩仍可以通过截面法来分析，一般用右手螺旋法则规定扭矩的正负号，即按右手螺旋法则将扭矩正负号，即按右手螺旋法则将扭矩T用矢量表示，若矢量用矢量表示，若矢量T的指向离开截面，则该扭矩为正，的指向离开截面，则该扭矩为正，反之为负。反之为负。T的单位与力偶矩相同，为的单位与力偶矩相同，为或或。反映圆轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。扭矩图的绘制与反映圆轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。扭矩图的绘制与轴力图相似，可由截面法求得。轴力图相似，可由截面法求得。四、四、 剪

99、应力互等定理和剪切虎克定律剪应力互等定理和剪切虎克定律 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.54杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转1.剪应力互等定理剪应力互等定理取受纯剪取受纯剪(四周只有剪应力无正应力四周只有剪应力无正应力)的微平面单元体，分别由力的和力偶的平衡条件很容的微平面单元体，分别由力的和力偶的平衡条件很容易得到剪应力互等定律：两个互相垂直平面上的剪应力大小相等，其方向共同指向易得到剪应力互等定律：两个互相垂直平面上的剪应力大小相等，其方向共同指向(或背离或背离)两两个平面的交线，如图个平面的交线，如图4.32(d)所示。所示。2.剪切虎克定律剪切虎克定律试验发现，材料在线弹性范围内，剪

100、应力试验发现，材料在线弹性范围内，剪应力和剪应变和剪应变成正比：成正比：(4-26)式式(4-26)称为材料的剪切虎克定律，其中称为材料的剪切虎克定律，其中G为比例系数，也称为材料的剪切弹性模量，单为比例系数，也称为材料的剪切弹性模量，单位与弹性模量相同，为位与弹性模量相同，为Pa、MPa和和GPa，其数值由试验测得。，其数值由试验测得。为剪切变形中直角的改变量，如图为剪切变形中直角的改变量，如图4.32(d)所示。所示。根据理论研究和试验证实，对于各向同性材料，在弹性变形范围内，剪切弹性模量根据理论研究和试验证实，对于各向同性材料，在弹性变形范围内，剪切弹性模量G、弹、弹性模量性模量E和泊松

101、比和泊松比之间有下列关系：之间有下列关系：(4-27) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.55杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转五、五、 圆轴扭转的应力和强度条件圆轴扭转的应力和强度条件1.横截面上的应力横截面上的应力受扭实心圆轴横截面上的应力分布要从三个方面考虑：几何方面、物理方面和静受扭实心圆轴横截面上的应力分布要从三个方面考虑：几何方面、物理方面和静力学方面。力学方面。图图4.32圆轴扭转的应力圆轴扭转的应力几何方面：假设实心圆轴在扭转过程中，横截面刚性转动，几何方面：假设实心圆轴在扭转过程中，横截面刚性转动，保持平面。保持平面。在图在图4.32(b)中，取微段杆长中，取微段杆长dx，杆两

102、端横截面上的扭矩为，杆两端横截面上的扭矩为T，两横截面的相对转角为，两横截面的相对转角为d，杆外表面上任意一点的剪应变为，杆外表面上任意一点的剪应变为，杆的半径为，杆的半径为R，由几何关系有：，由几何关系有：得得 (4-28)若横截面上半径为若横截面上半径为处剪应变为处剪应变为，则有，则有(4-29) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.56杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转式中，为单位长度的扭转角，给定截面上为常量，由此可知，在同一半径式中，为单位长度的扭转角，给定截面上为常量，由此可知，在同一半径的圆周上各的圆周上各点的剪应变相等，大小与点的剪应变相等，大小与成正比。成正比。物理方面：由剪切虎

103、克定律可知，在线弹性范围内，剪应力与剪应变成正比。即式物理方面：由剪切虎克定律可知，在线弹性范围内，剪应力与剪应变成正比。即式(4-26)：故可得故可得(4-30)受扭圆轴横截面上剪应力与剪应变的分布规律相同。同一半径受扭圆轴横截面上剪应力与剪应变的分布规律相同。同一半径的圆周上各点的剪应力的圆周上各点的剪应力大小均相等，其值与大小均相等，其值与成正比，方向与圆周周边相切。成正比，方向与圆周周边相切。静力学方面：横截面上的内力元素静力学方面：横截面上的内力元素dA的合力为零，组成一个力偶即扭矩的合力为零，组成一个力偶即扭矩T。由平衡条件可得由平衡条件可得(4-31)整理可得整理可得(4-32)

104、 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.57杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转综合以上三方面，得等直圆杆扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式综合以上三方面，得等直圆杆扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式(4-33)(4-34)当当等于半径时，即为圆杆实心圆轴为外表面的剪应力，也是该截面上最大的剪应力等于半径时，即为圆杆实心圆轴为外表面的剪应力，也是该截面上最大的剪应力max。(4-35)式中，式中，Wp圆轴横截面抗扭截面模量，等于圆轴横截面抗扭截面模量，等于IP/R，实心圆轴为，实心圆轴为、空心圆轴、空心圆轴为为，单位，单位m3。【例例4.14】横截面积相等的两根圆轴，其一为实心圆截面，另一根为

105、空心圆截面。两轴横截面积相等的两根圆轴，其一为实心圆截面，另一根为空心圆截面。两轴的材料，长度以及所受的外扭矩均相等。已知实心圆轴的直径的材料，长度以及所受的外扭矩均相等。已知实心圆轴的直径D1=100mm，空心圆轴的外径，空心圆轴的外径D2=120mm，外扭矩为，外扭矩为20KNm，求：，求：(1)实心轴横截面上的最大剪应力，实心轴横截面上的最大剪应力，(2)空心圆轴横截空心圆轴横截面上的最大剪应力。面上的最大剪应力。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.58杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转解解：(1)计算扭矩。由于空心圆轴与实心圆轴所受的外扭矩相等，故两轴横截面上的扭计算扭矩。由于空心圆轴与

106、实心圆轴所受的外扭矩相等，故两轴横截面上的扭矩相等矩相等。(2)计算两轴横截面的极惯性矩和抗扭截面模量。计算两轴横截面的极惯性矩和抗扭截面模量。对于实心轴：对于实心轴：因为空心轴的截面和实心轴的面积相等，故空心轴内径可由因为空心轴的截面和实心轴的面积相等，故空心轴内径可由求得为求得为空心圆轴的内外径比为：空心圆轴的内外径比为： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.59杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转所以空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面模量分别为：所以空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面模量分别为：(3)计算剪应力。计算剪应力。实心轴圆截面上的最大剪应力为：实心轴圆截面上的最大剪应力为：空心圆轴横截面上的最大

107、剪应力和最小剪应力分别为：空心圆轴横截面上的最大剪应力和最小剪应力分别为： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.60杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转从中我们可以看到，空心圆轴的最小剪应力为从中我们可以看到，空心圆轴的最小剪应力为35.8MPa，大于实心圆轴的最小剪应力；，大于实心圆轴的最小剪应力；而其最大剪应力为而其最大剪应力为64.9MPa，反而小于实心圆轴的最大剪应力。由此可得，空心圆轴的材，反而小于实心圆轴的最大剪应力。由此可得，空心圆轴的材料利用率要比实心圆轴要高。因此，在实际工程中，为了充分利用截面中心区域附近的材料利用率要比实心圆轴要高。因此，在实际工程中，为了充分利用截面中心区域附

108、近的材料，可以将这部分材料移到距截面中心较远处，即将实心轴改为空心轴，这样在不增加材料，可以将这部分材料移到距截面中心较远处，即将实心轴改为空心轴，这样在不增加材料用量的条件下，使截面的剪应力趋于均匀，并因此增大了截面的抗扭截面模量，提高了料用量的条件下，使截面的剪应力趋于均匀，并因此增大了截面的抗扭截面模量，提高了轴的抗扭截面承载能力。轴的抗扭截面承载能力。2.圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度计算圆轴扭转强度计算时，为确保安全，材料的强度要有一定的储备。一般把极限剪应力圆轴扭转强度计算时，为确保安全，材料的强度要有一定的储备。一般把极限剪应力0除以大于除以大于1的安全系数，所得结果称为许用剪

109、应力，用的安全系数，所得结果称为许用剪应力，用表示，即表示，即(4-36)圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切状态，其强度条件为：杆内最大工作剪应力不超圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切状态，其强度条件为：杆内最大工作剪应力不超过许用剪应力，即过许用剪应力，即(4-37)(4-38) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.61杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转与拉压杆的强度问题相似，应用圆轴扭转的强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，与拉压杆的强度问题相似，应用圆轴扭转的强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定容许荷载。即进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及

110、确定容许荷载。六、六、 圆轴扭转的变形和刚度条件圆轴扭转的变形和刚度条件由式由式(4-33)，有，有对上式积分可得两个距离为的横截面的相对扭转角，即计算圆杆扭转变形的公式：对上式积分可得两个距离为的横截面的相对扭转角，即计算圆杆扭转变形的公式：(4-39)式中，式中，GIP为抗扭刚度，为抗扭刚度，GIP越大，在同样扭矩下，杆的变形越小。对于同种材料，同越大，在同样扭矩下，杆的变形越小。对于同种材料，同种截面，并承担同样扭矩的杆，长度越大，变形越大，所以工程上通常用单位长度的扭转种截面，并承担同样扭矩的杆，长度越大，变形越大，所以工程上通常用单位长度的扭转角角衡量杆件的变形程度，即衡量杆件的变形

111、程度，即(4-40) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.62杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转等直圆杆扭转时，除了要满足强度条件外，还需满足刚度要求。例如机床的传动轴，等直圆杆扭转时，除了要满足强度条件外，还需满足刚度要求。例如机床的传动轴，如果刚度太小，变形过大，会影响加工精度。等直圆杆扭转的刚度条件为：如果刚度太小，变形过大，会影响加工精度。等直圆杆扭转的刚度条件为：将式将式(4-40)代入上式得：代入上式得：(4-41)(4-42)式中，式中，Tmax、G、IP的单位分别为，的单位分别为，Pa和和m4，的单位为的单位为/m即度即度/米。米。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.63梁的弯曲应

112、力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算一般情况下，建筑工程中的梁，既承受弯矩，又承受剪力，通过研究可知，弯矩在一般情况下，建筑工程中的梁，既承受弯矩，又承受剪力，通过研究可知，弯矩在横截面上引起正应力，剪力在横截面上引起剪应力。在计算梁的强度时，两方面都要考虑。横截面上引起正应力，剪力在横截面上引起剪应力。在计算梁的强度时，两方面都要考虑。一、纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲梁横截面上的正应力图图4.33(a)为一个产生平面弯曲的矩形截面梁，平面弯曲指横截面至少具有一个对称为一个产生平面弯曲的矩形截面梁，平面弯曲指横截面至少具有一个对称轴且外力作用在此对称平面内时梁的弯曲。平面弯曲时，梁的变形曲

113、线也位于此对称平面轴且外力作用在此对称平面内时梁的弯曲。平面弯曲时，梁的变形曲线也位于此对称平面内。图内。图4.33(b)，图，图4.33(c)分别为梁的剪力图和弯矩图。从梁的内力图可知，在梁的分别为梁的剪力图和弯矩图。从梁的内力图可知，在梁的CD段，段，只有弯矩，没有剪力，并且弯矩为常量，称该段梁的弯曲为纯弯曲。只有弯矩，没有剪力，并且弯矩为常量，称该段梁的弯曲为纯弯曲。推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式也分别从几何、物理及静力学三个方面来考推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式也分别从几何、物理及静力学三个方面来考察。察。图图4.33纯弯曲梁纯弯曲梁1.几何变形方面几何变形方面根据梁变形所观察

114、到的现象根据梁变形所观察到的现象(如图如图4.34所示所示)，我们，我们可以做出如下假设：可以做出如下假设： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.64梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.34梁的平面弯曲梁的平面弯曲(1)平面假设：发生纯弯曲的梁，变形之前为平面的平面假设：发生纯弯曲的梁，变形之前为平面的横截面，变形后仍为平面，并且仍垂直于弯曲后的梁轴横截面，变形后仍为平面，并且仍垂直于弯曲后的梁轴线。线。(2)单向受力假设：将梁看成由无数纵向纤维组成，单向受力假设：将梁看成由无数纵向纤维组成，各纤维只产生轴向拉伸或压缩变形，而相互之间没有挤各纤维只产生轴向拉伸或压缩变形，而相互之

115、间没有挤压。压。梁在变形后，凸边纤维伸长，凹边纤维缩短，它们梁在变形后，凸边纤维伸长，凹边纤维缩短，它们之间必然有一层纵向纤维的长度不变，称之为中性层，之间必然有一层纵向纤维的长度不变，称之为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴(如图如图4.34(c)所示所示)。如图如图4.35所示，从梁中取一段长度为所示，从梁中取一段长度为dx的微段作为的微段作为研究对象，其两端截面相对转动后的夹角研究对象，其两端截面相对转动后的夹角d，以，以表示中表示中性层的曲率半径性层的曲率半径(为常数为常数)，y、z分别为横截面的纵向对分别为横截面的纵向对称轴和中性轴。称轴和中性轴。

116、第4章 杆件的应力、强度和刚度3.65梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.35dx段梁的弯曲变形段梁的弯曲变形距中性轴距中性轴y处的纵向纤维处的纵向纤维a1a2的原长为，变形后的长度，的原长为，变形后的长度，所以纤维的伸长量为，相应的纵向线应变为：所以纤维的伸长量为，相应的纵向线应变为：(4-43)上式表明：各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离上式表明：各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离成正比。距中性层最远的上、下边缘处的线应变最大，而成正比。距中性层最远的上、下边缘处的线应变最大，而中性层上线应变为零。中性层上线应变为零。2.物理方面物理方面假设梁在纯弯曲时纵向纤维之间无挤

117、压作用，梁内各假设梁在纯弯曲时纵向纤维之间无挤压作用，梁内各点处于单向受力状态，材料在线弹性范围内。则点处于单向受力状态，材料在线弹性范围内。则上式表达了横截面上各点正应力的变化规律。对于指定的截面，上式表达了横截面上各点正应力的变化规律。对于指定的截面，E、为常数，所以横截面为常数，所以横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，且距中性轴距离相同各点的正应力均相同，上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，且距中性轴距离相同各点的正应力均相同，如图如图4.36所示。所示。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.66梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.36横截面上的弯

118、曲正应力横截面上的弯曲正应力3.静力学方面静力学方面纯弯曲的梁，在横截面上只有弯矩。由平衡条件：纯弯曲的梁，在横截面上只有弯矩。由平衡条件：即即式中式中Sz为截面对中性轴的静矩。为截面对中性轴的静矩。由于由于不可能等于零，故不可能等于零，故Sz必等于零，由必等于零，由4.1.1知：图形知：图形对某轴的静矩等于零时，该轴必定通过截面的形心，因此，梁对某轴的静矩等于零时，该轴必定通过截面的形心，因此，梁弯曲时，中性轴一定通过截面的形心。弯曲时，中性轴一定通过截面的形心。又由，又由，有有式中，式中，1/表示中性层的曲率。反映梁产生弯曲变形的程度；表示中性层的曲率。反映梁产生弯曲变形的程度；EIz表示

119、梁抵抗弯曲变形表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。由式的能力，称为抗弯刚度。由式(4-44)可知，在指定截面上可知，在指定截面上M为一定值时，梁的抗弯刚度越大，为一定值时，梁的抗弯刚度越大，曲率越小，梁的弯曲变形也越小。曲率越小，梁的弯曲变形也越小。(4-44) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.67梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算将将代入，得代入，得(4-45)式式(4-45)是计算梁在纯弯曲时横截面上任意一点的正应力公式。是计算梁在纯弯曲时横截面上任意一点的正应力公式。式中，式中，M横截面上的弯矩；横截面上的弯矩；y所求点到中性轴的距离；所求点到中性轴的距离；Iz整个截面对

120、中性轴的惯性矩。整个截面对中性轴的惯性矩。正应力正应力的正负号可根据变形判断，以中性轴为界，变形后凸边的纤维受拉，应力为正的正负号可根据变形判断，以中性轴为界，变形后凸边的纤维受拉，应力为正(拉拉应力应力)，凹边的纤维受压，应力为负，凹边的纤维受压，应力为负(压应力压应力)。对一个给定的横截面，弯矩对一个给定的横截面，弯矩M、截面惯性矩为常量，所以、截面惯性矩为常量，所以y越大，应力越大，中性轴处的应越大，应力越大，中性轴处的应力为零，横截面上、下边缘的应力最大，其值为：力为零，横截面上、下边缘的应力最大，其值为：由于由于所以所以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.68梁的弯曲应力及强度计算梁

121、的弯曲应力及强度计算式中，式中，Wz横截面对中性轴的抗弯截面模量。横截面对中性轴的抗弯截面模量。由以上分析可知，如果横截面有两个对称轴，则与弯矩作用平面垂直的对称轴为中性由以上分析可知，如果横截面有两个对称轴，则与弯矩作用平面垂直的对称轴为中性轴，截面上最大拉应力和最大压应力相等。如果只有一个对称轴，例如轴，截面上最大拉应力和最大压应力相等。如果只有一个对称轴，例如T形截面，中性轴形截面，中性轴为与弯矩作用平面垂直的形心轴，此时应分别计算最大拉应力和最大压应力。为与弯矩作用平面垂直的形心轴，此时应分别计算最大拉应力和最大压应力。二、二、 横力弯曲梁横截面上的正应力横力弯曲梁横截面上的正应力式式

122、(4-45)和式和式(4-46)是在梁纯弯曲的条件下得出的，但在一般条件下，梁的内力不但是在梁纯弯曲的条件下得出的，但在一般条件下，梁的内力不但有弯矩，而且还有剪力存在，相应梁横截面上会有正应力及剪应力，此时梁的弯曲就不是有弯矩，而且还有剪力存在，相应梁横截面上会有正应力及剪应力，此时梁的弯曲就不是纯弯曲而称为横力弯曲。由于有剪应力，横力弯曲变形时梁横截面不再是平面，而发生翘纯弯曲而称为横力弯曲。由于有剪应力，横力弯曲变形时梁横截面不再是平面，而发生翘曲；梁的纵向纤维间也存在挤压应力。严格地讲，梁在纯弯曲时的平面假设在横力弯曲时曲；梁的纵向纤维间也存在挤压应力。严格地讲，梁在纯弯曲时的平面假设

123、在横力弯曲时也不再成立。但在实际工程中，对于跨高比也不再成立。但在实际工程中，对于跨高比h/l大于大于5的细长梁，横截面上的最大正应力可的细长梁，横截面上的最大正应力可按纯弯曲时的公式计算，精度完全可以满足工程需要。按纯弯曲时的公式计算，精度完全可以满足工程需要。【例例4.15】已知如图已知如图4.37所示简支梁的跨度所示简支梁的跨度l=5m，其横截面为矩形，截面宽度为，其横截面为矩形，截面宽度为b=150mm，高度，高度h=200mm，受均布荷载，受均布荷载q=2KN/m作用。试求作用。试求(1)距左端距左端1m的的C截面上截面上a、b、c三点的正应力；三点的正应力；(2)梁的最大正应力值，

124、并说明最大正应力发生在何部位。梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何部位。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.69梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.37简支梁简支梁解：解：(1)计算距左端计算距左端1m的的C截面上截面上a、b、c三点的三点的正应力。正应力。由由及及，可得支座反力，可得支座反力，再计算，再计算C截面上的弯矩：截面上的弯矩：截面截面C上上a、b、c三点的正应力三点的正应力 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.70梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算(2)求梁的最大正应力值，及最大正应力值发生的位置。该梁为等截面梁，在全梁范围内惯求梁的最大正应力值，及最

125、大正应力值发生的位置。该梁为等截面梁，在全梁范围内惯性矩为一常数，任意截面的上下边缘至截面中性轴的距离均相等。所以最大正应力发生在最大性矩为一常数，任意截面的上下边缘至截面中性轴的距离均相等。所以最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘处。弯矩截面的上下边缘处。则最大正应力为则最大正应力为由于最大弯矩为正值，所以该梁在跨中截面的上边缘处产生了最大压应力，下边缘处产生由于最大弯矩为正值，所以该梁在跨中截面的上边缘处产生了最大压应力，下边缘处产生了最大拉应力，拉、压最大应力绝对值相等。了最大拉应力，拉、压最大应力绝对值相等。三、梁的弯曲剪应力三、梁的弯曲剪应力当梁横力弯曲时，梁横截面上的内力有弯矩、

126、剪力，相应地有正应力、剪应力。当梁横力弯曲时，梁横截面上的内力有弯矩、剪力，相应地有正应力、剪应力。1.矩形截面梁矩形截面梁为了简化计算，对矩形截面梁横截面上的剪应力计算作了两点基本假设：为了简化计算，对矩形截面梁横截面上的剪应力计算作了两点基本假设：(1)截面上各点剪应力的方向均与两侧边平行；截面上各点剪应力的方向均与两侧边平行；(2)横截面上距中性轴距离相等的点剪应力大小相等。横截面上距中性轴距离相等的点剪应力大小相等。依据上述两点假设，经过理论推导依据上述两点假设，经过理论推导(推导过程略推导过程略)，得出计算剪应力的公式：，得出计算剪应力的公式： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.71

127、梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算(4-47)式中，式中，FQ需求剪应力处横截面上的剪力；需求剪应力处横截面上的剪力；IZ横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；横截面上需求剪应力处平行于中性轴的线以上横截面上需求剪应力处平行于中性轴的线以上(或以下或以下)部分的面积对中性轴部分的面积对中性轴的静矩；的静矩；b横截面的宽度。横截面的宽度。剪应力沿横截面高度按二次抛物线规律分布。横截面上、下距中性轴最远处点的剪应剪应力沿横截面高度按二次抛物线规律分布。横截面上、下距中性轴最远处点的剪应力为零，中性轴上的剪应力最大，其值为力为零，中性轴上的剪应力最大，其值为对于矩形截面，将矩形截

128、面的几何参数对于矩形截面，将矩形截面的几何参数代入上式得：代入上式得：(4-48a)(4-48b) 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.72梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算2.工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。中间矩形部分称为腹板，其高度远大于宽度，上、下工字形截面梁由腹板和翼缘组成。中间矩形部分称为腹板，其高度远大于宽度，上、下两矩形称为翼缘，其高度远小于宽度。两矩形称为翼缘，其高度远小于宽度。腹板是一个狭长矩形，类似于上述研究的矩形截面，腹板上任意一点的剪应力计算公式也腹板是一个狭长矩形，类似于上述研究的矩形截面，腹板上任意一点的剪应力计算公式也类似于矩形截面

129、。剪应力与剪力平行。计算公式为类似于矩形截面。剪应力与剪力平行。计算公式为(4-49a)式中，式中，横截面上需求剪应力处平行于中性轴的线以上横截面上需求剪应力处平行于中性轴的线以上(或以下或以下)部分的面积部分的面积(包括包括翼缘的面积翼缘的面积)对中性轴的静矩；对中性轴的静矩；B1腹板的宽度。腹板的宽度。腹板的剪应力沿腹板高度也按二次抛物线规律分布，在中性轴上剪应力取最大值，大小腹板的剪应力沿腹板高度也按二次抛物线规律分布，在中性轴上剪应力取最大值，大小为：为：(4-49b)式中，式中，整个截面在中性轴以上整个截面在中性轴以上(或以下或以下)部分的面积对中性轴的静矩。部分的面积对中性轴的静矩

130、。在具体计算时，工字形钢的在具体计算时，工字形钢的可直接查型钢表，不必计算。可直接查型钢表，不必计算。矩形、工字形、圆形截面梁中性轴上最大剪应力分布如图矩形、工字形、圆形截面梁中性轴上最大剪应力分布如图4.38所示。所示。 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.73梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.38梁横力弯曲时最大剪应力梁横力弯曲时最大剪应力经计算表明：工字形截面上经计算表明：工字形截面上95%以上的剪力由腹板承担；翼缘则主要承担弯矩。以上的剪力由腹板承担；翼缘则主要承担弯矩。【例例4.16】工字形截面简支梁，承受均布荷载的作用，均布荷载大小为工字形截面简支梁，承受均布荷载的

131、作用，均布荷载大小为，简支梁，简支梁的跨度为的跨度为5m，梁横截面的尺寸如图，梁横截面的尺寸如图4.39所示，单位为所示，单位为mm，试计算工字形截面梁危险截面上的最，试计算工字形截面梁危险截面上的最大剪应力和腹板与翼缘相交处的剪应力。大剪应力和腹板与翼缘相交处的剪应力。解：解：(1)先计算梁的剪力，并做出剪力图，如图先计算梁的剪力，并做出剪力图，如图4.39(c)所示。梁的最大剪力为所示。梁的最大剪力为。(2)计算梁截面的惯性矩、中性轴以上面积对中性轴的静矩以及腹板上边缘以上计算梁截面的惯性矩、中性轴以上面积对中性轴的静矩以及腹板上边缘以上(翼缘面积翼缘面积)面积对中性轴的静矩。面积对中性轴

132、的静矩。梁截面的惯性矩：梁截面的惯性矩： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.74梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.39工字形截面简支梁工字形截面简支梁中性轴以上面积对中性轴的静矩：中性轴以上面积对中性轴的静矩：上翼缘对中性轴的静矩：上翼缘对中性轴的静矩：(3)中性轴处的剪应力中性轴处的剪应力(最大剪应力最大剪应力)：腹板顶部的剪应力：腹板顶部的剪应力： 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.75梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算可以看出，工字形截面梁的腹板顶部的剪应力不但不为零，反而相当大，要注意与矩可以看出，工字形截面梁的腹板顶部的剪应力不但不为零，反而相当大，要注意

133、与矩形截面梁的区别。形截面梁的区别。四、梁的弯曲强度计算四、梁的弯曲强度计算1.正应力强度条件正应力强度条件为了保证梁的正常工作，满足强度要求，必须使梁在荷载作用下产生的最大正应力不超为了保证梁的正常工作，满足强度要求，必须使梁在荷载作用下产生的最大正应力不超过材料的弯曲容许正应力过材料的弯曲容许正应力，即，即(4-50a)(4-50b)值得注意的是，对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料值得注意的是，对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料(如低碳钢如低碳钢)，由于，由于，可以直接应用式可以直接应用式(4-50a)、式、式(4.50b)；对于抗拉和抗压能力不同的材料；对于抗拉和抗压能力不同的材料(如铸铁如

134、铸铁)，由于，由于，其正应力强度条件为：，其正应力强度条件为：(4-50c)3.76 第3章 静定结构内力计算梁的正应力强度条件可解决有关强度方面的三类问题：正应力强度校核、横截面梁的正应力强度条件可解决有关强度方面的三类问题：正应力强度校核、横截面设计、确定容许荷载。设计、确定容许荷载。2.剪应力强度条件剪应力强度条件剪应力强度条件是：剪应力强度条件是：梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算(4-51)剪应力强度条件在工程中同样需要解决三类问题，即剪应力强度验算，截面设计和剪应力强度条件在工程中同样需要解决三类问题，即剪应力强度验算，截面设计和计算容许荷载。一般情况下，正应力对梁的强度

135、起决定作用，在实际工程中，先按正应计算容许荷载。一般情况下，正应力对梁的强度起决定作用，在实际工程中，先按正应力强度条件做各种设计计算，然后用剪应力强度条件做校核。对于跨高比比较大的细长力强度条件做各种设计计算，然后用剪应力强度条件做校核。对于跨高比比较大的细长梁，满足正应力强度条件时，剪应力强度条件一般都能满足，可不进行剪应力强度计算。梁，满足正应力强度条件时，剪应力强度条件一般都能满足，可不进行剪应力强度计算。但在下列情况下必须进行剪应力强度校核：但在下列情况下必须进行剪应力强度校核：(1)对跨高比很小的深梁或梁的剪应力很大对跨高比很小的深梁或梁的剪应力很大(荷载大，或支座附近有较大的集中

136、荷载荷载大，或支座附近有较大的集中荷载)等情况必须进行剪应力强度校核；等情况必须进行剪应力强度校核；(2)组合截面梁，如工字形截面梁，腹板的厚度小，其上的剪应力很大，对这类梁应组合截面梁，如工字形截面梁，腹板的厚度小，其上的剪应力很大，对这类梁应进行剪应力强度校核。进行剪应力强度校核。【例例4.17】已知如图已知如图4.40所示的简支梁用木材制成，横截面为矩形，其宽度为所示的简支梁用木材制成，横截面为矩形，其宽度为b=150mm，高度为，高度为h=210mm，梁的跨度为，梁的跨度为l=4m，荷载，荷载，材料的弯，材料的弯曲容许应力曲容许应力，试校核梁的正应力强度。，试校核梁的正应力强度。解解:

137、此问题属于正应力强度条件在工程中的第一类应用此问题属于正应力强度条件在工程中的第一类应用强度校核。强度校核。3.77 第3章 静定结构内力计算(1)求在荷载作用下的最大弯矩。先计算支座反力，由对称性可知，求在荷载作用下的最大弯矩。先计算支座反力，由对称性可知，再作梁的弯矩图，如图再作梁的弯矩图，如图4.40(b)所示。所示。(2)计算截面的几何参数。抗弯截面模量：计算截面的几何参数。抗弯截面模量：(3)校核梁的正应力强度。校核梁的正应力强度。图图4.40简支梁正应力强度校核简支梁正应力强度校核梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算该梁满足正应力强度条件。该梁满足正应力强度条件。3.78

138、第3章 静定结构内力计算【例例4.18】如图如图4.41所示圆形截面简支梁承受满跨均布荷载作用，跨度所示圆形截面简支梁承受满跨均布荷载作用，跨度l=4m，截面，截面直径直径150，许用弯曲应力，许用弯曲应力，试按正应力强度计算梁上容许的均布荷载值。，试按正应力强度计算梁上容许的均布荷载值。图图4.41确定容许荷载确定容许荷载解解:本题属于正应力强度条件在工程中的第三类应用本题属于正应力强度条件在工程中的第三类应用确定容许荷载。确定容许荷载。(1)求梁满足强度条件时，所能承受的最大弯矩。圆形求梁满足强度条件时，所能承受的最大弯矩。圆形截面的抗弯截面模量为：截面的抗弯截面模量为：根据强度条件根据强

139、度条件得得梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算(2)根据梁上的实际荷载确定最大弯矩与荷载之间的关系。此梁的最大弯矩为根据梁上的实际荷载确定最大弯矩与荷载之间的关系。此梁的最大弯矩为(3)确定梁所能承受的容许荷载值。梁在实际荷载作用下产生的最大弯矩不能超过满足强确定梁所能承受的容许荷载值。梁在实际荷载作用下产生的最大弯矩不能超过满足强度条件时所能承受的最大弯矩。即度条件时所能承受的最大弯矩。即梁所能承受的容许荷载值可以取为。梁所能承受的容许荷载值可以取为。3.79 第3章 静定结构内力计算【例例4.19】如图如图4.42所示的矩形截面悬臂梁，已知所示的矩形截面悬臂梁，已知，弯曲容许应力，

140、弯曲容许应力，弯曲容许剪应力，弯曲容许剪应力，截面的宽度与高度之比，截面的宽度与高度之比，试选择梁的截面尺寸。，试选择梁的截面尺寸。本题属于强度条件在工程中的第二类应用本题属于强度条件在工程中的第二类应用设计截面。设计截面。解解:设计时应按正应力强度计算截面，然后进行剪应力强度校核。设计时应按正应力强度计算截面，然后进行剪应力强度校核。(1)按正应力强度计算截面尺寸按正应力强度计算截面尺寸b和和h，做出弯矩图。从图，做出弯矩图。从图4.42(c)中可知中可知由由梁的正应力强度条梁的正应力强度条得得梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算矩形截面的抗弯截面模量矩形截面的抗弯截面模量因此因此考

141、虑到施工方便，取考虑到施工方便，取b=130mm，h=200mm。3.80 第3章 静定结构内力计算图图4.42设计矩形截面梁设计矩形截面梁梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算(2)按剪应力强度条件对截面进行校核。作梁的剪力图如按剪应力强度条件对截面进行校核。作梁的剪力图如图图4.42(b)所示。从图中可知：所示。从图中可知：截面尺寸满足剪应力要求，所以截面尺寸选为截面尺寸满足剪应力要求，所以截面尺寸选为b=130mm，h=200mm。五、提高梁抗弯、抗剪能力的措施五、提高梁抗弯、抗剪能力的措施工程中按强度要求设计梁时，主要以梁的正应力强度条工程中按强度要求设计梁时，主要以梁的正应力强

142、度条件为依据，尽量做到梁在安全使用条件下能充分发挥材料的件为依据，尽量做到梁在安全使用条件下能充分发挥材料的潜力，节约材料，达到既安全可靠又经济实惠的目的。潜力，节约材料，达到既安全可靠又经济实惠的目的。1.降低梁的最大弯矩降低梁的最大弯矩(1)合理设置支座的位置和形式，加强约束，减小跨度。不同的支座会使长度和荷载都合理设置支座的位置和形式，加强约束，减小跨度。不同的支座会使长度和荷载都相同的梁产生不同的弯矩，例如图相同的梁产生不同的弯矩，例如图4.43所示，同样的跨度和荷载，简支梁的最大弯矩为所示，同样的跨度和荷载，简支梁的最大弯矩为，而两端固定梁的最大弯矩为而两端固定梁的最大弯矩为，仅为简

143、支梁的最大弯矩的，仅为简支梁的最大弯矩的1/3；又如图；又如图4.43(c)所示的梁的所示的梁的最大弯矩为最大弯矩为(是简支梁的最大弯矩的是简支梁的最大弯矩的4倍倍)，图，图4.43(d)所示的两端伸臂梁最大弯矩为所示的两端伸臂梁最大弯矩为，仅为简支梁的仅为简支梁的1/5。所以，我们可以在实际情况允许的前提下，合理安排支座，改变梁的类型，。所以，我们可以在实际情况允许的前提下，合理安排支座，改变梁的类型，从而提高梁的抗弯强度。从而提高梁的抗弯强度。3.81 第3章 静定结构内力计算图图4.43不同支承类型梁的最大弯矩不同支承类型梁的最大弯矩梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算3.82

144、第3章 静定结构内力计算(2)合合理理布布置置梁梁上上荷荷载载，使使荷荷载载尽尽量量分分散散，梁梁上上荷荷载载的的总总数数值值不不变变时时，只只要要荷荷载载作作用用位位置置和和方方式式改改变变，也也会会使使梁梁产产生生不不同同的的最最大大弯弯矩矩值值。如如图图4.44所所示示，一一个个是是跨跨中中作作用用一一个个集集中中力力FP，另另一一个个作作用用着着离离支支座座处处的的两两个个集集中中力力FP/2，两两者者荷荷载载总总值值相相等等，作作用用形形式式不不同同，引引起起的的最最大大弯弯矩矩一一个个为为，一一个个为为，可可见见，在在条条件件允允许许时时，工工程程中中要要尽尽量量使使荷荷载载分分散

145、散，可可以降低梁的最大弯矩。以降低梁的最大弯矩。梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.44集中与分散荷载的弯矩集中与分散荷载的弯矩3.83 第3章 静定结构内力计算(3)在建筑工程中，考虑选用轻质高强的材料可以减轻梁的自重，以降低梁的最大弯矩。在建筑工程中，考虑选用轻质高强的材料可以减轻梁的自重，以降低梁的最大弯矩。例如承担同样外荷载的梁，钢结构和混凝土结构相比，钢结构的自重较轻，可以承担较多的例如承担同样外荷载的梁，钢结构和混凝土结构相比，钢结构的自重较轻，可以承担较多的外荷载。外荷载。2.合理选择截面形式合理选择截面形式(1)合理选择截面形式。由梁的抗弯截面模量的定义可以推得

146、：矩形截面梁，抗弯截面合理选择截面形式。由梁的抗弯截面模量的定义可以推得：矩形截面梁，抗弯截面模量与截面高度的平方成正比，与截面宽度的一次方成正比，所以合理的截面形状应当是在模量与截面高度的平方成正比，与截面宽度的一次方成正比，所以合理的截面形状应当是在截面面积截面面积A相等的情况下，相等的情况下，WZ最大。最大。通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面的理论计算发现，在截面面积相等的情况下，通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面的理论计算发现，在截面面积相等的情况下，WZ从大到小依次是工字形、矩形从大到小依次是工字形、矩形(立放立放)、正方形和圆形。如果矩形平放，那么其、正方形和圆形。如果矩形平放

147、，那么其WZ将不但将不但小于立放，也小于截面相同的正方形。箱形截面也是土木工程中常用的梁截面形式，上下端小于立放，也小于截面相同的正方形。箱形截面也是土木工程中常用的梁截面形式，上下端的顶、底板面积较大，距中性轴较远，截面的抗弯截面模量较大，所以抗弯能力较强。的顶、底板面积较大，距中性轴较远，截面的抗弯截面模量较大，所以抗弯能力较强。梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算图图4.45不同的梁截面形式不同的梁截面形式3.84 第3章 静定结构内力计算其次，梁的抗弯强度不足时，增加截面高度比增加截面宽度更有效。其次，梁的抗弯强度不足时，增加截面高度比增加截面宽度更有效。再次，对具有相同截面面

148、积的实心及空心截面进行理论分析发现，不论截面的几何形状再次，对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现，不论截面的几何形状如何，空心截面的抗弯截面模量如何，空心截面的抗弯截面模量WZ总比实心截面的大。总比实心截面的大。综上所述，我们发现，从强度的观点出发，在选择截面形状时，应选择材料远离中综上所述，我们发现，从强度的观点出发，在选择截面形状时，应选择材料远离中性轴的截面，如工字形截面、空心截面等。在实际工程中，选择梁截面时，要综合考虑性轴的截面，如工字形截面、空心截面等。在实际工程中，选择梁截面时，要综合考虑强度条件、刚度条件、稳定性、施工条件等，例如混凝土结构中小跨度的梁一般采用矩强

149、度条件、刚度条件、稳定性、施工条件等，例如混凝土结构中小跨度的梁一般采用矩形截面，因为要考虑施工的难易程度，只有在大跨度的桥梁中才普遍采用工字形截面、形截面，因为要考虑施工的难易程度，只有在大跨度的桥梁中才普遍采用工字形截面、空心截面空心截面(箱梁箱梁)。在钢结构中一般很少采用实心截面，而大量采用工字形截面、箱形截。在钢结构中一般很少采用实心截面，而大量采用工字形截面、箱形截面。面。(2)根据材料的性质合理选择截面。从正应力强度条件可知，对于抗拉和抗压强度根据材料的性质合理选择截面。从正应力强度条件可知，对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，其强度条件为相等的塑性材料，其强度条件为，最大拉、压应力

150、分别发生在离截面中性轴最，最大拉、压应力分别发生在离截面中性轴最远的截面上、下缘。所以对塑性材料远的截面上、下缘。所以对塑性材料(如钢材如钢材)，最好选择上、下边缘对中性轴对称的截，最好选择上、下边缘对中性轴对称的截面，如矩形、工字形、圆形等使截面的最大拉、压应力相等，可同时达到材料各自的容面，如矩形、工字形、圆形等使截面的最大拉、压应力相等，可同时达到材料各自的容许应力。许应力。梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算3.85 第3章 静定结构内力计算对对于于抗抗拉拉、压压强强度度不不等等的的脆脆性性材材料料，最最好好选选择择不不对对称称的的截截面面，如如T形形、L形形、不不对对称称工工

151、字字形形等等，使使中中性性轴轴偏偏向向强强度度低低的的一一侧侧，从从而而充充分分利利用用材材料料，避避免免造造成成浪浪费费。最最理理想想的的截截面面是是截截面面受受拉拉、受受压压的的边边缘缘到到中中性性轴轴的的距距离离与与材材料料的的抗抗拉拉、抗抗压压容容许许应应力力成成正正比比，即即，让让截截面面上上的的最最大大拉拉、压压应应力力同同时时达达到到材材料料的的容容许许应应力力。对对于于铸铸铁铁等等脆脆性性材材料料制制成成的的梁梁，由由于于材材料料的的抗抗压压强度比抗拉强度高很多，则应设计成不对称截面，如强度比抗拉强度高很多，则应设计成不对称截面，如T形截面，应将翼缘部分置于受拉一侧。形截面，应

152、将翼缘部分置于受拉一侧。3.采用变截面梁采用变截面梁根根据据梁梁的的强强度度条条件件设设计计梁梁的的截截面面时时，是是根根据据全全梁梁范范围围内内的的最最大大弯弯矩矩来来确确定定梁梁的的截截面面尺尺寸寸的的。这这个个尺尺寸寸对对于于弯弯矩矩最最大大截截面面是是必必需需的的，但但对对梁梁上上的的其其他他截截面面就就太太大大了了。从从强强度度的的观观点点来来看看，等等截截面面梁梁并并不不是是理理想想的的梁梁，它它没没有有充充分分发发挥挥材材料料的的性性能能；如如果果沿沿着着梁梁轴轴线线做做成成截截面面变变化化的的梁梁则则比比较较合合理理。最最理理想想的的变变截截面面梁梁应应当当是是，梁梁的的每每一

153、一个个截截面面上上的的最最大大应应力力都都等等于于容容许许应应力力，这这样样的的梁梁称为等强度梁。称为等强度梁。从从强强度度的的观观点点来来看看，等等强强度度梁梁最最经经济济，最最能能发发挥挥材材料料的的潜潜能能。但但从从施施工工角角度度考考虑虑，这这种种梁梁制制造造复复杂杂。在在实实际际工工程程中中，要要综综合合考考虑虑强强度度和和施施工工因因素素，通通常常采采用用形形状状比比较较简简单单，又又便便于于加加工工制制作作的各种变截面梁，而不是等强度梁。的各种变截面梁，而不是等强度梁。梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算3.86 第3章 静定结构内力计算从强度的观点来看，等强度梁最经济，

154、最能发挥材料的潜能。但从施工角度考虑，从强度的观点来看，等强度梁最经济，最能发挥材料的潜能。但从施工角度考虑，这种梁制造复杂。在实际工程中，要综合考虑强度和施工因素，通常采用形状比较简这种梁制造复杂。在实际工程中，要综合考虑强度和施工因素，通常采用形状比较简单，又便于加工制作的各种变截面梁，而不是等强度梁。单，又便于加工制作的各种变截面梁，而不是等强度梁。当梁的抗剪强度不足时，对于矩形梁，可以增加梁的宽度和高度；对于工字形截当梁的抗剪强度不足时，对于矩形梁，可以增加梁的宽度和高度；对于工字形截面梁和箱形截面梁则应加大腹板的厚度和高度。面梁和箱形截面梁则应加大腹板的厚度和高度。梁的弯曲应力及强度

155、计算梁的弯曲应力及强度计算3.87 第3章 静定结构内力计算图图4.46组合变形组合变形杆件的组合变形杆件的组合变形 一、组合变形的概念一、组合变形的概念前面几节分别讨论了杆件在轴向拉伸前面几节分别讨论了杆件在轴向拉伸(压缩压缩)、剪切、扭转和平面弯曲等基本变形下的强度、剪切、扭转和平面弯曲等基本变形下的强度和刚度计算。然而，在实际工程中，大多数杆件的变形是复杂的，往往会产生两种或两种以上和刚度计算。然而，在实际工程中，大多数杆件的变形是复杂的，往往会产生两种或两种以上的基本变形。的基本变形。例如烟囱的变形除了自重例如烟囱的变形除了自重W作用下的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，作

156、用下的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形，如图即同时产生两种基本变形，如图4.46(a)所示。又如设有吊车的厂房的柱子，在自重作用下，由所示。又如设有吊车的厂房的柱子，在自重作用下，由于上柱轴线与下柱轴线不重合，所以下柱既产生压缩变形也产生弯曲变形，如于上柱轴线与下柱轴线不重合，所以下柱既产生压缩变形也产生弯曲变形，如图图4.46(b)所示。所示。由两种或两种以上基本变形组合成的变形，在力学上称为组合变形。由两种或两种以上基本变形组合成的变形，在力学上称为组合变形。二、斜弯曲二、斜弯曲以前我们讨论的是梁的平面弯曲。如图以前我们讨论的是梁的平面弯曲。如图4.47

157、(a)所示，横截面所示，横截面为矩形的悬臂梁，外力为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，挠曲线也在此作用在梁的对称平面内，挠曲线也在此平面内，此类弯曲称为平面弯曲，这是工程中最常见的，但还有平面内，此类弯曲称为平面弯曲，这是工程中最常见的，但还有一种弯曲其特点是外力一种弯曲其特点是外力F的作用线只通过横截面的形心，而不与的作用线只通过横截面的形心，而不与截面对称轴重合，这类弯曲梁变形后，挠曲线不在外力作用平面截面对称轴重合，这类弯曲梁变形后，挠曲线不在外力作用平面内，称为斜弯曲，如图内，称为斜弯曲，如图4.47(b)所示。斜弯曲可看成分别以所示。斜弯曲可看成分别以y、z为为中性轴的两个平

158、面弯曲的组合。中性轴的两个平面弯曲的组合。3.88 第3章 静定结构内力计算1.正应力计算正应力计算斜弯曲时，梁上一般同时存在正应力和剪应力，同横向弯斜弯曲时，梁上一般同时存在正应力和剪应力，同横向弯曲一样，剪应力很小，剪应力强度条件一般不予考虑。下面结合曲一样，剪应力很小，剪应力强度条件一般不予考虑。下面结合如图如图4.48所示的矩形截面梁讨论梁斜弯曲时正应力的计算方法。所示的矩形截面梁讨论梁斜弯曲时正应力的计算方法。杆件的组合变形杆件的组合变形图图4.47斜弯曲斜弯曲图图4.48矩形截面梁斜弯曲矩形截面梁斜弯曲3.89 第3章 静定结构内力计算计算截面计算截面abcd上上K点的正应力时，先

159、把外力点的正应力时，先把外力F沿横截面的两个对称轴分解为沿横截面的两个对称轴分解为Fy和和FZ，分别计，分别计算算Fy和和FZ单独作用下梁的弯矩单独作用下梁的弯矩MZ和和My，以及两个弯矩各自产生的正应力，最后把同一点，以及两个弯矩各自产生的正应力，最后把同一点(K点点)的正应力叠加，即可得到要求的的正应力叠加，即可得到要求的K点正应力，具体计算过程如下：点正应力，具体计算过程如下：(1)外力的分解：外力的分解：(2)内力的计算：内力的计算：杆件的组合变形杆件的组合变形距右端为距右端为l1的横截面上由的横截面上由Fy和和FZ引起的弯矩分别为引起的弯矩分别为(3)应力的计算应力的计算由由MZ和和

160、My在该截面引起的在该截面引起的K点正应力分别为点正应力分别为3.90 第3章 静定结构内力计算式式(4-52)是梁斜弯曲时横截面任一点的正应力计算公式。式中是梁斜弯曲时横截面任一点的正应力计算公式。式中IZ、IY分别为截面对分别为截面对z轴和轴和y轴的惯性矩；轴的惯性矩；y和和z分别为所求应力点到分别为所求应力点到z轴和轴和y轴的距离。轴的距离。在用式在用式(4-52)计算正应力时，可先将式中的计算正应力时，可先将式中的MZ、My、y、z等以绝对值代入，而和的正负号等以绝对值代入，而和的正负号根据梁的变形和所求应力点的位置来判断根据梁的变形和所求应力点的位置来判断(拉为正、压为负拉为正、压为

161、负)。如图。如图4.48所示，在弯矩所示，在弯矩MZ作用下，作用下，c、一侧受拉，、一侧受拉，z轴与轴与cd之间的区域所有点的正应力都是拉应力，之间的区域所有点的正应力都是拉应力，z轴与轴与ab之间的区域所有点的正之间的区域所有点的正应力都是压应力；而在弯矩应力都是压应力；而在弯矩My作用下，作用下，b、c一侧受拉，一侧受拉，y轴与轴与bc之间的区域所有点的正应力都是之间的区域所有点的正应力都是拉应力，拉应力，y轴与轴与ad之间的区域所有点的正应力都是压应力。之间的区域所有点的正应力都是压应力。2.正应力强度条件正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为同平面弯曲一样，斜弯曲梁

162、的正应力强度条件仍为杆件的组合变形杆件的组合变形(4-53a)计算计算时，要首先知道其发生位置。工程中常用的工字形截面、矩形截面等对称截面梁时，要首先知道其发生位置。工程中常用的工字形截面、矩形截面等对称截面梁在斜弯曲时的最大正应力发生在危险截面的角点处。如图在斜弯曲时的最大正应力发生在危险截面的角点处。如图4.48所示矩形截面梁，其左侧固定端所示矩形截面梁，其左侧固定端截面的弯矩最大，截面的弯矩最大，该截面为危险截面。弯矩引起的最大正应力在，该截面为危险截面。弯矩引起的最大正应力在CD边，弯矩边，弯矩My引引起的最大正应力在起的最大正应力在BC边，叠加后交点边，叠加后交点C的应力为最大正应力

163、，其值为的应力为最大正应力，其值为3.91 第3章 静定结构内力计算杆件的组合变形杆件的组合变形即即同理，最小正应力同理，最小正应力(最大压应力最大压应力)发生在危险截面上的另一角点发生在危险截面上的另一角点A处。处。斜弯曲梁的正应力强度条件为斜弯曲梁的正应力强度条件为与平面弯曲相同，根据式与平面弯曲相同，根据式(4-53)这一强度条件，同样可以解决工程中的三类问题，这一强度条件，同样可以解决工程中的三类问题，即强度校核、截面设计和确定容许荷载。即强度校核、截面设计和确定容许荷载。在选择截面时应注意，式在选择截面时应注意，式(4-53)中存在两个未知量中存在两个未知量Ws和和Wy，所以在选择截

164、面时，要，所以在选择截面时，要先假定一个先假定一个Ws/Wy比值比值(对矩形截面取对矩形截面取1.22，对工字型截面取，对工字型截面取610)。然后用式。然后用式(4-53)确确定定WS的值，再选择截面的尺寸，最后对所选截面进行强度校核。的值，再选择截面的尺寸，最后对所选截面进行强度校核。【例例4.20】矩形截面简支梁承受均布荷载如图矩形截面简支梁承受均布荷载如图4.49所示，所示，已知：已知：，试求梁的最大正应力。，试求梁的最大正应力。图图4.49矩形截面简支梁斜弯曲矩形截面简支梁斜弯曲解：解：(1)将将Fq沿截面的两个对称轴沿截面的两个对称轴y、z方向分解为方向分解为Fqy和和Fqz。3.

165、92 第3章 静定结构内力计算3.框架框架-剪力墙结构剪力墙结构在框架结构体系中的一定位置，设置一定数量的剪力墙，使框架和剪力墙两者结合起在框架结构体系中的一定位置，设置一定数量的剪力墙，使框架和剪力墙两者结合起来，共同抵抗水平荷载，称为框架来，共同抵抗水平荷载，称为框架-剪力墙结构体系。他使得框架和剪力墙这两种结构可互剪力墙结构体系。他使得框架和剪力墙这两种结构可互相取长补短，既能提供较大较灵活布置的建筑空间，又具有良好的抗震性能，因此此种结相取长补短，既能提供较大较灵活布置的建筑空间，又具有良好的抗震性能，因此此种结构体系已得到广泛应用构体系已得到广泛应用(如图如图16.6所示所示)。框架

166、框架-剪力墙结构体系的优点：综合了框架结构和剪力墙结构的优点，其刚度和承载剪力墙结构体系的优点：综合了框架结构和剪力墙结构的优点，其刚度和承载力比框架结构都大大提高，减小了结构在地震作用下的层间变形，使此种结构形式可用于力比框架结构都大大提高，减小了结构在地震作用下的层间变形，使此种结构形式可用于较高较高(1020层层)的高层建筑。的高层建筑。杆件的组合变形杆件的组合变形(2)计算简支梁最大弯矩。对于简支梁而言，跨中截面的弯矩最大，是危险截面，跨计算简支梁最大弯矩。对于简支梁而言，跨中截面的弯矩最大，是危险截面，跨中截面最大弯矩为：中截面最大弯矩为：(3)计算梁截面抗弯截面模量。计算梁截面抗弯

167、截面模量。3.93 第3章 静定结构内力计算(4)危险截面的最大正应力。危险截面的最大正应力。在危险截面上，最大正应力有两点，一点为最大拉应力，在危险截面上，最大正应力有两点，一点为最大拉应力，一点为最大压应力。一点为最大压应力。三、偏心拉伸三、偏心拉伸( (压缩压缩) )轴向拉伸轴向拉伸(压缩压缩)时，外力与杆件轴线重合，当外力时，外力与杆件轴线重合，当外力作用线平行于杆件轴线但不重合时，则称为偏心拉伸作用线平行于杆件轴线但不重合时，则称为偏心拉伸(压压缩缩)。偏心拉伸。偏心拉伸(压缩压缩)可以分解为轴向拉伸可以分解为轴向拉伸(压缩压缩)和弯曲和弯曲两种基本变形，故它也是一种组合变形。两种基

168、本变形，故它也是一种组合变形。偏心拉伸偏心拉伸(压缩压缩)分为单向偏心拉伸分为单向偏心拉伸(压缩压缩)和双向偏和双向偏心拉伸心拉伸(压缩压缩)，本书主要讨论单向偏心拉伸，本书主要讨论单向偏心拉伸(压缩压缩)变形。变形。1.单向偏心拉伸单向偏心拉伸(压缩压缩)如图如图4.50所示矩形为偏心受压杆，平行于杆件轴线所示矩形为偏心受压杆，平行于杆件轴线的压力的压力F的作用点位于截面的一个对称轴上，这类偏心压的作用点位于截面的一个对称轴上，这类偏心压缩称为单向偏心压缩。当缩称为单向偏心压缩。当F为拉力时，则称为单向偏心拉为拉力时，则称为单向偏心拉伸。伸。杆件的组合变形杆件的组合变形图图4.50单向偏心受

169、压杆单向偏心受压杆3.94 第3章 静定结构内力计算计计算算应应力力时时，将将拉拉力力F作作用用点点移移至至截截面面形形心心处处，使使其其作作用用线线与与杆杆件件的的轴轴线线重重合合。由由力力的的平平移移定定理理可可知知，平平移移后后需需要要一一个个附附加加力力矩矩MS=Fe，e为为偏偏心心距距。此此时时，轴轴力力使使杆杆件件发发生生轴轴向向压压缩缩，附附加加力力矩矩使使杆杆件件发发生生平平面面弯弯曲曲(纯纯弯弯曲曲)，由由此此可可知知，单单向向偏偏心心拉拉伸伸(压压缩缩)实实际际上上就就是是以以前前我我们们学学习习过过的的轴轴向向变变形形和和平平面面弯弯曲曲的的组组合合变变形形。所所以以横横

170、截截面面上上任任一一点点的的正正应应力力等等于于两两种种变变形形的的正正应应力力的的组组合合，为：为：杆件的组合变形杆件的组合变形(4-54)单向偏心拉伸单向偏心拉伸(压缩压缩)时，最大正应力的位置非常容易确定：轴向拉伸引起的正应力在时，最大正应力的位置非常容易确定：轴向拉伸引起的正应力在横截面上均匀分布，平面弯曲既引起拉应力，也引起压应力，两者叠加，弯曲拉应力最大的横截面上均匀分布，平面弯曲既引起拉应力，也引起压应力，两者叠加，弯曲拉应力最大的地方，正应力最大，其值为：地方，正应力最大，其值为：同样，对偏心压缩，弯曲压应力最大的地方，正应力最小，绝对值最大其值为：同样，对偏心压缩，弯曲压应力

171、最大的地方，正应力最小，绝对值最大其值为：(4-55a)(4-55b)(4-56)3.95 第3章 静定结构内力计算2.双向偏心拉伸双向偏心拉伸(压缩压缩)如图如图4.51所示的偏心受拉杆，平行于杆件轴线的拉力作用点不在横截面的任一个对称轴上，所示的偏心受拉杆，平行于杆件轴线的拉力作用点不在横截面的任一个对称轴上，而与而与y、z轴的距离分别为轴的距离分别为e、e，这类偏心受拉称为双向偏心受拉，当，这类偏心受拉称为双向偏心受拉，当F为压力时，称为双向偏心为压力时，称为双向偏心压缩。压缩。杆件的组合变形杆件的组合变形图图4.51双向偏心受拉杆双向偏心受拉杆3.96 第3章 静定结构内力计算计算这类

172、杆件在任一点正应力的方法，与单向偏心拉伸计算这类杆件在任一点正应力的方法，与单向偏心拉伸(压缩压缩)类似。仍将外力移至截面形心类似。仍将外力移至截面形心处，使其作用线与杆件的轴线重合为轴力处，使其作用线与杆件的轴线重合为轴力FN。但平移后，必须附加两个力矩，。但平移后，必须附加两个力矩，。此时，此时，FN使杆件发生轴向变形，使杆件发生轴向变形，使杆件在使杆件在xOz平面内发生平面弯曲，平面内发生平面弯曲，使杆件在使杆件在xOy平面内发生平面弯曲，双向偏心拉伸平面内发生平面弯曲，双向偏心拉伸(压缩压缩)实际上就是轴向拉伸实际上就是轴向拉伸(压缩压缩)和两个平面弯曲的组合和两个平面弯曲的组合变形。

173、变形。轴向外力作用下，横截面上任一点的正应力为：轴向外力作用下，横截面上任一点的正应力为：力偶力偶作用下横截面上任一点的正应力为：作用下横截面上任一点的正应力为：力偶力偶作用下横截面上任一点的正应力为：作用下横截面上任一点的正应力为：横截面上任一点的总正应力为横截面上任一点的总正应力为杆件的组合变形杆件的组合变形(4-57)式式(4-57)既适用于双向偏心拉伸，也适用于双向偏心压缩。式中第一项拉伸时为正，压缩既适用于双向偏心拉伸，也适用于双向偏心压缩。式中第一项拉伸时为正，压缩时为负，第二、三项则要视变形情况而定。对矩形、工字形截面具有两个对称轴的梁，最大拉时为负，第二、三项则要视变形情况而定

174、。对矩形、工字形截面具有两个对称轴的梁，最大拉应力和最大压应力均发生在横截面的角点处，其位置不难判断。应力和最大压应力均发生在横截面的角点处，其位置不难判断。【例例4.21】单向偏心受压杆，如图单向偏心受压杆，如图4.52所示，横截面为矩形，力所示，横截面为矩形，力F的作用点位于横截面的的作用点位于横截面的y轴上。试求横截面不出现拉应力的最大偏心距轴上。试求横截面不出现拉应力的最大偏心距emax。3.97 第3章 静定结构内力计算杆件的组合变形杆件的组合变形图图4.52单向偏心受压杆单向偏心受压杆解解:将力将力F单独作用于截面形心处成单独作用于截面形心处成FN并附加一力偶矩：并附加一力偶矩：。

175、在在FN的单独作用下，横截面上各点的正应力为：的单独作用下，横截面上各点的正应力为：在力偶矩在力偶矩MZ单独作用下，横截面上轴左侧受拉，单独作用下，横截面上轴左侧受拉，最大拉应力发生在截面的左边缘处，其值为最大拉应力发生在截面的左边缘处，其值为。欲使横截面不出现拉应力，需使欲使横截面不出现拉应力，需使FN和和MZ共同作用共同作用下截面的左边缘正应力等于零，即下截面的左边缘正应力等于零，即即横截面不出现拉应力的最大偏心距为即横截面不出现拉应力的最大偏心距为。【例例4.22】如图如图4.53所示，矩形截面杆受力，截面尺寸所示，矩形截面杆受力，截面尺寸,偏心距偏心距，计算底面上，计算底面上A、B、C

176、、D四点的正应力。四点的正应力。3.98 第3章 静定结构内力计算图图4.53双向偏心受压杆双向偏心受压杆杆件的组合变形杆件的组合变形解解:该柱的变形为双向偏心受压。该柱的变形为双向偏心受压。(1)将力移至截面形心，得将力移至截面形心，得(2)FN单独作用时的最大正应力：单独作用时的最大正应力：MZ单独作用时，横截面上的最大正应力单独作用时，横截面上的最大正应力My单独作用时，横截面上的最大正应力单独作用时，横截面上的最大正应力(3)根据各点的位置，判断以上各项的正负号，计算各点应力。根据各点的位置，判断以上各项的正负号，计算各点应力。对对A点，在点，在FN作用下，应力为压应力，在弯矩作用下，

177、应力为压应力，在弯矩Ms、My作用下，作用下，A点的应力都为拉应力。点的应力都为拉应力。所以所以3.99 第3章 静定结构内力计算所以所以对对B点，在点，在MZ作用下，应力为拉应力在作用下，应力为拉应力在FN和和My作用下，应力为压应力。作用下，应力为压应力。对对C点，在点，在FN、MS和和My作用下，应力均为压应力：作用下，应力均为压应力：对对D点，在点，在FN、MS的作用下，产生压应力，在的作用下，产生压应力，在My的作用下，应力为拉应力。的作用下，应力为拉应力。杆件的组合变形杆件的组合变形3.100 第3章 静定结构内力计算习习题题1.求如图求如图4.54所示组合截面形心的坐标所示组合截

178、面形心的坐标(长度单位长度单位mm)。2.计算如图计算如图4.55所示的图形中阴影面积对所示的图形中阴影面积对x轴的静矩轴的静矩(单位单位cm)。图图4.54组合截面形心坐标组合截面形心坐标图图4.55阴影对阴影对x轴的静矩轴的静矩3.计算如图计算如图4.56所示的环形截面和箱形截面对自身形心轴的惯性矩，所示的环形截面和箱形截面对自身形心轴的惯性矩，R1=100cm，t=200cm，(图中单位为图中单位为cm)。图图4.56环形截面和箱形截面环形截面和箱形截面3.101 第3章 静定结构内力计算4.计算如图计算如图4.57所示的截面对所示的截面对x轴和轴和y轴的惯性矩。长度单位为轴的惯性矩。长

179、度单位为cm。习习题题图图4.57习题习题4图图5.如图如图4.58所示，钢筋混凝土柱长所示，钢筋混凝土柱长l=4m，横截面尺寸，横截面尺寸，钢筋混凝土，钢筋混凝土的重度的重度，外荷载，外荷载，考虑自重，求，考虑自重，求1-1截面的轴力并作轴力图。截面的轴力并作轴力图。6.在如图在如图4.59所示的结构中，每根杆的截面积都是所示的结构中，每根杆的截面积都是3103m2，水平荷载等于，水平荷载等于100kN。试。试求各杆的应力。长度单位为米。求各杆的应力。长度单位为米。图图4.58钢筋混凝土柱钢筋混凝土柱图图4.59桁架结构桁架结构3.102 第3章 静定结构内力计算7.一根直径为一根直径为20

180、mm，长度为，长度为1m的轴向拉杆，在弹性范围内承受轴向拉力的轴向拉杆，在弹性范围内承受轴向拉力，材料的弹，材料的弹性模量为性模量为，泊松比，泊松比，试求该杆的纵向变形和横向变形。，试求该杆的纵向变形和横向变形。8.在钢筋混凝土受压柱中，钢筋与混凝土要变形协调，即两者应变相同，已知钢筋的弹性模量在钢筋混凝土受压柱中，钢筋与混凝土要变形协调，即两者应变相同，已知钢筋的弹性模量，混凝土的弹性模量，混凝土的弹性模量，求：，求：(1)在正常受力情况下，钢筋与混凝土的应力比值；在正常受力情况下，钢筋与混凝土的应力比值；(2)当已知线应变当已知线应变时，钢筋和混凝土的应力分别是多少。时，钢筋和混凝土的应力

181、分别是多少。9.已知如图已知如图4.60所示的结构中，所示的结构中，AC、BD杆材料相同，容许应力为杆材料相同，容许应力为，弹性模量，弹性模量，荷载，荷载，试求两杆的直径。长度单位为，试求两杆的直径。长度单位为m。10.一正方形截面混凝土柱如图一正方形截面混凝土柱如图4.61所示，设混凝土的重度为所示，设混凝土的重度为，柱子的高度，柱子的高度8m，柱顶，柱顶荷载荷载，容许应力，容许应力，考虑柱子自重，试根据柱的正应力强度条件选择截面边，考虑柱子自重，试根据柱的正应力强度条件选择截面边长长a。图图4.60习题习题9图图图图4.61混凝土柱混凝土柱习习题题3.103 第3章 静定结构内力计算11.

182、一装置如图一装置如图4.62所示，自重不计，拉绳所示，自重不计，拉绳AB、BC的截面面积的截面面积A=600mm，倾角均为，倾角均为45容许应力容许应力。试根据拉绳。试根据拉绳AB的强度条件确定容许荷载。的强度条件确定容许荷载。12.钢杆的受力情况如图钢杆的受力情况如图4.63所示，已知杆的横截面积所示，已知杆的横截面积A=4000mm2，材料的弹性模量，材料的弹性模量试求：试求：(1)杆件各段的应力；杆件各段的应力；(2)求杆的总求杆的总变形。变形。习习题题图图4.62习题习题11图图图图4.63钢杆受力图钢杆受力图13.如图如图4.64所示为雨篷的计算简图，沿水平梁的均布荷载所示为雨篷的计

183、算简图，沿水平梁的均布荷载，BC杆为一拉杆，材杆为一拉杆，材料的容许应力料的容许应力，若斜拉杆，若斜拉杆BC为由两根圆钢组成，试计算圆钢的直径。为由两根圆钢组成，试计算圆钢的直径。3.104 第3章 静定结构内力计算图图4.64雨篷计算图雨篷计算图习习题题14.如图如图4.65所示为一组合屋架的计算简图。屋架的所示为一组合屋架的计算简图。屋架的AC、CB杆用杆用钢筋混凝土制作，其他杆均用两根截面积钢筋混凝土制作，其他杆均用两根截面积12cm2的圆钢制作，已的圆钢制作，已知屋架承受的设计荷载知屋架承受的设计荷载，钢材的容许应力，钢材的容许应力。试校核拉杆试校核拉杆FG的强度。的强度。图图4.65

184、组合屋架计算图组合屋架计算图15.试计算如图试计算如图4.66所示的梁的最大拉、压应力，并说明最大应力的所在位置所示的梁的最大拉、压应力，并说明最大应力的所在位置(梁横截梁横截面尺寸为面尺寸为mm)。3.105 第3章 静定结构内力计算习习题题图图4.66梁梁16.已知：如图已知：如图4.67所示的梁选用材料的容许正应力所示的梁选用材料的容许正应力，试校核该梁的正应力强度。梁横截面尺寸为，试校核该梁的正应力强度。梁横截面尺寸为mm。图图4.67习题习题16图图17.一简支梁的受力如图一简支梁的受力如图4.68所示，所示，材料的容许应力为，材料的容许应力为，横截面为矩形，横截面为矩形，高宽比为高

185、宽比为，试按正应力强度条件选择矩形截面的高、宽尺寸。，试按正应力强度条件选择矩形截面的高、宽尺寸。3.106 第3章 静定结构内力计算习习题题图图4.68简支梁受力简支梁受力18.简支梁受均布荷载作用，如图简支梁受均布荷载作用，如图4.69所示，材所示，材料的容许应力料的容许应力，矩形截面的尺寸是，矩形截面的尺寸是，试按正应力强度条件确定，试按正应力强度条件确定梁上的容许荷载值梁上的容许荷载值q。图图4.69简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载19.如图如图4.70所示，简支梁跨度所示，简支梁跨度l=5m，荷，荷载载，材料的容许应力，材料的容许应力，采用圆形截面，试求直径采用圆形截面，试求直径d。图图4.70圆形截面简支梁圆形截面简支梁3.107 第3章 静定结构内力计算习习题题20.矩形截面悬臂梁如图矩形截面悬臂梁如图4.71所示，力所示，力F通过截面形心且与通过截面形心且与y轴成轴成25夹角，已知：夹角，已知：，材料的容许应力，材料的容许应力。假设。假设，试确定截面尺寸。，试确定截面尺寸。图图4.71矩形截面悬臂梁矩形截面悬臂梁