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1、第第8 8章章 线性动态电路时域分析线性动态电路时域分析零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点掌握重点掌握基本信号基本信号 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量动动态态电电路路：含含储储能能元元件件L(M)、C。KCL、KVL方方程程仍仍为为代代数数方方程程，而而元元件件方方程程中中含含微微分分或或积积分分形形式式。因此描述电路的方程为微分方程。因此描述电路的方程为微分方程。 (记忆电路记忆电路)电电阻阻电电路路：电电路路中中仅仅由由电电阻阻元元件件和和电电源源元元件件构构成成。KCL、KVL方方程程和和元元件件特特性性均均为为代代数数方
2、方程程。因此描述电路的方程为代数方程。因此描述电路的方程为代数方程。 (即时电路即时电路)8-1 8-1 动态电路及方程动态电路及方程一、一、 电阻电路与动态电路电阻电路与动态电路S未动作前未动作前S接通电源后进入另一稳态接通电源后进入另一稳态i = 0, uC = 0i = 0, uC= US二、二、 什么是电路的什么是电路的过渡过程过渡过程？稳定状态稳定状态(稳态稳态)过渡状态过渡状态(动态动态)S+uCUSRCiS+uCUSRCi过渡过程过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。uCtt1USO初始初始状态状态过渡过渡状态状态
3、新稳态新稳态三、过渡过程产生的原因三、过渡过程产生的原因1. 电路中含有储量元件电路中含有储量元件(内因内因)能量不能跃变能量不能跃变2. 电路结构或电路参数发生变化电路结构或电路参数发生变化(外因外因)支路的接入、断开；开路、短路等支路的接入、断开；开路、短路等S+uCUSRCi+uSR1R2R3 参数变化参数变化换路换路+uCC+uSR1R3 四、分析方法四、分析方法一阶电路一阶电路：一阶微分方程所描述的电路：一阶微分方程所描述的电路.二阶电路二阶电路：二：二 阶微分方程所描述的电路阶微分方程所描述的电路.LS (t=0)USC+uCR( t0 )经典法经典法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法状
4、态变量法状态变量法时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法时域分析法时域分析法解析法解析法数值法数值法动态电路的动态电路的阶数阶数：高阶电路高阶电路：高：高 阶微分方程所描述的电路阶微分方程所描述的电路.一、一、t = 0+与与t = 0 的概念的概念t=0时换路时换路t = 0 t = 0的前一瞬间的前一瞬间t = 0+ t = 0的后一瞬间的后一瞬间t = 0 换路瞬间换路瞬间8-2 8-2 初始条件和初始状态初始条件和初始状态0 0+t = t0 ： t0的前一瞬间；的前一瞬间；t = t0+： t0的后一瞬间。的后一瞬间。初始条件为初始条件为 t = 0+时时u 、i及其各阶导数的值及
5、其各阶导数的值.LS (t=0)USC+uCR(t0)t = t0换路换路： 二、换路定则二、换路定则 (开闭定则开闭定则)当当t = 0+时时,CiuC+qC (0+) = qC (0 )uC (0+) = uC (0 )当当i(t)为有限值时为有限值时,qC=CuC电荷守恒电荷守恒 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。当当i为冲激函数时为冲激函数时:S+uCUSCi跳变！跳变！当当t = 0+时时, L (0+) = L (0 )iL (0+) = iL (0 )当当u(t)为有限值时
6、为有限值时, L=LiLLiLu+磁链守恒磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变则电感电流（磁链）换路前后保持不变。小结：小结：(2) 换路定则是建立在能量不能突变的基础上换路定则是建立在能量不能突变的基础上.(1) 一般情况下电容电流、电感电压均为有限值，一般情况下电容电流、电感电压均为有限值， 换路定则成立。换路定则成立。 L (0+)= L (0 )iL(0+)= iL(0 )qC (0+) = qC (0 )uC (0+) = uC (0 )换路定则换路定则:特例：特例： 当当u为冲激函数时为冲激函数时ISLiL
7、u+三、电路初始条件的确定三、电路初始条件的确定例例1.求求 uC (0+) ,iC (0+).t = 0时打开开关时打开开关S.由换路定则：由换路定则：uC (0+) = uC (0 )=8V0+等效电路：等效电路： +10ViiCuCS10k 40k + C解：解：+10Vi (0+)iC(0+)8V10k + 例例2.t = 0时闭合开关时闭合开关S.求求uL(0+). iL(0+)= iL(0 )=2A0+等效电路：等效电路：10VS1 4 iLLuL+解：解：10V1 4 iL(0+)uL (0+)+注意：注意：求初始值的一般方法：求初始值的一般方法：(1) 由换路前电路求由换路前电
8、路求uc(0 )和和iL(0 )；(2) 由换路定则，得由换路定则，得uC(0+)和和iL(0+)；(3) 作作0+等效电路：等效电路：(4) 由由0+电路求所需的电路求所需的u(0+)、i(0+)。电容用电压为电容用电压为uC(0+)的电压源替代；的电压源替代；电感用电流为电感用电流为iL(0+)的电流源替代。的电流源替代。例例3.(1) 求求iL(0 )(2) 由换路定则，得由换路定则，得 解：解：uSSRiLLuL+uR(3) 0+电路电路uSSRiLLuL+uRRuL(0+)+uR(0+)例例4.0+电路：电路：iL(0+)=iL(0 )=IS uC(0+)=uC(0 )=RISuL(
9、0+)= uC(0+)= RISiC(0+)=iL(0+) uC(0+)/R =RIS RIS =0求求 iC(0+) , uL(0+).S(t=0)+uLCuCLISRiL+uL (0+)uC (0+)R+iC (0+)iL(0+)解：解：思考：思考：电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？为什么？8-3 8-3 一阶电路一阶电路的零输入响应的零输入响应零输入响应零输入响应(Zero input response )：激励激励(电源电源)为零
10、，由为零，由初始储能引起的响应。初始储能引起的响应。一、一、 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 (C对对R放电放电)uC (0 )=U0解答形式解答形式 uC(t)=uC=Aept (特解特解 uC=0)特征方程特征方程 RCp+1=0S(t=0)+uCRCi+uC起始值起始值 uC (0+)=uC(0 )=U0 A=U0令令 =RC, 具有时间的量纲具有时间的量纲 , 称称 为时间常数为时间常数.(欧欧 法法=欧欧 库库/伏伏=欧欧 安安 秒秒/伏伏=秒秒)I0tiCOU0tuCO从理论上讲从理论上讲 t 时时,电路才能达到稳态电路才能达到稳态. 但实际上一般认但实际上一般认为为经过经过
11、3 5 的时间的时间, 过渡过程结束过渡过程结束,电路已达到新的稳态电路已达到新的稳态.C的能量不断释放的能量不断释放, 被被R吸收吸收, 直到直到全部储能消耗完毕全部储能消耗完毕.t0 2 3 4 5 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.02U0 0.007 U0 (实验测实验测 的方法的方法)能量关系能量关系：RC二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应其解答形式为：其解答形式为： i(t) = Aept由特征方程由特征方程 Lp+R=0 得得由初值由初值 i(0+)=i(0 )= I0得得 i(0+)=A= I0USS(t=0)R1iLLuL+R(1) iL, u
12、L 以同一指数规律衰减到零；以同一指数规律衰减到零；(2)衰减快慢取决于衰减快慢取决于L/R。量纲量纲：亨亨/欧欧=韦韦/安安*欧欧=韦韦/伏伏=伏伏*秒秒/伏伏=秒秒令令 =L/R RL电路的时间常数电路的时间常数3 5 过渡过程结束。过渡过程结束。I0tiLO RI0tuLOiL (0+)=iL(0 )=35/0.2=175 A= I0uV (0+)= 875 kV !例例.现象：电压表烧坏现象：电压表烧坏 !L=0.4HVRV5k 35VS(t=0)iLuV+R=0.2 小结：小结：1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都
13、是一个指数衰减函数。都是一个指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 . RC电路电路 ： = RC, RL电路：电路： = L/R3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。4. 一阶电路的零输入响应和初值成正比。一阶电路的零输入响应和初值成正比。L=0.4H35VS(t=0)iLR=0.2 预防措施：预防措施：D零状态响应零状态响应(Zero state response)：储能元件初始能量为零，储能元件初始能量为零，在激励在激励(电源电源)作用下产生的过渡过程。作用下产生的过渡过程。 (2) 求特解求特解 uC= US1. R
14、C电路的零状态响应电路的零状态响应(1) 列方程：列方程：uC (0 )=08 8 4 4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：通解通解特解特解强制分量强制分量 (稳态分量稳态分量)S(t=0)+uCUSRCi+uRuC (0+)=A+US= 0 A= US(3) 求齐次方程通解求齐次方程通解 uC“ 自由分量自由分量(暂态分量暂态分量)(4) 求全解求全解(5) 定常数定常数US USuCuC强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)uctOtiO能量关系能量关系：电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，电源提供的能
15、量一部分被电阻消耗掉，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为充电效率为50%USRCt= 0时闭合开关时闭合开关S.求求uc、i1的零状态响应。的零状态响应。uiCi12i1+2V+1 1 1 0.8FuC SuC (V)t1.5O例例.解法解法1:解法解法2:戴维南等效戴维南等效.i12i1+2V+1 1 1 0.8FuC S+1.5V+0.25 1 0.8FuC S2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应iL(0 )=03. 正弦电源激励下的正弦电源激励下的零状态响应零状态响应(以以RL电路为例电路为例)iL(0 )=0USLS (t=0)+uLR+uRiLtO
16、uSLS (t=0)+uLR+uRiLuS+强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)用相量法计算稳态解用相量法计算稳态解 iL :iL(0 )=0LS (t=0)+uLR+uRiLuS+jXLR+定常数定常数解答为解答为讨论：讨论：(1) u =0o, 即合闸即合闸 时时 u = 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。(2) u = /2 即即 u = /2 A=0 无暂态分量无暂态分量 u = + /2时波形为：时波形为：最大电流出现在合闸后半个周期时最大电流出现在合闸后半个周期时 t = T/2。t ILmiiiILmOT/24
17、. 阶跃响应阶跃响应uC (0 )=0+uCUS (t)RCi+uC (0 )=0S(t=0)+uCUSRCi+tiOUSuCtO延时阶跃响应延时阶跃响应:激励在激励在t=t0时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。uC (t0 )=0+uCUS (t t0)RCi+USuCtOt0tiOt0注意：注意：零状态网络的阶跃响应为零状态网络的阶跃响应为 y(t) (t) 时，时，则延时则延时t0的阶跃响应为的阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0).结论结论：二者的区别二者的区别 !例例. 求阶跃响应求阶跃响应iC . 10k 10k uS+iC100 F 0.510t (s)uS (
18、V)0解解: 10k 10k 10 (t)+100 F 10k 10k 10 (t t0)+100 F 等效等效10k 10k 10 (t)V+100 F 5k 5 (t) V+100 F 10k 10k 10 (t-t0)V+100 F 分段表示为：分段表示为：分段表示为分段表示为t(s)iC(mA)01 0.6320.5波形波形0.368另解：另解：小结：小结：1. 一一阶阶电电路路的的零零状状态态响响应应是是储储量量元元件件无无初初始始储储量量时时，由输入激励引起的响应。解答有二个分量由输入激励引起的响应。解答有二个分量:uC =uC+uC2. 时间常数与激励源无关。时间常数与激励源无关
19、。3. 线性一阶网络的零状态响应与激励成正比。线性一阶网络的零状态响应与激励成正比。4. 零零状状态态网网络络的的阶阶跃跃响响应应为为 y(t) (t) 时时，则则延延时时t0的的阶跃响应为阶跃响应为 y(t-t0) (t-t0)。8 8 5 5 一阶电路的全响应，三要素法一阶电路的全响应，三要素法全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式1. 全解全解 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC= US以以RC电路电路为例为
20、例解答为解答为 uC(t)=uC + uC非齐次方程非齐次方程uC=Aept =RCuC (0+)=A+US=U0 A=U0 US(t0)强制分量强制分量自由分量自由分量uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRCi+uR强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uCU0 USuCUSU0uCtuCo2. 全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响应全响应零输入响应零输入响应U0=+uC 1(0-)=0uC2 (0-)=U0uC (0 )=U0S(t=0)+uCUSRCi+u
21、RS(t=0)+uC1USRCi1+uR1S(t=0)+uC2RCi2+uR2全响应小结全响应小结:1. 全全响响应应的的不不同同分分解解方方法法只只是是便便于于更更好好地地理理解解过过渡过程的本质渡过程的本质;2. 零零输输入入响响应应与与零零状状态态响响应应的的分分解解方方法法其其本本质质是叠加，因此只适用于线性电路；是叠加，因此只适用于线性电路；3. 零零输输入入响响应应与与零零状状态态响响应应均均满满足足齐齐性性原原理理，但但全响应不满足。全响应不满足。二、用三要素法分析一阶电路二、用三要素法分析一阶电路一阶电路的数学描述是一阶微分方程一阶电路的数学描述是一阶微分方程 , 其解的一般形
22、式为其解的一般形式为令令 t = 0+例例1.已知：已知： t=0时合开关时合开关S。 求求 换路后的换路后的uC(t) 。解解tuC (V)20.66701A2 1 3F+uC S例例2.已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t = 0 时时合合 S1 , t =0.2s时合时合S2。0 t 0.2s解解i10V1HS1(t=0) S2(t=0.2s)3 2 求换路后的电感电流求换路后的电感电流i(t)。it (s)0.25(A)1.2620例例3. 已知已知: u(t)如图示如图示 , iL(0)= 0 。求求: iL(t) , 并并画波形画波形 .解解0 t 1 iL(0+)=0 t
23、 0 iL(t)=0 iL( )=1AiL(t) = 1 e t / 6 A =5/ (1/5)=6 su(t)12120t (s)(V)+u(t)1 5 5HiL方法一：用分段函数表示方法一：用分段函数表示+1V1 5 5HiL1 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A iL( )=2A iL(t) = 0.437 e ( t 2 )/ 6 A =6 s =6 s+2V1 5 5HiL1 5 5HiL u(t)= (t)+ (t 1) 2 (t 2) (t)(1 e t / 6) (t) (t 1)(1 e ( t 1) /
24、 6 ) (t 1) 2 (t 2) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2)iL(t) = (1 e t / 6) (t)+ (1 e ( t 1) / 6 ) (t 1) 2(1 e ( t 2) / 6 ) (t 2) A00.1540.43712t (s)iL(t)(A)解法二：用全时间域函数表示解法二：用全时间域函数表示(叠加叠加)u(t)12120t (s)(V)8-6 8-6 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数 (Unit step function)1. 定义定义2. 延迟单位阶跃函数延迟单位阶跃函数S+uCUSRCit (t)Ot (
25、t)Ot0延迟单位阶跃函数可以起始任意函数延迟单位阶跃函数可以起始任意函数例例1.t0f(t)tOf(t) (t t0)t0tO1t0tf(t)O1t0tO (t)(t t0)例例2.二、单位冲激函数二、单位冲激函数(Unit Impulse Function)1. 单位脉冲函数单位脉冲函数1t1f(t)0 1/ tf(t)02. 定义定义k (t)例例.t (t)O+CuCiCuS + tUuS0 0uc U (t)iC CU (t) tUuS0 tiC(t)OCU (t)uCtUO CU/ tiC0 当当 减小减小iC = CUS (t)t = t0时合时合S t = 0时合时合S延迟单位
26、冲激函数延迟单位冲激函数 (t-t0):S+uCUSCitiC(t)OCUS (t-t0)tO (t-t0)t03. 函数的函数的筛分性质筛分性质 同理有同理有4. (t) 和和 (t)的关系的关系= (t)例例.解解:f(t)在在t=0时连续时连续8-7 8-7 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应零状态零状态h(t)单位冲激响应单位冲激响应：电路在电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。单位冲激激励作用下产生的零状态响应。 (Unit impulse response) 一一. 由单位阶跃响应求单位冲激响应由单位阶跃响应求单位冲激响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t
27、)s(t)单位冲激函数单位冲激函数 (t)单位阶跃函数单位阶跃函数 (t)零状态零状态h(t)零状态零状态s(t)证明：证明：(1) s(t)定义在定义在( ， )整个时间轴。整个时间轴。f(t)to注意：注意：(2) 阶跃响应阶跃响应s(t)可由冲激响应可由冲激响应 (t)积分得到。积分得到。(1) 先求先求单位阶跃响应：单位阶跃响应：例例1.uC(0+)=0 uC( )=R = RC 求：求： is(t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应 uC(t)和和 iC (t)iC(0+)=1 iC( )=0 (2) 再求再求单位冲激响应：单位冲激响应： 0已知：已知：uC(0+)=0。iCR
28、iSC+uC令令 iS (t)= (t)A解解冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应uCRtoiC1touCtoiCt(1)=1=0uC 不可能是冲激函数不可能是冲激函数 , 否则否则KCL不成立不成立二、直接求冲激响应二、直接求冲激响应uC(0-)=01. t 从从 0 0+电容中的冲激电流使电容中的冲激电流使电容电压发生跳变电容电压发生跳变(转移电荷转移电荷)分二个时间段来考虑：分二个时间段来考虑：iCRiSC+uC2. t 0 零输入响应零输入响应 (C放电放电)iCRC+uC全时间域表达式：全时间域表达式：uCtoiCt(1)oiL不可能是冲激不可能是冲激 定性分析：定性分析：1. t 从从
29、 0 0+例例2.+ (t)RLiL+ uL2. t 0 (L放电放电)RLiL+ uL全时间域表达式：全时间域表达式：iLtouLto6-8 6-8 卷积积分卷积积分一、卷积积分一、卷积积分(Convolution)的定义的定义定义：定义：设设 f1(t)， f2(t) t 0 均为零均为零 性质性质1证明证明令令 = t ：0 t : t 0性质性质2二、卷积积分的性质二、卷积积分的性质三、卷积积分的应用三、卷积积分的应用e(t)h(t)线性网络线性网络零状态零状态r(t)即即 物理解释物理解释:将激励将激励 e(t)看成一系列宽度为看成一系列宽度为 ，高度为，高度为 e(k )矩形脉冲叠
30、加的。矩形脉冲叠加的。性质性质4筛分性筛分性性质性质3= f ( t )单位脉冲函数的延时单位脉冲函数的延时e(0) 2 k (k+1) o第第1个矩形脉冲个矩形脉冲若若 单位脉冲函数单位脉冲函数 p ( t ) 的的响应为响应为 h p ( t )第第k个矩形脉冲个矩形脉冲则则第第2个矩形脉冲个矩形脉冲t 时刻观察到的响应时刻观察到的响应应为应为 0 t 时间内所有时间内所有激励产生的响应的和激励产生的响应的和tk : 脉冲作用时刻脉冲作用时刻t ：观察响应时刻观察响应时刻 2 k (k+1) r(t)激励激励响应响应te(0) 2 k (k+1) o脉冲响应脉冲响应响应响应脉冲脉冲激励激励
31、冲激冲激冲激响应冲激响应积分积分 积分变量（积分变量（激励作用时刻）激励作用时刻）t 参变量参变量(观察响应时刻观察响应时刻)解解：先求该电路的冲激响应：先求该电路的冲激响应 h(t)uC( )=0例例1.已知：已知：R=500 k , C=1 F , uC(0 )=0求：求： uC(t)。iCRiSC+uC再由卷积积分计算当再由卷积积分计算当 iS=2e t (t) A 时的响应时的响应 uC ( t ):例例2.解解被积函数被积函数积分变量积分变量参变量参变量 f2(t- )10 t f2(- )10 f1( )201 f1( ) f2(t- )021t1 f1(t)* f2(t)0t1ttt f2( )10 f1(- )201-1 f1(t)* f2(t)0t1tt-1t卷卷移移乘乘积积 f1(t- )01-1t2 f2( ) f1(t- )01-1t21由图解过程确定积分上下限：由图解过程确定积分上下限： 2011e-(- )t01e-(t- )ttttt-1 20t01-11e- 例例3.1e-(- )1e- 20122 0-1-2t021t-1tt-1tt-2t012e-(t- )tttt
