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1、二次函数的最值问题二次函数的最值问题第三学段第三学段 （7-97-9年级）年级）三十二团中学三十二团中学 康春林康春林小课题研究：“变量、函数”学段目标的设计与实施 纵观近几年的中考试卷，在压轴题里面，以函数（特别是二次函数）为载体，二次函数的最值问题是中考的热门知识点。 学习目标：学习目标：1.1.能依据已知条件确定抛物线的函数表达式。2.2.探究实际问题中的最值与二次函数的关系。3.3.能建立二次函数模型解决最值问题。重点重点：在不同问题情境中建立二次函数模型在不同问题情境中建立二次函数模型 ，掌握，掌握 用二次函数求最值的思路。用二次函数求最值的思路。难点难点：理解自变量取值范围对最值的
2、影响。理解自变量取值范围对最值的影响。函数 yax2bxc(a0)图象a0a0性质开口向上向下对称轴回顾二次函数的图像与性质函数 yax2bxc(a0)顶点坐标_增减性当_时，y 随 x的增大而增大当_时，y 随 x的增大而减小最值有最_值，即_续表小性质如何确定二次函数的最大值会最小值呢？函数函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k（a0)a0)的对称轴是的对称轴是 顶点坐标是顶点坐标是 一定点二定向三求值一定点二定向三求值一定点二定向三求值一定点二定向三求值直线直线x=hx=h（h,kh,k）思考：思考：1. 1. 如何求抛物线的顶点坐标？有几种方法？如何选择？如何求抛物线的顶点
3、坐标？有几种方法？如何选择？2.2. 对称轴有何意义对称轴有何意义? ?3.3. 顶点的纵坐标在实际问题中一定是最大（小）值吗顶点的纵坐标在实际问题中一定是最大（小）值吗? ?4. 4. 自变量的取值范围对求最值有影响吗？自变量的取值范围对求最值有影响吗？1.如图，一边靠学校院墙，其他三边用如图，一边靠学校院墙，其他三边用24 m24 m长的篱笆围成长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形一个矩形花圃，设矩形ABCDABCD的边的边AB=x mAB=x m，面积为，面积为S S。（1 1）写出）写出S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,写出自变量的取值范围写出自变量的取值范围, ,（2
4、 2）当）当x x取何值时，面积取何值时，面积S S最大，最大值是多少？并画出最大，最大值是多少？并画出简图。简图。一、面积最值一、面积最值 自主完成自主完成ABCD012726(6,72)yx0x12。（3）（变式）（变式）如果中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽如果中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。若墙的最大可用长度为平方米。若墙的最大可用长度为8米，则求围米，则求围成花圃的最大面积。成花圃的最大面积。 ABDC0636323xy(3,36)44 x 6. .。合作探究合作探究2.2.如图：正方形如图：正方形ABCDABCD的边长为的边长为
5、1.1.点点E,F,G,HE,F,G,H分别位于正方分别位于正方形形ABCDABCD的四条边上，四边形的四条边上，四边形EFGHEFGH也是正方形，且也是正方形，且AE=BF=CG=DH.AE=BF=CG=DH.当点当点E E位于何处时，正方形位于何处时，正方形EFGHEFGH的面积最小的面积最小？最小面积是多少？最小面积是多少？ABCDEFGH10.500.51yx(0.5,0.5)0x1。 商场经营一种商品，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨价1元，就会少售出10件 .（1）设该种商品的销售单价为x元（x40），请你分别用
6、x的代数式表示销售量y件和销售该商品获得的利润P元，并把结果填入下列表格中：二、利润最值二、利润最值（一）自主或合作探究销售单价（元）销售单价（元） x销售量销售量y(件件) (1000-10x)获得的利润获得的利润P（元）（元）（x-30）(1000-10x)(1) 分析：销售量分析：销售量 y=1000-10x (40x100) 一件的利润一件的利润销售数量销售数量=总利润总利润 P=(x-30)(1000-10x) (40x100)（2）在（）在（1）问条件下，若规定该商品销售单价不低于）问条件下，若规定该商品销售单价不低于44元，元，且商场要完成不少于且商场要完成不少于540件的销售任
7、务，求商场销售该商品获件的销售任务，求商场销售该商品获得的最大利润是多少？得的最大利润是多少？ 依题意得不等式组：依题意得不等式组： x 44 1000-10x540 44x46 P= （x-30）(1000-10x) =-10x2+1300x-30000 如图：如图： 顶点坐标顶点坐标 ：( 65 , 12250） 44 46030100x=6512250xy最大最大最小最小（65,12250）44x4665X=46时，代入解析式计算得时，代入解析式计算得 p最大值最大值=8640（元）（元）. . .题后反思题后反思：1.1.容易出现的问题：容易出现的问题： 同学们的一般思路是求抛物线的顶
8、点坐标，简单地同学们的一般思路是求抛物线的顶点坐标，简单地理解为顶点的纵坐标就是最值，没有关注自变量的取值理解为顶点的纵坐标就是最值，没有关注自变量的取值范围。范围。2. 2. 解决此问题的方法：解决此问题的方法： 建立任何函数关系，都要附带自变量的取值范围。建立任何函数关系，都要附带自变量的取值范围。理解自变量的取值与函数值的制约关系。理解自变量的取值与函数值的制约关系。 求二次函数的最值，首先要看二次函数自变量的取值范围，自变量的取值范围可以分为以下几种情况：当自变量的取值范围是全体实数时，则函数图象顶点的纵坐标即为函数的最值；当自变量的取值范围有一定限制，且自变量的取值范围包括对称轴时，则函数图象与对称轴交点的纵坐标即为函数的最值；当自变量的取值范围有一定限制，且自变量的取值范围不包括对称轴时，要根据二次函数的增减性来确定出二次函数的最值最值问题建立二次函数模型数学问题数学问题初步解决问题初步解决问题 形成方法形成方法 转转 化化在自变量范围内确定最值在自变量范围内确定最值用二次函数性质用二次函数性质顶顶 点点
