可分离变量的微分方程二齐次方程

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1、一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程二、齐次方程四、变量代换法解方程四、变量代换法解方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程五、小结与思考题五、小结与思考题一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分二、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式,得得可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义例例4 4 求解

2、微分方程求解微分方程微分方程的通解为微分方程的通解为解解例例5 5 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上面方程称为上面方程称为齐次的齐次的.上面方程称为上面方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.三、一阶线性微分方程齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法由分离变量法由分离变量法2. 一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分即非齐次方程通解形式即非齐次方程通解形式对照对照常数变易法常数变易法把齐次方程

3、通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例6 6第一步，求相应的齐次方程的通解第一步，求相应的齐次方程的通解解解例例6 6第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解解解例例7 7例例8 8解解方程化为方程化为其中其中所以所以例例9 9 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ

4、之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程即即所求曲线为所求曲线为四、利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为例例1111 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解所求通解为所求通解为解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解（一阶线性微分方程）（一阶线性微分方程）五、小结1.1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程: :分离变量法分离变量法（1）分离变量）分离变量;（2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.可分离变量的微分方程解法：可分离变量的微分方程解法：3.线性非齐次方程线性非齐次方程2.齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法线性非齐次方程的解法线性非齐次方程的解法思考题思考题1.求解微分方程求解微分方程2.方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答为所求解为所求解.2.方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.练练 习习 题题练习题答案练习题答案