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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微
2、分方程来处理，使问题简单化。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一 有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分
3、离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数
4、学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变
5、量法章分离变量法初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若l=1,a=10时的震动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例3 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例4 求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函
6、数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与
7、特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令带入方程：令例5 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例6 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学
8、物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物
9、理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例7 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例8 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程
10、与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程例9 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例10 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2
11、 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其它为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例12 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其他为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例13 求下列定解问题解：数学物理方程与
12、特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例13 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例14 求下列定解问题解法一：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解法二：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常用本征方程 齐次边界条件
