《线性代数习题-5&》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数习题-5&（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数课程考试信息线性代数课程考试信息考试时间考试时间：2014年年1月月16日，日， 上午上午8：3011：00考试地点考试地点：东九楼东九楼 A 107, A203, A 209, A211, A212, A213,考试答疑：考试答疑：1月日，上午月日，上午&下午下午 科技楼南科技楼南602#习题习题-5&6矩阵相似矩阵相似二次型二次型第第5章学习要点：章学习要点：特征值的求法特征值的求法：n定义：定义： 数数 和向量和向量X 0，AX= X.n求特征多项式求特征多项式 I A =0的根的根n已知矩阵已知矩阵A的特征值的特征值 ,则矩阵多项式则矩阵多项式g(A)的的特征值为特征值为g(
2、).n如果如果A满足条件满足条件g(A)=0,则则A的特征值满足条的特征值满足条件件g( )=0.特征向量的求法特征向量的求法:n定义：使定义：使AX= X的非零向量的非零向量X.n线性方程组线性方程组( I-A)X=0的非零解的非零解.第第5章学习要点：章学习要点：矩阵的相似关系矩阵的相似关系n矩阵的相似不变性矩阵的相似不变性: A B (P-1AP=B),则有则有nr(A)=r(B)n A = B n I-A = I-Bnn矩阵相似对角矩阵的充要条件矩阵相似对角矩阵的充要条件nn阶方阵有阶方阵有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量n矩阵的矩阵的t重特征值有重特征值有t个线性无关的特征
3、向量个线性无关的特征向量 n r( iI A)=tn矩阵相似于对角矩阵的求法矩阵相似于对角矩阵的求法第第5章学习要点：章学习要点：n阶方阵阶方阵 V.S. n阶实对称矩阵阶实对称矩阵n阶方阵的特征值有可能为复数阶方阵的特征值有可能为复数. n阶实对称矩阵的特征值是实数阶实对称矩阵的特征值是实数. n阶方阵对于不同特征值的特征向量线性无关阶方阵对于不同特征值的特征向量线性无关. n阶实对称矩阵对于不同特征值的特征向量正阶实对称矩阵对于不同特征值的特征向量正交交. n阶方阵不一定相似于对角矩阵阶方阵不一定相似于对角矩阵. n阶实对称矩阵一定相似而且可以正交相似于阶实对称矩阵一定相似而且可以正交相似
4、于对角矩阵对角矩阵.第第6章学习要点章学习要点：二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示nn个变元二次型的矩阵是个变元二次型的矩阵是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵.n二次型的秩被定义为矩阵的秩二次型的秩被定义为矩阵的秩.n二次型化为标准形的问题等价于是对称矩阵合同于二次型化为标准形的问题等价于是对称矩阵合同于对角矩阵的问题对角矩阵的问题n矩阵的特征值可导出矩阵的惯性指数矩阵的特征值可导出矩阵的惯性指数n二次型正定当且仅当矩阵是正定矩阵二次型正定当且仅当矩阵是正定矩阵.实对称矩阵的合同关系实对称矩阵的合同关系:n合同的定义合同的定义n合同的不变性合同的不变性:秩秩, 对称性对称性,惯性指数惯性指数,正定性正
5、定性n矩阵合同的充要条件是惯性指数相同矩阵合同的充要条件是惯性指数相同.第第6章学习要点：章学习要点：二次型化为标准型的方法二次型化为标准型的方法n行列对称初等变换法行列对称初等变换法:n可将二次型化为标准形可将二次型化为标准形,标准形不唯一标准形不唯一.n可将二次型化为规范形可将二次型化为规范形,规范形是唯一的规范形是唯一的.n图形的形状会改变图形的形状会改变.n正交变换法正交变换法n只能将二次型化为标准形只能将二次型化为标准形,标准形由矩阵的特征标准形由矩阵的特征值确定值确定.n图形的形状不改变图形的形状不改变.第第6章学习要点：章学习要点：二次型的正定性二次型的正定性nn元二次型元二次型
6、f=XTAX正定的充要条件正定的充要条件n二次型的正惯性指数为二次型的正惯性指数为nn矩阵的特征值全部大于零矩阵的特征值全部大于零.n矩阵矩阵A的顺序主子式全部大于零的顺序主子式全部大于零.n矩阵矩阵A合同于单位矩阵合同于单位矩阵: PTAP=In存在一个正定矩阵存在一个正定矩阵B, 使得使得A=BA=B2 2. .n n存在可逆矩阵存在可逆矩阵存在可逆矩阵存在可逆矩阵C,C,使得使得使得使得A=CA=CT TC C. . 判断题判断题1.如果如果AB，则则A和和B相似于同一个对角矩阵相似于同一个对角矩阵D.2.设设 是矩阵是矩阵A的特征值，则线性方程组的特征值，则线性方程组 ( 2I A2
7、)X= 0 有非零解有非零解.3.矩阵矩阵A的对应于非零特征值的特征向量是矩阵的对应于非零特征值的特征向量是矩阵A的列向量的线性组合的列向量的线性组合.4.若对称矩阵若对称矩阵A和和B的特征值相同，则的特征值相同，则AB .5.设矩阵设矩阵A 0，存在正整数，存在正整数k，使得使得Ak=0，则矩则矩阵阵A不可相似对角化。不可相似对角化。6.设矩阵的特征多项式设矩阵的特征多项式 p( )= n+1, 则则A是可逆是可逆矩阵。矩阵。判断题判断题1.f=(x1 3x2+4x3 +5x4 2x5) 2是二次型是二次型.2.如果对称矩阵如果对称矩阵A的主对角线元素的主对角线元素a220，则，则A不是正定
8、矩阵不是正定矩阵.3.A是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵的充要条件是A正交相似与对角正交相似与对角形形.4.对称矩阵对称矩阵A和和B合同的充要条件是合同的充要条件是1.它们的特征值相同它们的特征值相同.2.惯性指数相同惯性指数相同.3.对于二次形的标准形相同对于二次形的标准形相同 5如果如果 1 t 0det(A)0, , 则则则则A A正定正定正定正定 . . 填空题与选择题填空题与选择题1.设矩阵设矩阵A的特征多项式的特征多项式p( )=(1)(3)(4) 3，则矩阵则矩阵A为为 阶矩阵阶矩阵；|A | = 。2.设矩阵设矩阵A=(aij )的特征值是的特征值是 1， 2， n，则则 的值
9、等于的值等于（1） （2） （3） （4）填空题与选择题填空题与选择题3 3 设矩阵设矩阵P 1 AP=B，又又A的关于特征值的特征向量为的关于特征值的特征向量为X，则则B的关于特征值的特征向量是：的关于特征值的特征向量是：（ 1） X，（，（2）PX， （3）P 1 X， （4）PTX 4 设矩阵设矩阵A满足条件满足条件|4I+A |=0， |A |= 1 ，则则 伴随矩伴随矩阵阵（3A）* 的特征值是的特征值是 .5设设 ，又，又 则则P 1 AP=B，则则（2B1 +I）的特征值是的特征值是 .6 二次形二次形f（x1, x2 , x 3 ,x 4 ）=(x1+2x2+4x3+ 3x4)
10、2的矩阵的矩阵为为 .填空题与选择题填空题与选择题7 二次形二次形f（x1, x2 , x 3）=x21+2x1x2 x22的规的规范形为范形为 .8 以下矩阵中合同的是以下矩阵中合同的是 ：(A) (B)(C) (D) 4 、 设设A是是3阶阶方方阵阵， i 0是是3维维向量，向量， A 1= 1 ， A 2= 2 2， A 3= 3 3则则下列等式中正确的是：下列等式中正确的是：（A）P=( 1 ， 2 ，3 3)，P1AP=（B）P=（ 2 ， 1 ， 3 ），），P1AP=（C）P=（ 1 ， 1+ 2 ， 3）P1AP=（D）P=（ 1 ，2 2 ，3 3），）， P1AP=思考题：
11、思考题：设设A为为3阶矩阵阶矩阵,将将A的第的第2行加到行加到第第1行得矩阵行得矩阵B，再将矩阵再将矩阵B的第的第1列的列的-1倍加到第倍加到第2列得列得C，记记 ，则下列正确的是：，则下列正确的是：（A）C=P 1 1 AP （B）C=PAP 1 1 （C）C=P T TAP （D）C=PAPTB B思考题设设A为为4阶矩阵，且阶矩阵，且A2+A=0，若，若A的秩等于的秩等于3，则则A相似于：相似于：（A) （B) （C) （D)D D计算题计算题1 设矩阵设矩阵 A= ，求求a， b，c满足满足的条件，使得的条件，使得A相似于对角形相似于对角形.2 设设 是空间是空间Rn 中的非零向量，中
12、的非零向量， T =2，矩阵矩阵A= T . 求矩阵的特征值。求矩阵的特征值。求矩阵的特征值。求矩阵的特征值。证明矩阵可以相似于对角矩阵。证明矩阵可以相似于对角矩阵。证明矩阵可以相似于对角矩阵。证明矩阵可以相似于对角矩阵。写出和矩阵相似的对角矩阵写出和矩阵相似的对角矩阵写出和矩阵相似的对角矩阵写出和矩阵相似的对角矩阵D D。计算题计算题计算题3 设设A 为为n 阶矩阵，满足阶矩阵，满足A 2 =A， r（A）= r ， 求求 A+I 。 4 设设1，2，2是是3阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值，的特征值， 是是A特征值特征值1所对应的特征向量，所对应的特征向量，1.求矩阵求矩阵A2.求求A 1
13、，3.求求Ak计算题计算题计算题5、 A为为3阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，A的秩为的秩为2，且，且（1）求）求A的所有特征值与特征向量的所有特征值与特征向量（2）求矩阵）求矩阵A6 设设 ， ， P 1 A*P=B，求矩阵（求矩阵（B+2I）的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。 计算题计算题5计算题7设二次形设二次形2y12 +by22 y32 是由二次形是由二次形 f(x1, x2, x3)=2x1 2+2x2 x3+ax32通过正交变换通过正交变换X=QY得到的。得到的。1.求参数求参数a 和和 b。2. 求正交矩阵求正交矩阵Q计算题计算题已知二次形已知二次形q（x1，x2，x3）=5
14、x1 2+ 5x2 2 +ax32 2x1 x2 +6x1 x3 6x2x3的秩为的秩为2，1.求参数求参数a2.指出指出q（x1，x2，x3） =1表示何种曲面表示何种曲面证明题证明题1 1设矩阵设矩阵A是是(n n) 正定矩阵正定矩阵. 证明证明 | I+A | 1.2. 设设 A=(aij) 是一个是一个(n n) 对称矩阵对称矩阵. 如果如果主对角线上的元素主对角线上的元素 aii 0 ， ajj 0, i j, 则则 A 是不定的是不定的. 证明题证明题3设设A是是3阶矩阵，阶矩阵， 1和和 2是是A的分别属于特的分别属于特征值征值 1，1的特征向量，向量的特征向量，向量 3满足：满
15、足：A 3 = 2 + 3 ，（1）证明）证明 1 ， 2， 3线性无关线性无关（2）令）令P=（ 1 ， 2 ， 3 ）求求P 1 AP。证明题证明题设矩阵设矩阵A为为n阶对称矩阵阶对称矩阵,考虑函数考虑函数R(x) R(x)= , x 0.如果矩阵如果矩阵A的特征值的特征值 1, 2, n, 排序为排序为 0 1 2 n. 证明证明 1 R(x) n.证明题证明题Let A be an (nn) nonzero matrix and there exist a positive integer k such that A k =0. Prove that i. i.The all eigenvalues of A are zero.ii.ii.A is not diagonalizable.
