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1、高等教育出版社高等教育出版社 高等教育电子音像出版社高等教育电子音像出版社第十一章 时间序列分析南京财经大学统计学系本章内本章内容容一、一、 时间序列的有关概念时间序列的有关概念二、二、 时间序列的因素分析时间序列的因素分析三、三、 平稳时间序列分析平稳时间序列分析时间序列的有关概念时间序列的有关概念时间序列含义时间序列含义、构成因素构成因素、 数学模型数学模型时间序列的基本概念：时间序列的基本概念：时间序列的因素分析时间序列的因素分析长期趋势分析: 图形描述：平稳时间序列平稳时间序列、非平稳时间序列非平稳时间序列、仅含长期趋势的序列仅含长期趋势的序列、含趋势和季节性的时间序列含趋势和季节性的
2、时间序列季节变动分析:移动平均法、趋势线法循环变动分析:季节变动及其测定目的、季节变动分析的原理与方法、循环变动及其测定意义、循环变动的测定方法(剩余法)平稳时间序列分析平稳时间序列分析ARMA模型识别: 平稳时间序列概述：模型参数估计:矩估计、极大似然估计平稳时间序列定义、常见时间序列模型相关函数定阶法、信息准则定阶法时间序列含义 把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序排列起来形成的数列，称为时间序列（数列），有时也称为动态数列。 任何一个时间序列都具有两个基本要素：一一是是现现现现象象象象所所所所属属属属的的的的时时时时间间间间、二二二二是是是是与与与与时时时时间间间间所所所所对对对对
3、应应应应的的的的指指指指标标标标值值值值时间时间序列的构成要素的构成要素 长期趋势长期趋势长期趋势长期趋势(Trend)(Trend)(Trend)(Trend) 季节变动季节变动季节变动季节变动(Seasonal Fluctuation)(Seasonal Fluctuation)(Seasonal Fluctuation)(Seasonal Fluctuation) 循环变动循环变动循环变动循环变动(Cyclical Variation)(Cyclical Variation)(Cyclical Variation)(Cyclical Variation) 不规则变动不规则变动不规则变动不
4、规则变动(Irregular Random Variation)(Irregular Random Variation)(Irregular Random Variation)(Irregular Random Variation)时间序列的数学模型时间序列的数学模型乘法模型乘法模型 ：Y=TSCIY=TSCI加法模型：加法模型：Y=T+S+C+IY=T+S+C+I平稳时间序列平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列既包含长期趋势，又包含季节变动既包含长期趋势，又包含季节变动移动移动平均法平均法 移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列移动平
5、均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列移动平均法是通过逐期移动时间序列，并计算一系列扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间扩大时间间隔后的序时平均数，最终形成一个新时间序列的方法。由于序列平均数有抽象数量差异的作用，序列的方法。由于序列平均数有抽象数量差异的作用，序列的方法。由于序列平均数有抽象数量差异的作用，序列的方法。由于序列平均数有抽象数量差异的作用，所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来
6、所以经过移动平均后得到的新序列相比原时间序列来说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序说，由其它因素而引起的变动影响被削弱了，对原序列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变列起到了修匀的作用，从而更清晰地呈现出现象的变动趋势。动趋势。动趋势。动趋势。移动平均法特点移动平均法特点移动平均对原数列有修匀作用，平均的时距数越大，对数列修匀作用越强。如果移动奇数项，则只需移动一次，且损失资料N-1项；如果移动
7、偶数项，则需移动两次，损失资料为N项。当数列包含季节变动时，移动平均时距项数N应与季节变动长度一致。适宜对数据进行修匀，但不适宜进行预测。趋势线法趋势线法趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分趋势线法是选择合适的趋势线，并利用回归分析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。析的方法建立趋势方程来拟合时间序列的方法。线性趋势方程的一般公式为：线性趋势方程的一般公式为：线性趋势方程的一般公式为：线性趋势方程的一般公式为：式中：式中：式
8、中：式中： 表示时间序列表示时间序列表示时间序列表示时间序列y y y y的长期趋势值；的长期趋势值；的长期趋势值；的长期趋势值；t t t t为时为时为时为时间标号；间标号；间标号；间标号；a a a a、b b b b为待定参数为待定参数为待定参数为待定参数【例【例【例【例11.211.211.211.2】利用例】利用例】利用例】利用例11.111.111.111.1的数据，建立时间序列的直线的数据，建立时间序列的直线的数据，建立时间序列的直线的数据，建立时间序列的直线趋势方程趋势方程趋势方程趋势方程【解】根据公式（【解】根据公式（【解】根据公式（【解】根据公式（11.211.211.21
9、1.2）计算得：）计算得：）计算得：）计算得：季节变动及其测定目的 季节变动是指客观现象因受自然因素或社会因素影响，而形成的有规律的周期性变动。 我们测定季节变动的意义主要在于认识规律、分析过去、预测未来。其目的一是通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的决策提供依据；二是为了对未来现象季节变动作出预测，以便提前作出合理的安排：三是为了当需要不包含季节变动因素的数据时，能够消除季节变动对数列的影响，以便更好地分析其他因素。季节变动分析的原理与方法 测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看可分为两种：一是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间序列直接去测定季节变动；二是根据剔除长期趋势后
10、的数据测定季节变动。原始资料平均法趋势剔除法原始资料平均法原始资料平均法原始资料平均法原始资料平均法例题例题注意注意若时间序列中不包含长期趋势和循环变动，则直若时间序列中不包含长期趋势和循环变动，则直若时间序列中不包含长期趋势和循环变动，则直若时间序列中不包含长期趋势和循环变动，则直接利用原序列进行同期平均和总平均，消除不规接利用原序列进行同期平均和总平均，消除不规接利用原序列进行同期平均和总平均，消除不规接利用原序列进行同期平均和总平均，消除不规则变动，计算出季节指数，常用按季则变动，计算出季节指数，常用按季则变动，计算出季节指数，常用按季则变动，计算出季节指数，常用按季( ( ( (月月月
11、月) ) ) )平均法。平均法。平均法。平均法。基本步骤如下：基本步骤如下：基本步骤如下：基本步骤如下：1. 1. 1. 1. 计算同月（或同季）的平均数计算同月（或同季）的平均数计算同月（或同季）的平均数计算同月（或同季）的平均数2. 2. 2. 2. 计算全部数据的总月（总季）平均数计算全部数据的总月（总季）平均数计算全部数据的总月（总季）平均数计算全部数据的总月（总季）平均数3. 3. 3. 3. 计算季节指数（计算季节指数（计算季节指数（计算季节指数（S S S S） 注意事项 运用此方法的基本假定是原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动，通过各年同期数据的平均，可以消除不规则变动，而
12、且当平均的期间与循环周期基本一致时，也在一定程度上消除了循环波动。当时间序列存在明显的长期趋势时，会使季节变动的分析不准确，如存在明显的上升趋势时，年末季节变动指数会远高于年初季节变动指数；当存在明显的下降趋势时，年末的季节指数会远低于年初的季节指数。所以只有当数列的长期趋势和循环变动不明显时，运用原始资料平均法才比较比较合适。 趋势剔除法 如果数列包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，为了更准确地计算季节指数，就应当首先设法从数列中消除趋势因素，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。数列的长期趋势可用移动平均法或趋势方程拟合法测定。 操作步骤操作步骤操作步骤乘法
13、模型当时间序列包含长期趋势和循环变动时，趋势剔除法的当时间序列包含长期趋势和循环变动时，趋势剔除法的当时间序列包含长期趋势和循环变动时，趋势剔除法的当时间序列包含长期趋势和循环变动时，趋势剔除法的基本步骤如下：基本步骤如下：基本步骤如下：基本步骤如下：1. 1. 1. 1. 用移动平均法、趋势线法等方法消除季节变动（用移动平均法、趋势线法等方法消除季节变动（用移动平均法、趋势线法等方法消除季节变动（用移动平均法、趋势线法等方法消除季节变动（S S S S）和不规则（和不规则（和不规则（和不规则（I I I I）变动，计算出长期趋势和循环变动值）变动，计算出长期趋势和循环变动值）变动，计算出长期
14、趋势和循环变动值）变动，计算出长期趋势和循环变动值(TC)(TC)(TC)(TC)；2. 2. 2. 2. 再从乘法模型中剔除再从乘法模型中剔除再从乘法模型中剔除再从乘法模型中剔除(TC)(TC)(TC)(TC)，从而得到不存在长期，从而得到不存在长期，从而得到不存在长期，从而得到不存在长期趋势的趋势的趋势的趋势的(SI)(SI)(SI)(SI)，即，即，即，即3. 3. 3. 3. 再用按季再用按季再用按季再用按季( ( ( (月月月月) ) ) )平均法消除平均法消除平均法消除平均法消除I I I I，得到季节指数。，得到季节指数。，得到季节指数。，得到季节指数。循环变动及其测定的意义循环
15、变动及其测定的意义循环变动及其测定的意义循环变动及其测定的意义循环变动是指变动周期大于一年的有规律的重复循环变动是指变动周期大于一年的有规律的重复循环变动是指变动周期大于一年的有规律的重复循环变动是指变动周期大于一年的有规律的重复变动，这一点不同于季节波动。一般而言，经济变动，这一点不同于季节波动。一般而言，经济变动，这一点不同于季节波动。一般而言，经济变动，这一点不同于季节波动。一般而言，经济变量的循环变动通常表现为经济发展的复苏、高变量的循环变动通常表现为经济发展的复苏、高变量的循环变动通常表现为经济发展的复苏、高变量的循环变动通常表现为经济发展的复苏、高涨、衰退、萧条的周期性变化过程。在
16、时间序列涨、衰退、萧条的周期性变化过程。在时间序列涨、衰退、萧条的周期性变化过程。在时间序列涨、衰退、萧条的周期性变化过程。在时间序列的波动中，长期趋势相对稳定，季节变动是由于的波动中，长期趋势相对稳定，季节变动是由于的波动中，长期趋势相对稳定，季节变动是由于的波动中，长期趋势相对稳定，季节变动是由于季节更换引起的一种有规则的变动，将长期趋势季节更换引起的一种有规则的变动，将长期趋势季节更换引起的一种有规则的变动，将长期趋势季节更换引起的一种有规则的变动，将长期趋势和季节变动分解出来剩余的变动就是循环变动和和季节变动分解出来剩余的变动就是循环变动和和季节变动分解出来剩余的变动就是循环变动和和季
17、节变动分解出来剩余的变动就是循环变动和不规则变动。由于不规则变动一般数值较小，其不规则变动。由于不规则变动一般数值较小，其不规则变动。由于不规则变动一般数值较小，其不规则变动。由于不规则变动一般数值较小，其成因不详且数值较小，其测定意义不大。因此，成因不详且数值较小，其测定意义不大。因此，成因不详且数值较小，其测定意义不大。因此，成因不详且数值较小，其测定意义不大。因此，循环波动是经济波动的主要成分。循环波动是经济波动的主要成分。循环波动是经济波动的主要成分。循环波动是经济波动的主要成分。测定循环变动的目的在于发现循环变动的规律，测定循环变动的目的在于发现循环变动的规律，测定循环变动的目的在于
18、发现循环变动的规律，测定循环变动的目的在于发现循环变动的规律，为预测提供依据为预测提供依据为预测提供依据为预测提供依据 循环变动的测定方法：剩余法循环变动的测定方法：剩余法循环变动的测定方法：剩余法循环变动的测定方法：剩余法测定循环波动的思路：先将测定循环波动的思路：先将测定循环波动的思路：先将测定循环波动的思路：先将S S S S、T T T T、I I I I从原始数据从原始数据从原始数据从原始数据Y Y Y Y中剔除，中剔除，中剔除，中剔除，剩余的部分作为循环波动的估计值，常用的方法是剩余剩余的部分作为循环波动的估计值，常用的方法是剩余剩余的部分作为循环波动的估计值，常用的方法是剩余剩余
19、的部分作为循环波动的估计值，常用的方法是剩余法。假定时间序列各影响因素满足乘法模型法。假定时间序列各影响因素满足乘法模型法。假定时间序列各影响因素满足乘法模型法。假定时间序列各影响因素满足乘法模型Y=TSCIY=TSCIY=TSCIY=TSCI，基本步骤如下：，基本步骤如下：，基本步骤如下：，基本步骤如下：1. 1. 1. 1. 计算季节指数（计算季节指数（计算季节指数（计算季节指数（S S S S），用），用），用），用Y Y Y Y除以季节指数除以季节指数除以季节指数除以季节指数S S S S，得无季节，得无季节，得无季节，得无季节变动数据变动数据变动数据变动数据TCITCITCITCI；
20、2. 2. 2. 2. 求长期趋势求长期趋势求长期趋势求长期趋势T T T T；3. 3. 3. 3. 用（用（用（用（TCITCITCITCI）除以）除以）除以）除以T T T T，得无季节无长期趋势的数据，得无季节无长期趋势的数据，得无季节无长期趋势的数据，得无季节无长期趋势的数据（CICICICI）4. 4. 4. 4. 利用移动平均法来消除利用移动平均法来消除利用移动平均法来消除利用移动平均法来消除I I I I，得循环变动，得循环变动，得循环变动，得循环变动C C C C。平稳时间序列所谓平稳时间序列，指如果序列 二阶矩有限 , 且满足如下条件：对任意整数 为常数；对任意整数 自协方
21、差函数 仅与时间间隔 有关，和起止时刻 无关。即则称序列 为宽平稳（或协方差平稳，二阶矩平稳）序列。当 时，自协方差函数就是方差自回归模型（AR：Auto-regressive）；滑动平均模型（MA：Moving-Average）；自回归滑动平均模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。常见时间序列模型P阶自回归模型AR(P)模型其中 称为自回归系数， 为白噪声序列上式称为是p阶自回归模型，简记为AR(p)当 满足一定条件时，序列是平稳的零均值时间序列 满足如下形式q阶滑动平均模型MA(q)模型其中 称为滑动平均系数， 为白噪声序列上式称为是q阶滑动平均模
22、型，简记为MA(q)当阶数q有限时，序列是平稳的零均值时间序列 满足如下形式自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型(ARMA)(ARMA)(ARMA)(ARMA)模型模型模型模型上式称为是p阶自回归模型q阶滑动平均模型，简记为AMMA(p, , , ,q).当p=0, AMMA(p, , , ,q)MA(q)一般ARMA模型的数学形式为当 满足一定条件时，序列是平稳的.从以上定义中可以看出,AR模型和MA模型即为ARMA模型的特例当q=0, AMMA(p, , , ,q)MA(p)相关函数定阶法采用ARMA模型对现有的数据进行建模，首要的问题是确定模型的阶数，
23、即相应的p,q的值，对于ARMA模型的识别主要是通过序列的自相关函数以及偏自相关函数进行的。序列的自相关函数度量了 与 之间的线性相关程度，用 表示，定义如下其中 表示序列的方差自相关函数刻画的是与之间的线性相关程度，而有时候 与 之间之所以存在相关关系，可能是因为和分别与它们的中间部分 之间存在关系，如果在给定 的前提下，对 和 之间的条件相关关系进行刻画，则要通过偏自相关函数 进行，所谓偏自相关函数的可由下面的递推公式得到：对于三类模型AR, MA, ARMA，它们各自的自相关函数以及偏自相关函数特点如下表所示（具体推导可参阅相关时间序列分析书籍）这里的拖尾指模型自相关函数或偏自相关函数随
24、着时滞的增加呈现指数衰减并趋于零，而截尾则是指模型的自相关函数或偏自相关函数在某步之后全部为零。序列的自相关函数和偏自相关函数所呈现出的这些性质可用于模型的识别 最优信息准则定阶法最优信息准则定阶法AICAIC准则准则如果采用ARMA(m,n)模型对序列进行拟合，得到序列的残差方差为 ，序列的均值 也是未知的，此时模型的待估参数个数为m+n+1,定义AIC为：选择不同的m, n对序列进行拟合，计算相应的AIC的值，然后改变模型的阶数，选择使得上式最小的m, n作为相应的阶数N为观测值的个数(1)矩估计,也是一种点估计,这种估计方法简单但比较粗略, ARMA模型的参数估计结果,主要是通过自相关函数满足的关系式得到的.教材中介绍了AR模型的估计,ARMA,MA模型的参数估计结果可参见-王振龙(2)极大似然估计,最小二乘估计,其理论推导比较复杂,在相关软件中都可以直接实现.模型参数估计模型参数估计
