直线和平面的投影课件.ppt

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1、 第第 二二 章章 点、直线和平面的点、直线和平面的投影投影2-1 2-1 投影的基本知识投影的基本知识2-2 2-2 点的投影点的投影2-3 2-3 直线的投影直线的投影2-4 2-4 平面的投影平面的投影2-5 2-5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置2-6 2-6 换面法换面法要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置的投影特性解决有关问题。掌握换面法的投影特性解决有关问题。掌握换面法21 投影的基本知识投影的基本知识投影方法投影方

2、法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的

3、距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A A的的投投射线与投影面射线与投影面P P的交点即的交点即为点为点A A在在P P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影点在一个投影面上的投影不能确定点面上的投影不能确定点的空间位置。的空间位置。一、点在一个投影面上的投影一、点在一个投影面上的投影a 22 22 点的投影点的投影解决办法？解决办

4、法？HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W W面）面）投影轴投影轴oXZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a a 点点A A的正面投影的正面投影a a点点A A的水平投影的水平投影a a 点点A A

5、的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa AZYWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azxXYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律: a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个

6、投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作4545线线使使a a a az z= =aaaax x解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 三三 点的坐标与投影之间的关系点的坐标与投影之间的关系YWxXYZOVHWAaa a xaazayZaza XYHayOaaxaya xzyzyxyz四四 投影面和投影轴上的点投影面和投影轴上的点课本课本P36五、两点的相对位置五、两点的相对位置 两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的指两点在空间的上下、前上下、前后、左右后、左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x x 坐标大的在左坐标大的在左 y

7、y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB B点在点在A A点之前、之点之前、之右、之下。右、之下。XYHYWZ六、重影点：六、重影点： 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影重合投影重合为一点为一点时，则称此两点时，则称此两点为为该投影面该投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A A、C C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a caa a b b b23 23 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，

8、两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 abab=AB=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 abab= =ABcosABcosABabAMBabm 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾

9、斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投

10、影面上的投影平行于相应的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 反映线反映线段实长。且垂直段实长。且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f ) 一般位置直线一般位置直

11、线投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即: : 都不反映空间线段的都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾实大，且与三根投影轴都倾斜。斜。abb a b a （1 1）abab, , abab, , abab对于三个投影轴既不平对于三个投影轴既不平行也不垂直行也不垂直（2 2） abab, , abab, , abab都较空间线段都较空间线段ABAB缩短了。缩短了。 其具体长度为：其具体长度为： abab= =ABcosABcos , ,abab=ABcos,abABcos,ab=ABcosABcosHWVab abba z

12、YwYHXab abba ab=ABcosab=ABcosab=ABcos一般位置直线与倾角三个投影都缩短，且都倾斜于相应的投影轴ABVHbb a A0B0ZB-ZAYB-YAZB-ZAab ab实长二、三角形法：一般位置直线的实长求法二、三角形法：一般位置直线的实长求法|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab对面倾角和实长ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|对面倾角与实长XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|对面倾角与实长例：求线段CD的实长及

13、角cdcdYd -Yc实长dccd实长直角三角形法要点2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系角角水平投影水平投影z z坐标差坐标差线段实长线段实长角角正面投影正面投影 y y坐标差坐标差线段实长线段实长角角侧面投影侧面投影x x坐标差坐标差线段实长线段实长3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错三、直线与点的相对位置三、直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, , 则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空的同名投影分割

14、成与空间相同的比例。即：间相同的比例。即： 若点的投影有一个若点的投影有一个不在直线的同名投影上，不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。则该点必不在此直线上。判别方法判别方法：AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理点点C不不在在直线直线AB上上例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一

15、判断法另一判断法?三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平空间两直线平行，则其各行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 空间两直线之比空间两直线之比等于其同名投影之比等于其同名投影之比abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位对于一般位置直线，只要有两个置直线，只要有两个同名投影互相平行，同名投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平

16、行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于特殊位置对于特殊位置直线，只有两个同名投直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线影互相平行，空间直线不一定平行。不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点影必相交，且交点的投影必符合空间一点

17、的投影规律的投影规律。反之亦然。反之亦然。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc1 (2 )3(4 ) 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什

18、么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？ 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。影面上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。d abca

19、 b c dAB为正平线为正平线, 正面投影反映直正面投影反映直角。角。.反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。 小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位特殊位置置 直线的投影特性直线的投影特性。 点与直线及两直线的相对位置的判断点与直线及两直线的相对位置的判断方方 法及投影特性。法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特直角定理，即两直线垂直时的投影特性。性。重点掌握：重点掌握：一、点的投影规律一、

20、点的投影规律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离面的距离 a a OZ轴轴二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直

21、的投影面上的投影积聚为一在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。轴。三、直线上的点三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交点是两直线的共有同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。点，且符合空间一个点的投影规律。 同

22、名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符不符合空间一个点的投影规律。合空间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线是两直线上一对重影点的投影。上一对重影点的投影。五、相互垂直的两直线的投影特性五、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。 两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反

23、映直角。直角定理直角定理2.4 2.4 平面的投影平面的投影一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形迹线表示法迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW平面与投影面的交线，叫做平面的迹线。二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂

24、直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影

25、面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚

26、性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。相应的投影轴平行的直线。投影特性1 、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形2 、不反映、 的真实角度 abcbacababbaccbacCAB 一般位置平面一般位置平面三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二

27、二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。 平面上取任意直线平面上取任意直线abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一

28、解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解bckada d b c ada d b c k bc例例2：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补

29、全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直。垂直。一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括 直线与平面平行直线与平面平行定理：定理： 若一直线平行于平面上的某若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平一直线，则该直线与此平面必相互平行。行。n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过

30、：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直投影面垂直面面相互平行，则它们相互平行，则它们具有积聚性具有积聚性的那组投的那组投影必相互平行。影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交问题二、相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交

31、 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线交点是直线与平面的共有点。与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。一个处于特殊位置的情况。abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成一面，其水平投影积

32、聚成一条直线，该直线与条直线，该直线与mnmn的交的交点即为点即为K K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，其水平投影积聚成一个点，故交点故交点K K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求

33、交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，位于平面上，在前；点在前；点位于位于MNMN上，在上，在后。故后。故k k 2 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是交线是两平面的共有线，两平面的共有线，同时同时交线上的点都是两平交线上的点都是两平面的共有点。面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处只讨论两平

34、面中至少有一个处于特殊位置的情况。于特殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，它们的正面，它们的正面投影都积聚成直线。投影都积聚成直线。交线交线必为一条正垂线必为一条正垂线，只要求只要求得交线上的一个点便可作得交线上的一个点便可作出交线的投影。出交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可从正面投影上可

35、看出，在交线左侧，平面看出，在交线左侧，平面ABCABC在上，其水平投影可在上，其水平投影可见。见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a a b b 与与e e f f 的交点的交点m m 、 b b c c 与与f f h h 的交点的交点n n 即为两个共有点即为两个共有点的正面投影，故的正面投影，故m m n n 即即MNMN

36、的的正面投影正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FHFH上，点上，点在在BCBC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fhfh可见，可见，n2n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N点的水平投点的水平投影影n n位于位于defdef的外面，的外面，说明点说明点N N位于位于DEFDEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于位于DEFDEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABCABC和和DEFDEF的交线应为的交线应为MKMK。nn m kmk 互交互交bak三三 垂直问题垂直问题1、直线与平面

37、垂直、直线与平面垂直定理：若一直线垂直于平面，则该直线的水平定理：若一直线垂直于平面，则该直线的水平投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影，而投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影，而该直线的正面投影一定垂直于该平面上的平面投影该直线的正面投影一定垂直于该平面上的平面投影NKABn证明：证明：NK垂直平面垂直平面PPHAB是平面是平面P内的一条水平线内的一条水平线则则NK垂直于垂直于AB则则nk垂直于垂直于ab同理可证直线同理可证直线NKNK的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影例：过点例：过点M作直线垂直于三角形作直线垂直于三角形ABC所确定的平面所确定

38、的平面mbmacabceeddnn2、二平面垂直、二平面垂直若一平面包含另一平面的垂线，则此二平面相互垂直若一平面包含另一平面的垂线，则此二平面相互垂直 作平面作平面Q包含垂直于平面包含垂直于平面P的直线的直线AB 作平面作平面Q垂直于平面垂直于平面P内的直线内的直线CDPQABPQCD例：过直线例：过直线MN作一平面使它垂直于作一平面使它垂直于ABC所确定的平面所确定的平面abcabcmnmn1122 小小 结结 重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直

39、线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边

40、数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行

41、问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。于另一个平面上的一对相交直线。四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上交

42、点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。的投影特性画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。有点，求出交线。2.6 2.6 换面法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？

43、如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置平面的真实大小？ 换换 面面 法：法： 物体本身在空间的位置不动，而物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使投影面，使物体相对新的投影面处于解题物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置所需要的有利位置，然后将物体向新投影，然后将物体向新投影面进行投射。面进行投射。解决方法：更换投影面。解决方法：更换投影面。VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1. 1. 新投影面必须对空间物体处于新投影面必须对空间物体处于最有利的最有利的解

44、解 题位置。题位置。 平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 2. 新投影面必须新投影面必须垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHA a a axX 更换一次投影面更换一次投影面 旧投影体系旧投影体系 X VH 新投影体系新投影体系P1HX1 A点的两个投影：点的两个投影：a， a A点的两个投影：点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.ax1

45、 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。到原投影轴的距离。axa 一般规律：一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。于新投影轴。. XVHaa ax更换更换H面面 求新投影的作图方法求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离线，并

46、在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa X1P1H a1axax1ax1更换更换V面面a1作图规律：作图规律：. 更换两次投影面更换两次投影面先把先把V面换成平面面换成平面P1， P1 H，得到中间新投影体系得到中间新投影体系:P1HX1 再把再把H面换成平面面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系得到新投影体系: X2 P1 P2 新投影体系的建立新投影体系的建立按次序更换按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 ax2 a aXVH 求新投影的作图方法求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2

47、 作图规律作图规律 a2a1 X2 轴轴 a2ax2 = aax1a1 axax1 .VHAB a b ab四、换面法的四个基本问题四、换面法的四个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线把一般位置直线变换成投影面平行线用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投影体系中，投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空间分析空间分析： 换换H面行吗？面行吗？不行！不行！作图：作图：例：求直线例：求直线AB的实长及与的实长及与H面的夹角。面的夹角。 a b abXVH新投影轴的位置？新投影轴的位置？a1b1与与ab平行。平行。 .a1b1VH a aXB b bA2. 把一般位置直线变换

48、成投影面垂直线把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？轴的位置？a2 b2ax2a2 b2 .与与a1b1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直线变换一般位置直线变换成投影面垂直线，需经成投影面垂直线，需经几次变换？几次变换？ a b c abcdVHABCDX d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投

49、影面的如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1 d1空间分析：空间分析： 在平面内在平面内取取一条投影面平行线一条投影面平行线，经一次换面后变换成经一次换面后变换成新投影面的垂直线，新投影面的垂直线，则该平面变成新投影则该平面变成新投影面的垂直面。面的垂直面。作图方法：作图方法：两平面垂直需满足什么条件？两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？能否只进行一次变换？ 思考：思考：若变换若变换H面，需在面内面，需在面内取什么位置直线？取什么位置直线？正平线！正平线！ a b c ac

50、bXVH例：把例：把三角形三角形ABC变变换换成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 图图 过过 程：程： 在平面内取一条水平在平面内取一条水平 线线AD。d d 将将AD变换成新投影变换成新投影 面的垂直线。面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪反映平面对哪个投影面的夹角？个投影面的夹角？.a1 b1需经几次变换？需经几次变换？一次换面一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24. 把一般位置平面变换成投影面平行面把一般位置平面变换成投影面平行面ab

51、 a c b XVHc作作 图：图：AB是水平是水平线线空间分析：空间分析：a2c2b2c1X2轴轴的位置？的位置？平面的实形平面的实形.X1HP1.与其平行与其平行b1 距离距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例1：求点：求点C到直线到直线AB的距离，并求垂足的距离，并求垂足D。c c b a abXVH 五、换面法的应用五、换面法的应用 如下图：当直线如下图：当直线AB垂直于投影面时，垂直于投影面时，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映实长。实长。APBDCca b d作图作图: 求求C点到直线点到直线AB的距离，的距离，就是求垂线就是求垂线CD的实长。的实长。空间

52、及投影分析：空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过过c1作线平行于作线平行于x2轴。轴。.如何确定如何确定d1点的位置？点的位置？b a abcdc 例例2：已知两交叉直线：已知两交叉直线AB和和CD的公垂线的长度的公垂线的长度 为为MN， 且且AB为水平线，求为水平线，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径圆半径=MNn m 当直线当直线AB垂直于投影垂直于投影面时，面时，MN平行于投影面，平行于投影面，这时它的投影这时它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1

53、n1B作图：作图：请注意各点的投请注意各点的投影如何返回？影如何返回？求求m点是难点。点是难点。.空间及投影分析空间及投影分析：AB与与CD都平行于投影面时，其投影都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（的夹角才反映实大（60），因此需将），因此需将AB与与C点所确定的平点所确定的平面变换成投影面平行面。面变换成投影面平行面。例例3: 过过C点作直线点作直线CD与与AB相交成相交成60角。角。 d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 图：图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？几个解？两个解！两个解！ 已知点已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线是等边三角形的顶

54、点，另两个顶点在直线AB上，上，求等边三角形的投影。求等边三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D点的投影点的投影如何返回？如何返回？.P2P1X2H P1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的两面角。的两面角。空间及投影分析空间及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。时所得两交线之间的夹角。 在投影图中在投影图中, , 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面

55、，它们的投影积聚成直线，直线间的两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。夹角为所求。.小小 结结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法换面法。一、一、 换面法就是换面法就是改变投影面的位置改变投影面的位置，使它与所给物，使它与所给物 体或其几何元素处于体或其几何元素处于解题所需的特殊位置解题所需的特殊位置。二、二、 换面法的关键是要注意换面法的关键是要注意新投影面的选择条件新投影面的选择条件， 即必须使即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关新投影面与某一原投面保持垂直关系系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影同时又有利于

56、解题需要，这样才能使正投影规规 律继续有效。律继续有效。三、三、点的变换规律是换面法的作图基础点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线把一般位置直线变成投影面垂直线1. 把一般位置直线变成投影面平行线把一般位置直线变成投影面平行线3. 把一般位置平面变成投影面垂直面把一般位置平面变成投影面垂直面4. 把一般位置平面变成投影面平行面把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换一次投影面变换两次

57、投影面变换两次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中中 物体与原投影面的相对位置物体与原投影面的相对位置，并把这些，并把这些条件条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。抽象成几何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素素对新投影面应处于什么样的特殊位置对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果确无误地求得结果，又能将结果返回到原投返回到原投 影体系中去。影体系中去。作业作业:习题册习题册