《【全程复习方略】高中数学人教A版选修22课件：1.4 生活中的优化问题举例高考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】高中数学人教A版选修22课件：1.4 生活中的优化问题举例高考（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4生活中的优化问题举例【题型示范型示范】类型一型一 几何中的最几何中的最值问题【典例典例1 1】(1)(1)用用长为18m18m的的钢条条围成一个成一个长方体形状的框架，要方体形状的框架，要求求长方体的方体的长与与宽之比之比为2121，则该长方体的最大体方体的最大体积是是_m_m3 3. .(2)(2)如如图，等腰梯形，等腰梯形ABCDABCD的三的三边ABAB，BCBC，CDCD分分别与函数与函数y=- xy=- x2 2+2+2，x-2x-2，22的的图象切于点象切于点P P，Q Q，R.R.求梯形求梯形ABCDABCD面面积的最小的最小值. .【解解题探究探究】1.1.题(1)(1)
2、中中应设哪个未知量哪个未知量? ?如何表示其他的量如何表示其他的量? ?2.2.题(2)(2)中如何巧中如何巧设切点坐切点坐标? ?在曲在曲线上一点上一点处的切的切线方程公式方程公式是什么是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.根据题意知，长方体的所有棱长和是根据题意知，长方体的所有棱长和是18m18m，故，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可数来求其最大值即可. .2.2.可设点可设点P P的坐标为的坐标为( (t t，- t- t2 2+2)+2)(0t2)(0t2)，过曲线上一点的切，过曲线上一点
3、的切线方程公式是线方程公式是y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).【自主解答自主解答】(1)(1)设该长方体的宽是设该长方体的宽是x mx m，由题意知，其长是，由题意知，其长是2x m2x m，高是，高是 则该长方体的体积则该长方体的体积V(x)=xV(x)=x2x2x( -3x)=-6x( -3x)=-6x3 3+9x+9x2 2，由，由V(x)=0V(x)=0，得到，得到x=1x=1，且当，且当0 0x x1 1时，时，V(x)V(x)0 0；当；当1 1x x 时，时，V(x)V(x)0 0，即体积，即体积函数函数V(x)V(x)在在x=
4、1x=1处取得极大值处取得极大值V(1)=3V(1)=3，也是函数，也是函数V(x)V(x)在定义域在定义域上的最大值上的最大值所以该长方体体积最大值是所以该长方体体积最大值是3 m3 m3 3答案：答案：3 3(2)(2)设梯形设梯形ABCDABCD的面积为的面积为S S，点，点P P的坐标为的坐标为(t(t，- t- t2 2+2)(0t2)+2)(0t2)由题意得，点由题意得，点Q Q的坐标为的坐标为(0(0，2)2)，直线，直线BCBC的方程为的方程为y=2y=2因为因为y=- xy=- x2 2+2+2，所以，所以y=-xy=-x，所以，所以y|y|x=tx=t=-t=-t，所以直线
5、所以直线ABAB的方程为的方程为y-(- ty-(- t2 2+2)=-t(x-t)+2)=-t(x-t)，即：即：y=-tx+ ty=-tx+ t2 2+2+2，令，令y=0y=0得，得，所以所以A( A( ，0).0).令令y=2y=2得，得，x= tx= t，所以，所以B( tB( t，2)2)，所以所以令令S=0S=0得得t= .t= .故当故当t= t= 时，时，S S有最小值为有最小值为所以梯形所以梯形ABCDABCD的面积的最小值为的面积的最小值为【方法技巧方法技巧】1 1解决面积、体积最值问题的思路解决面积、体积最值问题的思路解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体
6、积解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值数的最值2.2.利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路3.3.解决优化问题时应注意的问题解决优化问题时应注意的问题(1)(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域数的定义域. .(2)(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值一般地，通过函数的极值来求得函数的最值. .如果函数如果函数f(x)f(x)在给定区间内只有一个极值点或
7、函数在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)f(x)在开区间上只有一个在开区间上只有一个点使点使f(x)=0f(x)=0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较. .【变式式训练】某出版社出版一某出版社出版一读物，一物，一页上所印文字占去上所印文字占去150cm150cm2 2，上、下要留，上、下要留1.5cm1.5cm空白，左、右要留空白，左、右要留1cm1cm空白，出版商空白，出版商为节约纸张，应选用怎用怎样尺寸的尺寸的页面面? ?【解题指南解题指南】设所印文字区域的
8、左右长为设所印文字区域的左右长为x cmx cm，确定纸张的长，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论结论【解析解析】设所印文字区域的左右长为设所印文字区域的左右长为x cmx cm，则上下长为，则上下长为 cmcm，所以纸张的左右长为，所以纸张的左右长为(x+2)cm(x+2)cm，上下长为，上下长为( +( +3)cm3)cm，所以纸张的面积，所以纸张的面积S=(x+2)( +3)=3x+ +156S=(x+2)( +3)=3x+ +156所以所以S= S= ，令，令S=0S=0解得解得x=10x=10当
9、当x x1010时，时，S S单调递增；当单调递增；当0 0x x1010时，时，S S单调递减单调递减所以当所以当x=10x=10时，时，S Sminmin=216(cm=216(cm2 2) )，此时纸张的左右长为，此时纸张的左右长为12 cm12 cm，上，上下长为下长为18 cm18 cm故当纸张的边长分别为故当纸张的边长分别为12 cm12 cm，18 cm18 cm时最节约时最节约【补偿训练】已知三棱已知三棱锥S-ABCS-ABC的底面是正三角形，点的底面是正三角形，点A A在在侧面面SBCSBC上的射影上的射影H H是是SBCSBC的垂心，的垂心，SA=aSA=a，则此三棱此三棱
10、锥体体积的最大的最大值是是_._.【解题指南解题指南】说明点说明点S S在底面在底面ABCABC上的射影上的射影O O为为ABCABC的垂心，三的垂心，三棱锥棱锥S-ABCS-ABC为正三棱锥，记为正三棱锥，记SO=h(ha)SO=h(ha)，求出，求出AOAO，ABAB，表示出，表示出f(h)f(h)，通过导数求出函数的最大值，通过导数求出函数的最大值. .【解析解析】因为点因为点A A在侧面在侧面SBCSBC上的射影上的射影H H是是SBCSBC的垂心，所以点的垂心，所以点S S在底面在底面ABCABC上的射影上的射影O O为为ABCABC的垂心；又的垂心；又ABCABC为正三角形，为正三
11、角形，所以所以O O为为ABCABC的中心，即三棱锥的中心，即三棱锥S-ABCS-ABC为正三棱锥记为正三棱锥记SO=h(hSO=h(ha)a)，则，则AO= AO= ，于是有，于是有AB= AB= ，记三棱锥，记三棱锥S-ABCS-ABC的体积为的体积为f(h)f(h)，则，则f(h)= (af(h)= (a2 2-h-h2 2)h)h，f(h)= (af(h)= (a2 2-3h-3h2 2) )，所以所以f(h)f(h)maxmax= =答案：答案：类型二型二 用料用料( (费用用) )最省最省问题【典例典例2 2】(1)(1)圆柱形金属柱形金属饮料罐的容料罐的容积一定，要使生一定，要使
12、生产这种金种金属属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为_._.(2)(2)某网球中心欲建某网球中心欲建连成片的网球成片的网球场数数块，用，用128128万元万元购买土地土地1000010000平方米，平方米，该中心每中心每块球球场的建的建设面面积为10001000平方米，球平方米，球场的的总建筑面建筑面积的每平方米的平均建的每平方米的平均建设费用与球用与球场数有关，当数有关，当该中心建球中心建球场x x块时，每平方米的平均建，每平方米的平均建设费用用( (单位：元位：元) )可近可近似地用似地用f(x)=800(f(x)=800(1+ ln x1+
13、ln x) )来刻画来刻画. .为了使了使该球球场每平方米的每平方米的综合合费用最省用最省( (综合合费用是建用是建设费用与用与购地地费用之和用之和) )，该网球中网球中心心应建几个球建几个球场? ?【解解题探究探究】1.1.题(1)(1)中中圆柱形金属柱形金属饮料罐容料罐容积一定，底面半径一定，底面半径和高有什么关系和高有什么关系? ?2.2.题(2)(2)中解决用料中解决用料( (费用用) )最省最省问题的关的关键是什么是什么? ?【探究提示探究提示】1.V=R1.V=R2 2h h，即，即2.2.解决用料解决用料( (费用费用) )最省问题的关键是选取合适的量作为自变量，最省问题的关键是
14、选取合适的量作为自变量，把要求解的问题表示成自变量的函数，再利用导数求出最小值把要求解的问题表示成自变量的函数，再利用导数求出最小值. .【自主解答自主解答】(1)(1)设圆柱形饮料罐的高为设圆柱形饮料罐的高为h h，底面半径为，底面半径为R R，则表面积则表面积S=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2. .由由V=RV=R2 2h h，得得h= h= ，则，则S(R)=S(R)= +2R= +2R2 2，令，令S(R)=S(R)=解得解得R=R=从而从而即即h=2Rh=2R，因为，因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，
15、即罐的高与底面直径相等，即hR=21hR=21时所用材料最省时所用材料最省. .答案：答案：2121(2)(2)设建成设建成x x个球场，则个球场，则1x101x10，每平方米的购地费用为，每平方米的购地费用为 元，元，因为每平方米的平均建设费用因为每平方米的平均建设费用( (单位：元单位：元) )可近似地用可近似地用f(x)=f(x)=800(1+ ln x)800(1+ ln x)来表示，所以每平方米的综合费用为来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)=g(x)=f(x)+ =800+160ln x+ (xf(x)+ =800+160ln x+ (x0)0)，所以，所以g(x)=g(x)=
16、 (x (x0)0)，令令g(x)=0g(x)=0，则，则x=8x=8，当，当0 0x x8 8时，时，g(x)g(x)0 0，当，当x x8 8时，时，g(x)g(x)0 0，所以，所以x=8x=8时，函数取得极小值，且为最小值时，函数取得极小值，且为最小值故当建成故当建成8 8座球场时，每平方米的综合费用最省座球场时，每平方米的综合费用最省【延伸探究延伸探究】若把若把题(1)(1)中的条件改中的条件改为圆柱形金属柱形金属饮料罐的表面料罐的表面积为定定值S S，要使它的容，要使它的容积最大，它的高与底面半径的比最大，它的高与底面半径的比为_._.【解题指南解题指南】先写出饮料罐的高与底面半径
17、的关系，再把饮料先写出饮料罐的高与底面半径的关系，再把饮料罐的体积表示成底面半径的函数，利用导数求出饮料罐容积最罐的体积表示成底面半径的函数，利用导数求出饮料罐容积最大时满足的条件，再求高与底面半径的比大时满足的条件，再求高与底面半径的比. .【解析解析】因为因为S=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2，所以，所以所以所以V(R)=V(R)= (S-2R= (S-2R2 2)R= SR-R)R= SR-R3 3，V(R)= S-3RV(R)= S-3R2 2=0=0，得，得S=6RS=6R2 2，当当S=6RS=6R2 2时，容积最大，时，容积最大，此时此时6R6R2 2=2Rh+2R=2Rh+
18、2R2 2即即hR=21.hR=21.答案：答案：2121【方法技巧方法技巧】利用导数解决生活中优化问题的四个步骤利用导数解决生活中优化问题的四个步骤【变式训练变式训练】统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量的耗油量y(y(升升) )关于行驶速度关于行驶速度x(x(千米千米/ /小时小时) )的函数解析式可以的函数解析式可以表示为表示为 ，x(0x(0，120120，且甲、乙两地，且甲、乙两地相距相距100100千米，则当汽车以多少千米千米，则当汽车以多少千米/ /小时的速度匀速行驶时，小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少从甲地到乙
19、地耗油量最少. .【解题指南解题指南】根据题意求出总耗油量根据题意求出总耗油量h(x)h(x)与速度与速度x x的关系式，的关系式，再利用导函数求出再利用导函数求出h(x)h(x)的极小值判断出就是最小值即可的极小值判断出就是最小值即可【解析解析】当速度为当速度为x x千米千米/ /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为小时，设耗油量为h(x)h(x)升，升，依题意得依题意得h(x)=h(x)=h(x)=h(x)=令令h(x)=0h(x)=0，得，得x=80x=80当当x(0x(0，80)80)时，时，h(x)h(x)0 0，h(x)h(x)是减函数；是
20、减函数；当当x(80x(80，120)120)时，时，h(x)h(x)0 0，h(x)h(x)是增函数是增函数所以当所以当x=80x=80时，时，h(x)h(x)取到极小值取到极小值h(80)=11h(80)=112525因为因为h(x)h(x)在在(0(0，120120上只有一个极值，所以它是最小值故上只有一个极值，所以它是最小值故当汽车以当汽车以8080千米千米/ /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为最少，最少为11112525升升【补偿训练补偿训练】(2014(2014南京高二检测南京高二检测) )如图，如图，现要在边长为现要在边长为
21、100 m100 m的正方形区域的正方形区域ABCDABCD内建内建一个交通一个交通“环岛环岛”以正方形的四个顶点为以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为圆心，在四个角分别建半径为x m(xx m(x不小于不小于9)9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 x x2 2 m m的的圆形草地圆形草地. .为了保证道路畅通，岛口宽不小于为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m60 m，绕岛行驶，绕岛行驶的路宽均不小于的路宽均不小于10 m.10 m.(1)(1)求求x x的取值范围的取值范围.(.(运算中运算中 取取1.4)1.4)(2)(
22、2)若中间草地的造价为若中间草地的造价为a a元元/m/m2 2，四个花坛的造价为，四个花坛的造价为 元元/m/m2 2，其余区域的造价为，其余区域的造价为 元元/m/m2 2，当，当x x取何值时，可使取何值时，可使“环环岛岛”的整体造价最低？的整体造价最低？ x9x9，【解析解析】(1)(1)由题意得，由题意得， 100-2x60100-2x60， 100 -2x-2100 -2x-2 x x2 2221010， x9x9，解得解得 x20x20， 即即9x15.9x15. -20x15 -20x15，(2)(2)记记“环岛环岛”的整体造价为的整体造价为y y元，则由题意得元，则由题意得令
23、令f(x)=f(x)=则则f(x)=f(x)=由由f(x)=0f(x)=0，解得，解得x=0x=0或或x=10x=10或或x=15x=15，列表如下：列表如下：所以当所以当x=10x=10时，时，y y取最小值取最小值. .答：当答：当x=10x=10时，可使时，可使“环岛环岛”的整体造价最低的整体造价最低. .x x(9(9，10)10)1010(10(10，15)15) 1515f(x)f(x)- -0 0+ +0 0f(x)f(x)极小值极小值类型三类型三 利润最大利润最大( (成本最低成本最低) )问题问题【典例典例3 3】(1)(1)甲乙两地相距甲乙两地相距240 km240 km，
24、汽车从甲地以速度，汽车从甲地以速度v(km/h)v(km/h)匀速行驶到乙地已知汽车每小时的运输成本由固定匀速行驶到乙地已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为成本和可变成本组成，固定成本为160160元，可变成本为元，可变成本为 元为使全程运输成本最小，汽车应以元为使全程运输成本最小，汽车应以_速度行驶速度行驶. .(2)(2)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(x(吨吨) )与每吨与每吨产品的价格产品的价格p(p(元元/ /吨吨) )之间的关系式为：之间的关系式为：p=24 200- xp=24 200- x2 2，且生产
25、，且生产x x吨的成本为吨的成本为R=50 000+200x(R=50 000+200x(元元) )问该厂每月生产多少吨产品问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中汽车每小时的运输成本由哪些成本组中汽车每小时的运输成本由哪些成本组成？如何利用导数求最值？成？如何利用导数求最值？2.2.题题(2)(2)中利润、收入、成本三者之间有何关系中利润、收入、成本三者之间有何关系? ?求利润最大的求利润最大的解题思路是什么解题思路是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.根据汽车每小时的运输成本由固定成本和
26、可变根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为成本组成，固定成本为160160元，可变成本为元，可变成本为 元，可构建元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值2.2.利润、收入、成本三者之间的关系为：利润利润、收入、成本三者之间的关系为：利润= =收入收入- -成本首成本首先列出利润关于月生产量的关系式，再利用导数求函数的最值先列出利润关于月生产量的关系式，再利用导数求函数的最值【自主解答自主解答】(1)(1)设全程运输成本为设全程运输成本为y y元，由题意，得元，由题意，得令令y=0y=0，得，得v=80v=80当当v
27、v8080时，时，yy0 0；当当0 0v v8080时，时，yy0 0所以所以v=80v=80时，时，y yminmin=720=720答案：答案：80 km/h80 km/h(2)(2)每月生产每月生产x x吨时的利润为吨时的利润为f(x)=(24 200- xf(x)=(24 200- x2 2)x-(50 000+200x)x-(50 000+200x)=- x=- x3 3+24 000x-50 000(x0)+24 000x-50 000(x0)，由由f(x)=- xf(x)=- x2 2+24 000=0+24 000=0，解得：，解得：x=200x=200或或x=-200(x=
28、-200(舍去舍去) )因因f(x)f(x)在在0 0，+)+)内只有一个点内只有一个点x=200x=200使使f(x)=0f(x)=0，故它就是，故它就是最大值点，且最大值为最大值点，且最大值为f(200)=- f(200)=- 2002003 3+24 000+24 000200-200-50 000=3 150 000(50 000=3 150 000(元元) )，故每月生产故每月生产200200吨产品时利润达到最大，最大利润为吨产品时利润达到最大，最大利润为315315万元万元【方法技巧方法技巧】1.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及
29、利润增减的快慢，以产经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动分析、研究、指导生产活动. .2.2.关于利润问题常用的两个等量关系关于利润问题常用的两个等量关系(1)(1)利润利润= =收入收入- -成本成本. .(2)(2)利润利润= =每件产品的利润每件产品的利润销售件数销售件数. .【变式式训练】(2014(2014宁德高二宁德高二检测) )在一定面在一定面积的水域中养殖某的水域中养殖某种种鱼类，每个网箱的，每个网箱的产量量p p是网箱个数是网箱
30、个数x x的一次函数，如果放置的一次函数，如果放置4 4个网箱，个网箱，则每个网箱的每个网箱的产量量为1616吨；如果放置吨；如果放置7 7个网箱，个网箱，则每每个网箱的个网箱的产量量为1010吨，由于吨，由于该水域面水域面积限制，最多只能放置限制，最多只能放置1010个网箱个网箱. .(1)(1)试问放置多少个网箱放置多少个网箱时，总产量量Q Q最高最高? ?(2)(2)若若鱼的市的市场价价为m m万元万元/ /吨，养殖的吨，养殖的总成本成本为(5lnx+1)(5lnx+1)万元万元. .(i)(i)当当m=0.25m=0.25时，应放置多少个网箱才能使放置多少个网箱才能使总收益收益y y最
31、大最大? ?(ii)(ii)当当m0.25m0.25时，求使得收益，求使得收益y y最高的所有可能的最高的所有可能的x x值组成的集成的集合合. .【解析解析】(1)(1)设设p=ax+bp=ax+b，由已知得，由已知得 所以所以所以所以p=-2x+24p=-2x+24，所以，所以Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2 2+72(xN+72(xN* *，x10)x10)，所以当，所以当x=6x=6时，时，f(x)f(x)最大，即放置最大，即放置6 6个网箱时，可使总个网箱时，可使总产量达到最大产量达到最大(2)(2)总收益为总收益为y=f(x
32、)=(-2xy=f(x)=(-2x2 2+24x)m-(5ln x+1)(xN+24x)m-(5ln x+1)(xN* *，x10)x10)，(i)(i)当当m=0m=02525时，时，f(x)=(-2xf(x)=(-2x2 2+24x)+24x) -(5ln x+1)=- x -(5ln x+1)=- x2 2+6x+6x-5ln x-1-5ln x-1，所以，所以f(x)=f(x)=当当1 1x x5 5时，时，f(x)f(x)0 0，当，当5 5x x1010时，时，f(x)f(x)0 0，所以，所以x=5x=5时，函数取得极大值，也是最大值所以应放置时，函数取得极大值，也是最大值所以应
33、放置5 5个网箱才个网箱才能使总收益能使总收益y y最大；最大；(ii)(ii)当当m0m02525时，时，f(x)=(-2xf(x)=(-2x2 2+24x)m-(5ln x+1)+24x)m-(5ln x+1)，所以所以f(x)=f(x)=令令f(x)=0f(x)=0，即，即-4mx-4mx2 2+24mx-5=0+24mx-5=0，因为，因为m0.25m0.25，所以，所以=16m(36m-5)=16m(36m-5)0 0，方程，方程-4mx-4mx2 2+24mx-5=0+24mx-5=0的两根分别为的两根分别为x x1 1=3-=3- ，x x2 2=3+ =3+ ，因为，因为m0.
34、25m0.25，所以，所以x x1 111，5x5x2 26 6，所以当，所以当x(1x(1，x x2 2) )时，时，f(x)f(x)0 0，当，当x x2 2x x1010时，时，f(x)f(x)0 0，所以，所以x=xx=x2 2时，函数取得极大值，也是最大值时，函数取得极大值，也是最大值所以使得收益所以使得收益y y最高的所有可能的最高的所有可能的x x值组成的集合为值组成的集合为55，66【补偿训练补偿训练】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量销售量y(y(单位：千克单位：千克) )与销售价格与销售价格x(x(单位：元单位：元/
35、/千克千克) )满足关系满足关系式式y= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2，其中，其中3x63x6，a a为常数，已知销售价格为为常数，已知销售价格为5 5元元/ /千克时，每日可售出该商品千克时，每日可售出该商品1111千克千克. .(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/ /千克，试确定销售价格千克，试确定销售价格x x的值，使商的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大场每日销售该商品所获得的利润最大. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据根据“销售价格为销售价格为5 5元元/ /千克时，每日可售出千克时，每日可售出该商品
36、该商品1111千克千克”可知销售函数过点可知销售函数过点(5(5，11)11)，将其代入可求得，将其代入可求得a a的值的值. .(2)(2)利润为利润为f(x)=(f(x)=(每千克产品的售价每千克产品的售价- -每千克产品的成本每千克产品的成本) )销销售量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值售量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值. .【解析解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时，时，y=11y=11，所以，所以 +10=11+10=11，所以，所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知，该商品每日的销售量可知，该商品每日的销售量y= +10(x-6)y= +10(x-6
37、)2 2，所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) +10(x-6)f(x)=(x-3) +10(x-6)2 2=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2，3x6.3x6.从而从而f(x)=10f(x)=10(x-6)(x-6)2 2+2(x-3)(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).=30(x-4)(x-6).于是，当于是，当x x变化时，变化时，f(x)f(x)，f(x)f(x)的变化情况如下表，的变化情况如下表，由上表可得，由上表可得，x=4x=4是函数是函数f(x)f(x)在区间在区间(3(
38、3，6)6)内的极大值点，也内的极大值点，也是最大值点是最大值点. .所以，当所以，当x=4x=4时，函数时，函数f(x)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.42.答：当销售价格为答：当销售价格为4 4元元/ /千克时，商场每日销售该商品所获得的千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大. .x x(3(3，4)4)4 4(4(4，6)6)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)单调递增单调递增 极大值极大值4242 单调递减单调递减【规范解答规范解答】导数在解决数在解决实际问题中的中的应用用【典例典例】(12(12分分) )某分公司某分公司经销某种
39、品牌某种品牌产品，每件品，每件产品的成本品的成本为3 3元，并且每件元，并且每件产品需向品需向总公司交公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理的管理费，预计当每件当每件产品的售价品的售价为x x元元(9x11)(9x11)时，一年的，一年的销售量售量为(12-x)(12-x)2 2万万件件. .(1)(1)求分公司一年的利求分公司一年的利润L(L(万元万元) )与每件与每件产品的售价品的售价x x的函数关系的函数关系式式. .(2)(2)当每件当每件产品的售价品的售价为多少元多少元时，分公司一年的利，分公司一年的利润L L最大，最大，并求出并求出L L的最大的最大值Q(a).Q(a).【审题
40、审题】抓信息，找思路抓信息，找思路 【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：若在：若在处不能正确求出导数为处不能正确求出导数为0 0的点，即不舍的点，即不舍x=12x=12则则会求错，本例最多得会求错，本例最多得2 2分分. .失分点失分点2 2：若审题不清忽视对：若审题不清忽视对处的讨论，仅求出一组，则本处的讨论，仅求出一组，则本例最多得例最多得5 5分分. .失分点失分点3 3：若虽然进行了讨论，但无法确定函数取得最大值的：若虽然进行了讨论，但无法确定函数取得最大值的点，即未能求出点，即未能求出处的值，则本例最多得处的值，则本例最
41、多得7 7分分. .【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.应用分类讨论思想应用分类讨论思想在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论. .如本例中销售如本例中销售价价x x由于管理费由于管理费a a的变化而变化，最终会影响利润的最大值的变化而变化，最终会影响利润的最大值. .2.2.注意限制条件的挖掘注意限制条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些限制条件，如本例中对题目中的条件要认真分析，找出一些限制条件，如本例中x x的取值，对于不符合条件的的取值，对于不符合条件的x x的取值，要舍去的取值，要舍去. .3.3.注意解题的规范性注意解题的
42、规范性解决实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论解决实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结式，最后一定要进行总结. .【类题试解解】某工厂生某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料某种水杯，每个水杯的原材料费、加、加工工费分分别为3030元、元、m m元元(m(m为常数，且常数，且2m3)2m3)，设每个水杯的每个水杯的出厂价出厂价为x x元元(35x41)(35x41)，根据市，根据市场调查，水杯的日，水杯的日销售量与售量与e ex x(e(e
43、为自然自然对数的底数数的底数) )成反比例，已知每个水杯的出厂价成反比例，已知每个水杯的出厂价为4040元元时，日，日销售量售量为1010个个. .(1)(1)求求该工厂的日利工厂的日利润y(y(元元) )与每个水杯的出厂价与每个水杯的出厂价x(x(元元) )的函数关的函数关系式系式. .(2)(2)当每个水杯的出厂价当每个水杯的出厂价为多少元多少元时，该工厂的日利工厂的日利润最大，并最大，并求日利求日利润的最大的最大值. .【解析解析】(1)(1)设日销量为设日销量为s s，则，则s= s= ，因为，因为x=40x=40时，时，s=10s=10，所以，所以10= 10= ，所以，所以k=10ek=10e4040，所以，所以s= s= 所以所以y= (x-30-y= (x-30-m)(35x41).m)(35x41).(2)y= (31+m-x)(2)y= (31+m-x)，令，令y=0y=0，可得，可得x=31+mx=31+m，所以当，所以当2m32m3时，时，3331+m343331+m34，所以当，所以当35x4135x41时，时，yy0 0，函，函数为减函数所以当数为减函数所以当x=35x=35时，时，y y取最大值，最大值为取最大值，最大值为10(5-10(5-m)em)e5 5
