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1、多元函数的偏导数 第八章第八章 一、一、 偏导数的概念偏导数的概念二二 、偏导数的计算、偏导数的计算 第二节四四 、高阶偏导数、高阶偏导数 三三 、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义 一、偏导数的概念一、偏导数的概念1.引例引例研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动处的振动速度与加速度速度与加速度 , 就是将就是将中的中的 x 固定固定求求于于x0 处处, ,振幅振幅t 的的一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.弦线的振动问题弦线的振动问题. 关于关于2. 定义定义8.6对对x 的的偏导数偏导数，记为，记为同样可定义同样可定义函数函数 f(x, y) 在点在点 对对 y 的偏导的偏导数数注注记为
2、记为注注 1 偏导函数偏导函数z = f ( x , y ) 在域在域 D 内每一点内每一点 ( x , y )偏导数偏导数 , 记为记为处对处对 x的（或的（或 y )偏导数都存在偏导数都存在 , 称该偏导数为称该偏导数为若函数若函数z = f(x, y) 对自变量对自变量x (或或y)的的偏导函数偏导函数, 也简称为也简称为由此可知：由此可知：2 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数例如例如: : 三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点(x , y , z) 处对处对 x 的的偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)3 可可(
3、偏偏)导导4偏导数偏导数是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分例例1求证求证:证证(R 为为常数常数) , 偏导数记号是一个偏导数记号是一个 说明说明:不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 !此例表明此例表明,整体记号整体记号,一定量理想气体的状态方程一定量理想气体的状态方程53. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系对于对于一元一元函数：函数：可导可导连续连续对于对于多元多元函数：函数：可（偏）导可（偏）导连续连续例例2证证注注 对于对于二元二元函数：函数： 可偏导可偏导连续连续xy zo例例3解解(方法方法1)其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，从而从而
4、 f (x , y) 在点在点(0 , 0)并不连续并不连续!(方法方法2)注注 对于对于二元二元函数：函数： 可偏导可偏导连续连续由偏导数的定义可知由偏导数的定义可知, 为一元函数的导数计算为一元函数的导数计算.偏导数的计算可归结偏导数的计算可归结二、偏导数的计算二、偏导数的计算求求某个具体某个具体的点处的偏的点处的偏导数时方便导数时方便例例4 求求解解(方法方法1)在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数. .先求后代先求后代先代后求先代后求(方法方法2)例例5 设设证证求证求证解解例例6三、偏导数的几何意义三、偏导数的几何意义是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 y 轴的
5、斜率轴的斜率.x yzo例例7解解四、高阶偏导数四、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z = f ( x , y )的的二阶偏导数二阶偏导数 .按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关再关于于y 的一阶偏导数为的一
6、阶偏导数为例例8 求函数求函数解解注注 此处此处但这一结论并不总是成立但这一结论并不总是成立. .的二阶偏导数及的二阶偏导数及 问题：问题：二阶混合偏导数一定都相等吗？二阶混合偏导数一定都相等吗？不一定！不一定！例如：例如：二二者者不不等等则则定理定理例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立元函数的高阶混合偏导数也成立.当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有(证明略证明略) 问题：问题：具备怎样的条件，混合偏导数具备怎样的条件，混合偏导数 相等？相等？例例9 证明函
7、数证明函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯证证利用对称性利用对称性 , 有有方程方程偏偏微分方程微分方程内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求求一点一点处偏导数的方法处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)解解备用题备用题例例2-1例例5-1解解解解例例5-2例例6-1解：解：故有故有同理同理例例8-1 求下列函数的一阶和二阶偏导数求下列函数的一阶和二阶偏导数解解(2)由由例例5知知例例8-2解解例例9-1解解
