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1、 第四章第四章 随机变量的随机变量的 数字特征数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函的分布函数，那么数，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，分布函数一般然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的是较难确定的. 而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某因此，在对随机变量的研
2、究中，确定某些数字特征是重要的些数字特征是重要的 .这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差4.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质四、数学期
3、望的性质四、数学期望的性质五、小结五、小结五、小结五、小结一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，它对评它对评判事物作出决策等具有重要作用判事物作出决策等具有重要作用.例如，例如，某某商场计划于商场计划于5月月1日在户外搞一次促销活动，日在户外搞一次促销活动，统计资料表明，统计资料表明，如果在商场内搞如果在商场内搞可获得经济可获得经济效益效益3万元；万元；在在商场外搞，商场外搞， 如果不遇雨天可如果不遇雨天可获得获得12万元，万元，遇到雨天则带遇到雨天则带来来经济损失经济损失5万元；万元；若前一天的
4、天气若前一天的天气预报称当日有雨预报称当日有雨的概率为的概率为40%，则商场应如何选择则商场应如何选择促销方式？促销方式？1.概念的引入概念的引入显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益是是一个随机变量，一个随机变量， 其其概率分布为概率分布为要要作出决策就要将此时的平均效益与作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较万元进行比较,如何求平均效益呢？如何求平均效益呢？ 要要客观地反映平均效益客观地反映平均效益,虑虑的的所有取值，所有取值，又要考虑又要考虑取每取每一个值时的概率，一个值时的概率，即为即为既要考既要考（万（万元）元）.称称这个平均效益这
5、个平均效益5.2万元为随机变量万元为随机变量的的数学期望数学期望,2.数学期望的定义数学期望的定义定义定义设设是是离散型随机变量，其概率分布为离散型随机变量，其概率分布为如果如果绝对收敛，绝对收敛，为随机变量为随机变量的的数学期望数学期望（又称又称均值均值）完完则称则称也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.例例1 甲甲, , 乙两人进行打靶乙两人进行打靶, ,所得分数分别记为所得分数分别记为它们的分布律分别为它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 我们来计算我们来计算的数学期望的数学期望
6、, , 得得(分分).这意味着这意味着, , 如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击, , 那么那么, , 所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平均就接近 1.8, ,很明显很明显, ,乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩. .完完而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为例例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数某种产品每件表面上的疵点数服从参数的泊松分布的泊松分布, ,若规定疵点数不超过若规定疵点数不超过 1 个为一等品个为一等品,值值 10 元元; ; 疵点数大于疵点数大于 1 个不多于个不多于 4 个为二等品个为二等品,价值价值 8 元元; ; 疵点数超过疵点数超
7、过 4 个为废品个为废品, ,求求: :(1) 产品的废品率产品的废品率; ;(2) 产品价值的平均值产品价值的平均值.解解 设设代表每件产品上的疵点数代表每件产品上的疵点数, ,价价因为因为所以产品的废品率为所以产品的废品率为(2) 求产品价值的平均值求产品价值的平均值.解解设设代表产品的价值代表产品的价值, ,那么那么 的概率分布为的概率分布为: :所以产品价值的平均值为所以产品价值的平均值为完完例例3 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门，他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门. 若
8、若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解: 设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) 于是于是二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设设是是连续型随机变量，连续型随机变量，其其密度函数为密度函数为数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点则则落在落在小区间小区间的的概率为概率为在在小区间小区间xi, xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为小区间小区间Xi, Xi+1) 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值可以用中的值可以用xi来近
9、似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望学期望是是定义定义 设设是是连续型随机变量，连续型随机变量， 其其密度函数为密度函数为如果如果绝对收敛，绝对收敛，定义定义的的数学期望数学期望为为注注：（1）并非所有随机变量都有数学期望，）并非所有随机变量都有数学期望，也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.例如，例如， 若若的的 密度函数为密度函数为的的密度函数为密度函数为由于广义积分由
10、于广义积分发散，发散， 所以所以不不存在存在.完完 若若XU(a,b), 则则若若X服从服从若若X服从参数为服从参数为（2）由随机变量数学期望的定义，不难计算得：）由随机变量数学期望的定义，不难计算得：例例4 已知随机变量已知随机变量的分布函数的分布函数求求解解随机变量随机变量的密度函数为的密度函数为故故完完例例5 设随机变量设随机变量的概率密度函数为的概率密度函数为求求解解使用分部积分法，使用分部积分法，得到得到完完例例6 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式付款的方式, , 记使用寿命为记使用寿命为(以年计以年计), 规定规定: :设寿命设
11、寿命服从指数分布服从指数分布, , 概率密度为概率密度为一台付款一台付款 1500 元元;一台付款一台付款 2000 元元;一台付款一台付款 2500 元元;一台付款一台付款 3000 元元.试求该类家用电器一台收费试求该类家用电器一台收费的数学期望的数学期望.解解 先求出寿命先求出寿命落在各个时间区间的概率落在各个时间区间的概率, ,即有即有完完得得即平均一台收费即平均一台收费元元.则则的分布律为的分布律为例例7 设随机变量设随机变量且且求求与与 的值的值, , 并求分布函数并求分布函数解解 由题意知由题意知解方程组得解方程组得例例7 设随机变量设随机变量且且求求与与 的值的值, , 并求分
12、布函数并求分布函数解解 解方程组得解方程组得当当时时, , 有有所以所以完完三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出
13、来的分布求出来. 一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？定理定理1设设是是一个随机变量，一个随机变量，下面下面引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 且且存存在在, 于是于是(1) 若若为离散型随机变量，为离散型随机变量，其概
14、率分布为其概率分布为则则的的数学期望为数学期望为(2) 若若为为连续型随机变量，连续型随机变量， 其其概率密度为概率密度为则则的的数学期望为数学期望为注：注：定理的重要性在于：定理的重要性在于：求求时，时， 不必知不必知道道的的分布，分布，只需知道只需知道的的分布即可分布即可.这给求这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便随机变量函数的数学期望带来很大方便.完完定理定理2设设是二维是二维随机向量，随机向量，且且存在，存在，(1) 若若为为离散型随机向量，离散型随机向量， 其其概率分布概率分布为为则则的的数学期望为数学期望为(2)若若为为连续型随机向量，连续型随机向量， 其概率密度为其概率密度为
15、则则的的数学期望为数学期望为注注：上述定理可推广到二维以上的情形上述定理可推广到二维以上的情形例例8 设随机变量设随机变量求求解解分部积分得分部积分得完完例例9 设设的联合概率分布为的联合概率分布为: :求求解解 要求要求和和需先求出需先求出和和的边缘的边缘分布分布. .关于关于和和的边缘分布为的边缘分布为则有则有例例10 设随机变量设随机变量在在上服从均匀分布上服从均匀分布, ,及及解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式, ,有有求求例例10 设随机变量设随机变量在在上服从均匀分布上服从均匀分布, ,及及解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量
16、函数数学期望的计算公式, ,有有求求完完例例11 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量求量是随机变量(单位单位: :吨吨), , 它服从区间它服从区间上的均匀分布上的均匀分布, , 每销售出一吨商品每销售出一吨商品, , 可为国可为国家赚取外汇家赚取外汇 3 万元万元; ; 若销售不出若销售不出, ,则每吨商品需贮则每吨商品需贮存费存费 1 万元万元, , 问应组织多少货源问应组织多少货源, , 才能使国家收益才能使国家收益最大最大?解解 设组织货源设组织货源吨吨, , 显然应要求显然应要求国家收益国家收益(单位单位: :万元万元)是是的函
17、数的函数达式为达式为表表设设的概率密度函数为的概率密度函数为则则于是于是的期望为的期望为此组织此组织 3500 吨商品为好吨商品为好. .考虑考虑的取值使的取值使达到最大达到最大, ,易得易得因因完完四、数学期望的性质四、数学期望的性质1.设设是是常数，常数，则则2. 若若是是随机变量，随机变量，若若是是常数，常数，则则3.E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 4. 设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立数学期望的性质数学期望的性质4.若若是二维是二维随机向量，随机向量，且且相互独立相
18、互独立,则则相互独立相互独立).注注：推广到推广到维维随机向量的情形，随机向量的情形， 有有2. 若若是是随机变量，随机变量，若若是是常数，常数，则则证证这里只对离散型情形进行证明，这里只对离散型情形进行证明，连续型情形留连续型情形留给读者给读者.设设的的概率分布为概率分布为则由定理则由定理1，有有完完4.设设相互独立，相互独立，则则证证 这里只对连续型情形进行证明，这里只对连续型情形进行证明， 离散型情形留给离散型情形留给读者读者.设设的的联合密度函数度为联合密度函数度为其其边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为和和由定由定理理2知知因为因为和和相互独立，相互独立，所以有所以有所以有所以有注注
19、：由由不一定能推出不一定能推出独立独立.例如，例如，在例在例8中，中， 我们已计算得我们已计算得但但显然显然注注：由由不一定能推出不一定能推出独立独立.例如，例如，在例在例8中，中， 我们已计算得我们已计算得但但显然显然故故与与不不独立独立.完完例例12 设设均存在均存在, , 证明证明证证 因为因为于是于是完完例例13(二项分布的数学期望二项分布的数学期望) 若若求求解解 因因则则表示表示重伯努利试验中的重伯努利试验中的“成成功功” 次数次数. . 若设若设如第如第 次试验成功次试验成功如第如第 次试验失败次试验失败则则因为因为所以所以可见可见, , 服从参数为服从参数为和和的二项分布的随机
20、变量的二项分布的随机变量的的数学期望是数学期望是完完例例14一民航送客车载有一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出, ,旅客有旅客有 10 个车站可以下车个车站可以下车. . 如到达一个车站没如到达一个车站没有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车, , 以以表示停车的次数表示停车的次数, , 求求(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的, ,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立). .解解 引入随机变量引入随机变量在第在第在第在第站没有人下车站没有人下车站没有人下车站没有人下车, ,易知易知现在来求现在来求按题意按题意, , 任一旅
21、客不在第任一旅客不在第站站下车的概率为下车的概率为因此因此 20 位旅客都不在第位旅客都不在第站下车的概率为站下车的概率为在第在第站有人下车的站有人下车的概率为概率为即即由此由此进而进而(次次). .注注: : 本题是将本题是将分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和, ,然后利然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的和来求数学期望的, , 这种处理方法具有一定的普遍这种处理方法具有一定的普遍意义意义.完完 这一讲，我们介绍了随机变量的数学这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结
